Лабораторная по линейной регрессии (оформление). Парная линейная регрессия
 Скачать 114.37 Kb.
|
Тема: Парная линейная регрессияЛабораторная №1Имеются исходные данные (10 наблюдений):
Необходимо определить, какой из заданных показателей является зависимой переменной, а какой – независимой. Построить поле корреляции. Найти точечные и интервальные оценки параметров модели  . Оценить значимость коэффициентов регрессии, используя t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы истинных значений параметров. Верифицировать полученную модель, используя дисперсионный анализ в регрессии и элементы теории корреляции. Интерпретировать полученные результаты. Сделать прогноз на основе модели.Решение: 1 способ (ручной)1 этап: Спецификация модели. Определим, какой из заданных показателей будет зависимой переменной, а какой независимой. Так как труд является одним из факторов производства (экономическая теория), то численность работников обозначим в качестве независимой переменной  , а объем производства –  .Чтобы определить характер зависимости, построим поле корреляции:  Следующим шагом наносим на поле корреляции прямую : Из графика видно, что точки распределены практически однородно относительно прямой, поэтому можно сказать, что условие гомоскедастичности выполняется. 2 этап: Построение модели. Найдем оценки параметров модели помощью метода наименьших квадратов (МНК). Оценки параметров модели находятся из условия: .Тогда:  , , , .Построим вспомогательную таблицу для расчетов:
 , , , .Коэффициенты совпадают с уравнением на диаграмме. При этом уравнение модели напишем в виде:  .Для анализа полученной модели рассчитываем теоретические значения объясняемой переменной:  . Также найдем значение остатков:  и минимальное значение остаточной суммы квадратов  . Для этого составим вспомогательную таблицу:
Остаточная сумма квадратов:  Вычислим несмещенные оценки дисперсий оценок:  , .Несмещенная оценка дисперсии ошибок наблюдений:  .Для расчетов составим вспомогательную таблицу:
Таким образом, получаем:  , . .3 этап: Оценка значимости коэффициентов регрессии Оценка значимости коэффициентов регрессии при доверительной вероятности  с помощью:а) доверительных интервалов истинных значений параметров. Для нахождения интервальных оценок полученных коэффициентов регрессии предварительно вычислим квантиль распределения Стьюдента:  . , .Доверительный интервал для параметра  : , . Доверительный интервал для параметра  : , . Как мы видим, доверительный интервал для коэффициента регрессии не содержит нулевых значений, значит, коэффициент считается статистически значимым, доверительный интервал для параметра содержит 0, соответственно, он считается незначимым.б) t-критерий Стьюдента Проверяем гипотезу  против альтернативной гипотезы , используя при этом статистику . – наблюдаемое или экспериментальное значение t-статистики.Критическая область двухсторонняя:  Гипотеза  отвергается с вероятностью 0,95, следовательно, принимается гипотеза , так как  , т. е.  . Это означает, что параметр незначим.Проверяем гипотезу  против альтернативной гипотезы , используя при этом статистику . – наблюдаемое или экспериментальное значение t-статистики.Критическая область двухсторонняя:  Гипотеза отвергается с вероятностью 0,95, следовательно, принимается гипотеза , так как  , т. е.  . Это означает, что параметр – значим.4 этап: Верификация модели Пригодность построенной модели или ее верификация, а также качество оценивания регрессии может быть проверено двумя равноценными способами: дисперсионным анализом в регрессии и с использованием элементов теории корреляции.а) Дисперсионный анализ в регрессии Суть метода заключается в разложении общей суммарной дисперсии объема производства на составляющие, обусловленные действием численности работников, и остаточную дисперсию, обусловленную дисперсию, обусловленную ошибкой или всеми неучтенными в данной модели переменными. Для проверки гипотезы о равенстве таких дисперсий используем критерий Фишера (F-критерий). Поскольку для оценок дисперсий используются суммы квадратов  отклонений значений данной переменной от ее средней величины, то можно говорить о разложении общей суммы квадратов на составляющие. Cреднее значение  зависимой переменной составляет 24,7 млн. (средний объем производства в течение наблюдаемого периода). Для расчета сумм квадратов составим вспомогательную таблицу:
