Реферат
По теме: Предел числовой последовательности
Студентки 13 группы СПО
Дрёмовой Полины
План:
Введение
1 История
2 Определение
3 Обозначения
4 Свойства
4.1 Свойства
4.1.1 Арифметические свойства
4.1.2 Свойства сохранения порядка
4.1.3 Другие свойства
4.2 Примеры
5 Случай комплексных чисел
6 Примеры
7 Замечания
Примечания
Введение
Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому,
предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.
Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.
Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. [1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.
1. История
Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
2. Определение
Число a \in \R называется пределом числовой последовательности
\{x_n\}, если последовательность
\{x_n - a\} является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.
\lim_{n \to \infty} x_n = a
\Leftrightarrow
\forall \varepsilon > 0
\exists N = N(\varepsilon)
\forall n \geqslant N \colon |x_n - a| < \varepsilon
В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа
a, её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.
\lim_{n \to \infty} x_n = \infty
\Leftrightarrow
\forall A > 0
\exists N = N(A)
\forall n \geqslant N \colon |x_n| > A
Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.
\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty
\Leftrightarrow
\forall A > 0
\exists N = N(A)
\forall n \geqslant N \colon x_n > A
Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.
\lim_{n \to \infty} x_n = -\infty
\Leftrightarrow
\forall A > 0
\exists N = N(A)
\forall n \geqslant N \colon x_n < -A
Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.
Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.
Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.
3. Обозначения
Тот факт, что последовательность
\{x_n\} сходится к числу
a обозначается одним из следующих способов:
\lim_{n \to \infty} x_n = a;
x_n
\xrightarrow[n \to \infty]{}
a.
4. Свойства
Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.[2]
Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.
Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.
4.1. Свойства
4.1.1. Арифметические свойства
Оператор взятия предела числовой последовательности является линейным, т. е. проявляет два свойства линейных отображений.
Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует.
\lim_{n \to \infty} (x_n + y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n + \lim_{n \to \infty} y_n
Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела.
\forall k \in \R \colon \lim_{n \to \infty} k x_n = k \lim_{n \to \infty} x_n
Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует.
\lim_{n \to \infty}(x_n \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty} x_n \cdot \lim_{n \to \infty} y_n
Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой.
\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = \frac{\lim \limits_{n \to \infty} x_n}{\lim \limits_{n \to \infty}y_n}
4.1.2. Свойства сохранения порядка
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа.
\exists N \in \N
\forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant a
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a
Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности.
\exists N \in \N
\forall n \geqslant N \colon x_n \geqslant a
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a
Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа.
\exists N \in \N
\forall n \geqslant N \colon x_n < a
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \leqslant a
Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности.
\exists N \in \N
\forall n \geqslant N \colon x_n > a
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \geqslant a
Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй.
\exists N \in \N
\forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant y_n
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n
Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения).
\exists N \in \N
\forall n \geqslant N \colon x_n \leqslant z_n \leqslant y_n
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \leqslant \lim_{n \to \infty} z_n \leqslant \lim_{n \to \infty} y_n
4.1.3. Другие свойства
Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел.
\lim_{n \to \infty} x_n = a
\land
\lim_{n \to \infty} x_n = b
\Rightarrow
a = b
Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел.
\forall n \in \N \colon x_n \in [a,
b]
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} x_n \in [a,
b]
Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу.
\lim_{n \to \infty} x = x
Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
Имеет место теорема Штольца.
Если у последовательности xn существует предел, то последовательность средних арифметических \frac{x_1 + \dots + x_n}{n} имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
Если у последовательности чисел
\{x_n\} существует предел
x, и если задана функция
f(x), определенная для каждого
x_n и непрерывная в точке
x, то
\lim_{n\to\infty}{f(x_{n})}=f(x)
4.2. Примеры
\lim_{n \to \infty} 0,\underbrace{33\cdots3}_{n} = 1 / 3
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0
\forall q \in \R \colon \lim_{n \to \infty} \frac{q^n}{n!} = 0
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e
\forall a \in \R\setminus\{0\} \colon \lim_{n \to \infty} \underbrace{\sqrt{a + \sqrt{a + \cdots + \sqrt{a}}}}_{n} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4 a}}{2}
\lim_{n \to \infty} x_n = x
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k = 1}^{n} x_k} = x
\forall n \in \N \colon x_n > 0
\Rightarrow
\lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1}}{x_n} = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{x_n}
\lim_{n \to \infty} n = +\infty
\nexists \lim_{n \to \infty} (-1)^n
5. Случай комплексных чисел
Комплексное число a называется пределом последовательности {zn}, если для любого положительного числа \varepsilon можно указать такой номер N=N(\varepsilon), начиная с которого все элементы zn этой последовательности удовлетворяют неравенству
|z_n - a|< \varepsilon при n \ge N(\varepsilon)
Последовательность {zn}, имеющая предел a, называется сходящейся к числу a, что записывается в виде \lim_{n \to \infty}z_n = a.
6. Примеры
Не у всякой последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве xn последовательность xn = ( − 1)n, то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, 1, − 1, то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).
7. Замечания
Произведение бесконечно малой последовательности на бесконечно большую может стремиться в пределе к чему угодно, либо не иметь предела.
Примечания
Здесь подразумевается повторение чисел в записи числа в некоторой фиксированной системе счисления.
Литература: В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ - sci-lib.com/book000401.html |
Скачать 23.37 Kb.