парная регрессия. 1-парная регрессия. Парная регрессия типы переменных в эконометрической модели

• Название: Парная регрессия типы переменных в эконометрической модели
• Анкор: парная регрессия
• Дата: 22.10.2022
• Размер: 432.71 Kb.
• Имя файла: 1-парная регрессия.pptx
• Тип: Документы; #748614

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ

Типы переменных в эконометрической модели

• Результирующая (зависимая, эндогенная) переменная Y
Она характеризует результат или эффективность функционирования экономической системы. Значения ее формируются в процессе и внутри функционирования этой системы под воздействием ряда других переменных и факторов, часть из которых поддается регистрации, управлению и планированию. По своей природе результирующая переменная всегда случайна (стохастична).
• Объясняющие (экзогенные, независимые) переменные X
Это — переменные, которые поддаются регистрации и описывают условия функционирования реальной экономической системы. Они в значительной мере определяют значения результирующих переменных. Еще их называют факторными признаками. В регрессионном анализе это аргументы результирующей функции Y. По своей природе они могут быть как случайными, так и неслучайными.

Регрессионный анализ

Предназначен для исследования зависимости исследуемой переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме модели.

• Зависимая (объясняемая) переменная = > Y
• Независимые (объясняющие) переменные =>X
• По виду функции различают модели:
• линейные;
• Нелинейные
• По количеству включенных факторов:
• однофакторные (парной регрессии);
• многофакторные (множественной регрессии).

Предпосылки применения метода наименьших квадратов (МНК)

Первое условие. Математическое ожидание случайной составляющей в любом наблюдении должно быть равно нулю

Второе условие состоит в том, что возмущение (или зависимая переменная ) есть величина случайная.

Третье условие предполагает отсутствие систематической связи между значениями случайной составляющей в любых двух наблюдениях

Четвертое условие означает, что дисперсия случайной составляющей должна быть постоянна для всех наблюдений. Это условие гомоскедастичности.

Предположение о нормальности

Наряду с перечисленными условиями Гаусса— Маркова обычно также предполагается нормальность распределения случайного члена.

Свойства оценок метода наименьших квадратов (МНК)

Оценки параметров регрессии должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными

Свойства	Интерпретация	Применение
Несмещенность	Математическое ожидание остатков равно нулю	При большом числе выборочных оцениваний остатки не будут накапливаться, оценки можно сравнивать по разным выборкам
Эффективность	Оценки считаются эффективными, если они характеризуются наименьшей дисперсией	Возможность перехода от точечного оценивания к интервальному
Состоятельность	Состоятельность оценок характеризует увеличение их точности с увеличением объема выборки	Вероятность получения оценки на заданном расстоянии от истинного значения параметра близка к единице.

Линейная парная регрессия

yi = a0 + a1 · xi + ε i ,

где a0 – постоянная величина,

a1 – коэффициент регрессии, характеризует угол наклона линии регрессии.

Если a1 > 0, то переменные x и y положительно коррелированы, если a1 < 0 – отрицательно.

a0 + a1 · xi - неслучайная составляющая;

ε i – случайная составляющая с нулевым математическим ожиданием и постоянной дисперсией, она учитывает неучтенные факторы, ошибки измерения и пр.

Матричная форма оценки параметров уравнения регрессии МНК

Y = X · A + ε ,

где Y – вектор-столбец (nx1) наблюдаемых значений зависимой переменной;

X – матрица (nx2) значений факторов;

A – вектор-столбец (2x1) неизвестных коэффициентов регрессии;

ε – вектор-столбец (nx1) ошибок наблюдений

• Решение системы нормальных уравнений

в матричном виде: A = (X’·X)-1·X’·Y .

Для расчетавектора A необходимо:

• Транспонировать матрицу X => [ ТРАНСП];
• Умножить транспонированную матрицу на исходную (X’X) => [МУМНОЖ];
• Вычислить обратную матрицу (X’X)-1 => [МОБР];

Метод наименьших квадратов

Оценка параметров уравнения регрессии МНК

МНК минимизирует сумму квадратов отклонения фактических значений yi от расчетных

a1= = =

=

__ __

a0 = y – a1 · x .

yp = a0 + a1· x

Оценка качества модели регрессии

Качество модели оценивается на основе анализа остаточной компоненты (εi = yi – yр ):

Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:

• проверка качества всего уравнения регрессии;
• проверка значимости всего уравнения регрессии;
• проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;
• проверка выполнения предпосылок МНК.

дисперсия объясненная необъясненная

Разделив обе части уравнения на левую получим:

Коэффициент детерминации R2

Откуда, в окончательном виде имеем :

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находяще-гося под воздействием изучаемых факторов.

Чем ближе R2 к 1, тем выше качество модели.

Если R2 =0 ? – связь между признаками отсутствует Если R2 = 1 ? - связь функциональная

Коэффициент множественной корреляции R

R = =

Он отражает и тесноту связи и точность модели

Основные свойства

коэффициента детерминации

1. 0 < R2 < 1.

2. Чем ближе R2 к 1, тем лучше регрессия аппроксимирует статистические данные, тем теснее линейная связь между зависимой и объясняющими переменными.

3. Если R2 = 1, то статистические данные лежат на линии регрессии, т.е. между зависимой и объясняющими переменными имеется функциональная зависимость. Если R2 = 0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных.

4. В случае парной регрессии R2 = r 2.