 – величина, характеризующая разброс значений  относительно среднего значения . Разобьем эту сумму на две части: объясненную регрессионным уравнением и необъясненную (т. е. связанную с ошибками  : – сумма квадратов, объясненная регрессией, – остаточная сумма квадратов, обусловленная ошибкой.Проверка:  (верно).Найдем коэффициент детерминации:  .Значение коэффициента детерминации близко к 1. Это означает, что 92,43 % общей вариации объема производства объясняется численностью работников. При этом остальные 7,57 % приходятся на долю прочих факторов, не учтенных в уравнении регрессии. К таким факторам можно отнести: объем основных и оборотных средств, спрос на продукцию, цену и т. д. Далее при заданном уровне значимости  проверяем гипотезу об отсутствии линейной функциональной связи между и , используя статистику критерия Фишера: .Число степеней свободы:  .Критическое значение:  .Результаты представлены в таблице: Дисперсионный анализ одномерной регрессии
Критическая область правосторонняя:  Если при заданном уровне значимости наблюдаемое значение  статистики больше критической точки , т.е. гипотеза отвергается, то есть линейная связь между и есть, и результаты наблюдений не противоречат предположению о ее линейности. Полученную модель в целом можно считать пригодной для дальнейшего использования.б) Использование элементов теории корреляции Другой способ верификации линейной модели состоит в использовании элементов теории корреляции. Мерой линейной связи двух величин является коэффициент корреляции:  .Проверка:  (верно).Значение коэффициента корреляции говорит о том, что линейная связь между численностью работников и объемом производства очень тесная и прямая, т.е. рост численности работников приводит к увеличению объема производства. Проверяем гипотезу об отсутствии линейной связи между и  с помощью критерия Стьюдента: , .Критическая область двухсторонняя:  С вероятностью 0,95 гипотезу отвергаем, так как  , т. е.  . Это означает, что коэффициент корреляции статистически значим.5 этап: Интерпретация полученных показателей Таким образом, коэффициент является незначимым. Значение коэффициента регрессии говорит о том, что при увеличении численности работников на 1 человека, объем продукции увеличится на 0,592 млн. руб. или 592,2 тыс. рублей.Найдем коэффициент эластичности для данной модели:  (полученное выражено в процентах)Значение коэффициента эластичности приближенно показывает, что значение величины объема производства изменится на 1,097 % при изменении численности работников на 1% от среднего значения. 6 этап: Прогноз на основе линейной модели Точечный прогноз:  .Допустим, прогнозное значение независимой переменной изменяется на  от среднего значения. Тогда оптимистическое и пессимистическое значения  и  составят:  . .При этом объем продукции в оптимистическом случае составит:  млн. руб.,в пессимистическом соответственно:  млн. руб.Интервальный прогноз значения  : .Дисперсия величины определяется по формуле:  .Для исчисления дисперсии составим вспомогательную таблицу:
Необходимые для расчета значения:  , , , .Оптимистический интервальный прогноз при (численность работников увеличится на 10% от среднего уровня): , .Пессимистический интервальный прогноз при (численность работников снизится на 10% от среднего уровня): , .Графически наши прогнозы можно представить так:  С вероятностью 0,95 можно гарантировать, что в случае увеличения численности работников на 10% от среднего значения, объем продукции составит от 24,98 млн. руб. до 29,84 млн. руб.; в случае снижения численности работников на 10% от среднего показателя, объем продукции составит от 19,56 млн. руб. до 24,42 млн. руб. Решение: 2 способ (с помощью функции «анализ - регрессия» пакета анализа MS Excel)Проверка всех результатов расчетов проводилась с использованием функции «анализ данных-регрессия» пакета анализа MS Excel. Все расчеты, приведенные ранее, подтвердились.
1  – средние квадраты (от англ. mean of squares), которые дают несмещенные оценки соответствующих теоретических дисперсий. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
