преобразование уравнений. Преобразование уравнений в равносильные данным. Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических уравнений
 Скачать 30.31 Kb.
|
|
Преобразование уравнений в равносильные данным. Решение рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических уравнений. Равносильные уравнения. Равносильные преобразования уравнений. Два уравнения с одной переменной  и называются равносильными, если множества их корней совпадают, т.е. уравнения имеют одинаковые корни или не имеют корней.Например,         Уравнения (1) и (2) равносильны.   Замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием. Равносильные преобразования уравнений: Перенос слагаемых (с противоположным знаком) из одной части уравнения в другую. Умножение / деление обеих частей уравнения на число неравное нулю. Применение тождеств, т.е. равенств, справедливых для каждого  Возведение уравнения в нечетную степень. Замену уравнения  уравнением , называют возведением уравнения в степень n.Например: Решим уравнение  Возведем обе части уравнения в 3-ю степень.   Применяем формулу куба разности в правой части уравнения, переносим все слагаемые с противоположным знаком из правой части в левую, приводим подобные слагаемые:     Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому корни уравнения (2) являются корнями уравнения (1). Ответ: 0; 2; -8. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения. Замену уравнения уравнением , называют извлечением корня степени n из обеих частей уравнения.Например: Решим уравнение  Извлекаем корень 11-й степени из обеих частей уравнения:    Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому корень уравнения (2) является корнем уравнения (1). Ответ: -9. Логарифмирование показательного уравнения. Замену уравнения  уравнением называют логарифмированием показательного уравнения.Решим уравнение  Прологарифмируем показательное уравнение по основанию 5:     Уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому корни уравнения (2) являются корнями уравнения (1). Ответ: 1; 2. Уравнения-следствия. Неравносильные преобразования уравнений Если каждый корень уравнения является в то же время корнем уравнения , то уравнение является следствием уравнения .Например:       Корень уравнения (1) является одним из корней уравнения (2), значит уравнение (2) является следствием уравнения (1). Замену одного уравнения другим, которое является его следствием называется переходом к уравнению-следствию. При переходе к уравнению следствию возможна потеря корней и появление посторонних корней, поэтому необходимо в подобном случае выполнять проверку полученных корней. Преобразования, которые приводят к уравнению-следствию: Возведение обеих частей уравнения в четную степень. Например: Решим уравнение  Возведем обе части уравнения в 4-ую степень:    Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х=-1 является посторонним корнем. Ответ: 1. Потенцирование логарифмического уравнения. Замену уравнения  уравнением называют потенцированием логарифмического уравнения.Например: Решим уравнение  Пропотенцируем логарифмическое уравнение по основанию 10:  Применяем основное логарифмическое тождество    Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х=1 является посторонним корнем. Ответ: 3. Освобождение от знаменателя Замену уравнения  уравнением  называют освобождением от знаменателя.Например: Решим уравнение    Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х=1 является посторонним корнем. Ответ: 4. Применение формул (логарифмических, тригонометрических) Например: Решим уравнение  В левой части уравнения применяем свойство логарифмов, в правой части – представляем 3 в виде логарифма по основанию 2:      Выполнив проверку, т.е. подставив корни уравнения вместо х в исходное уравнения, получим, что х=-3 является посторонним корнем. Ответ: 3. Решите уравнения, указав какое преобразование применили:       |