Критерий Фишера используется для проверки значимости модели регрессии при выбранном уровне α и степенях свободы k1 и k2. Для однофакторной модели регрессии:

Критерии точности модели

Средняя квадратическая ошибка –

(стандартная ошибка оценки)

- для однофакторной модели

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

A

Если A ≤ 7%, то модель имеет хорошее качество.

Проверка гипотез о значимости параметров уравнения регрессии.

Выдвигается H0 – гипотеза о незначимом отличии параметра уравнения регрессии от нуля.

Для проверки этой гипотезы используется t – статистика (имеющая распределение Стьюдента).

Показатели качества

коэффициентов регрессии

• Стандартные ошибки оценок (анализ точности определения оценок).

2. Значения t-статистик (проверка гипотез относительно коэффициентов регрессии).

3. Интервальные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии.

4. Доверительные области для зависимой переменной.

Стандартные ошибки оценок

Оценки b0 и b1 являются случайными величинами. Отсюда следует, что стандартные ошибки коэффициентов регрессии - это средние квадратические отклонения коэффициентов регрессии от их истинных значений.

2

Свойства дисперсий оценок

1. Дисперсии D[b0] и D[b1] прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения Следовательно, чем больше фактор случайности, тем менее точными будут оценки.

2. Чем больше число наблюдений n, тем меньше дисперсии оценок.

3. Чем больше дисперсия объясняющей переменной, тем меньше дисперсия оценок коэффициентов регрессии. Другими словами, чем шире область изменений объясняющей переменной, тем точнее будут оценки (тем меньше доля случайности в их определении).

Стандартная ошибка является оценкой среднего квадратического отклонения коэффициента регрессии от его истинного значения

Использование стандартных

ошибок

Сравнивая значение коэффициента с его стандартной ошибкой, можно судить о значимости коэффициента

Коэффициент называется значимым, если есть достаточно высокая вероятность того, что его истинное значение отлично от нуля

Для стандартных ошибок оценок нет таблиц критическихуровней — для точного суждения используются t-статистики

Типичные ошибки в использовании

показателей качества регрессии

- Величина коэффициентов регрессии не указывает на силу связи или силу влияния на зависимую переменную

- Значимость коэффициентов по t-тестам не позволяет сделать вывод о справедливости тех или иных теорий

- t-статистики не указывают на относительную важность коэффициентов регрессии

- t-статистики предназначены для использования

исключительно для выборки и бесполезны для анализа всей совокупности

- Нельзя сравнивать t-статистики, F-статистики,

коэффициенты детерминации и др. у разных уравнений

tb0 = |b0| / Sb0 и ta1 = |b1| / Sb1 ,

где Sb0

Sb1

Здесь tа0 или tа1>tтабл , то параметр значим

[В Excel tтабл => СТЬЮДРАСПОБР]

выполняется для значимого уравнения по формулам:

a0 =[a0 ± tтабл·Sa0 ] – для свободного члена a0 ;

a1 = [a1 ± tтабл·Sa1 ] – для параметра a1 .

где tтабл – критерий Стьюдента для k =n-2 степеней,

Sa0 ,Sa1 – стандартные отклонения

Прогнозирование по уравнению регрессии

Точечный прогноз получают подстановкой ожидаемого значения xпрогн в уравнение: yпрогн=a0+ a1·xпрогн

Поскольку вероятность точечного прогноза близка к нулю, то рассчитывается доверительный интервал, в который с вероятностью (1-α ) попадут прогнозные значения y прогн.

Средняя ошибка прогноза

Точечный

прогноз

±

Интервальный

прогноз

=

Графическая интерпретация результатов расчета

y

Нижняя

доверительная

граница

Верхняя

доверительная

граница

Линия

регрессии

Доверительный

интервал

x
Администрация страховой компании приняла решение о введении нового вида услуг – страхование на случай пожара. С целью определения тарифов по выборке из 10 случаев пожаров анализируется зависимость стоимости ущерба, нанесенного пожаром от расстояния до ближайшей пожарной станции.
Задача

№	Y-Общая сумма ущерба. тыс.руб.	X-Расстояние до ближайшей станции. км
1	26.2	3.4
2	17.8	1.8
3	31.3	4.6
4	23.1	2.3
5	27.5	3.1
6	36	5.5
7	14.1	0.7
8	22.3	3
9	19.6	2.6
10	31.3	4.3

Прогноз по модели Y=10,25+4,69X

Прогноз Х

По исходным данным полагают, что расстояние до ближайшей пожарной станции уменьшится на 5% от своего среднего уровня

Прогноз Y

Стандартная ошибка 1.801
Строим доверительный интервал прогноза ущерба с вероятностью 0,90 (t=1,86). Из полученных результатов видно, что интервал от 20,67 до 27,7 тыс. руб. ожидаемой величины ущерба довольно широкий. Значительная неопределенность прогноза линии регрессии, связана, прежде всего с малым объемом выборки (n=10), а также тем, что по мере удаления прогнозного знаения Х от среднего ширина доверительного интервала увеличивается.
Стандартная ошибка 1.801

График прогноза

Признаки качественной модели

1. Простота модели (из примерно одинаково отражающих реальность моделей, выбирается та, которая содержит меньше объясняющих переменных.

2. Единственность (для любых данных коэффициенты модели должны вычисляться однозначно).

3. Максимальное соответствие (модель тем лучше, чем больше скорректированный коэффициент детерминации).

4. Согласованность с теорией (уравнение регрессии должно соответствовать теоретическим предпосылкам).

5. Прогнозные качества (прогнозы, полученные на основе модели, должны подтверждаться реальностью).