Теория вероятносте. Решение Пусть событие а хотя бы одно попадание в волка из 4х выстрелов
 Скачать 170.58 Kb.
|
|
Задание 1 1. Из пяти карточек А, Б, В, Г, Д, наугад одна за другой выбираются 3 и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово "два"? Решение: Всего имеется 5 букв, из них – одна буква " Д ", поэтому вероятность того, что первой будет буква " Д " равняется 1/5. Если первой была буква " Д " , то осталось 4 буквы, из которых одна буква "В", поэтому вероятность вынуть второй букву " В " равняется 1/4. Теперь букв на карточках осталось 3, из них 1 буква " А ", поэтому вероятность того, что третья буква – это буква " А " равняется 1/3. Тогда вероятность события А –" получится слово "два"" равняется:  Ответ:  .2. Два охотника стреляют в волка. Для первого охотника вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7, для второго – 0,8. Какова вероятность попадания в волка (хотя бы при одном выстреле), если охотники делают по два выстрела. Решение: Пусть событие А – «хотя бы одно попадание в волка из 4-х выстрелов» Противоположное событие  – «ни одного попадания (четыре промаха)».Если для первого охотника вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7, для второго – 0,8, то вероятности промаха для первого охотника равна 0,3, для второго – 0,2. Тогда вероятность того, что будет четыре промаха:  .По теореме о вероятности противоположных событий:  , или 99,64%.Ответ:  , или 99,64%.3. В цехе работают 20 станков. Из них марки А – 10, марки В – 6, марки С – 4. Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равна – 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества. Решение: Используем формулу полной вероятности: Если событие А происходит вместе с одной из событий Н1, Н2,…, Нn, которые составляют полную группу попарно несовместимых событий, то события Нк (к = 1, 2, …, n) называют гипотезами. Если известные вероятности гипотез и условные вероятности события А при выполнении каждой из гипотез, то вероятность события А в опыте S ( так называемая полная вероятность) исчисляется по формуле  Пусть событие А – наугад взятая из цеха деталь – отличного качества. Создадим три гипотезы: Н1 – деталь изготовлена на станке марки А; Н2 – деталь изготовлена на станке марки В; Н3 – деталь изготовлена на станке марки С. По условию задачи  ; ; .Вероятность того, что качество детали окажется отличным, для станков соответственно равна – 0,9; 0,8; 0,7, т.е. условные вероятности отличного качества для каждого станка:  .По формуле полной вероятности найдем вероятность того, что наугад взятая деталь - отличного качества:  Ответ:  0,83.4. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25 %, вторая – 35 %, третья – 40 % всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Случайно выбранный болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он сделан на третьей машине. Решение: Используем формулу полной вероятности: Пусть событие А – выбранный болт оказался дефектным. Создадим три гипотезы: Н1 – болт изготовлен на первой машине; Н2 – болт изготовлен на второй машине; Н3 – болт изготовлен на третьей машине. По условию задачи  ; ; . Брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %., т.е. условные вероятности брака для каждой машины:  .По формуле полной вероятности найдем вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным:  Используем формулу Байеса: Если известно, что произошло событие А, и нужно найти вероятность того, что оно произошло именно с гипотезой Нк , то есть условную вероятность гипотезы Нк при условии А, то используется формула Байеса:  (к = 1, 2, …, n).По формуле Байеса находим вероятность того, что бракованный болт сделан на третьей машине:  Ответ:  5. Вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,97. Сколько нужно опустить монет, чтобы наивероятнейшее число случаев правильной работы автомата было 100? Решение: Наиболее вероятное число появлений события в схеме Бернулли находится по формуле:  – то есть целая часть числа  или из двойного неравенства:  .Здесь событие А – правильное срабатывание автомата. Вероятность р =  , q = 1 – p = 1 – 0,97 = 0,03;  100, n – ?    n = 103.Ответ: n = 103, нужно опустить 103 монеты. 6. Вероятность появления события А в одном испытании равна p. Найти вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А произойдет: а) m раз; б) от k1 до k2раз. а) p = 0,17, n = 600, m = 90; б) n = 100, p = 0,85,  , k2 = 80.Решение: а) Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р, то вероятность того, что событие А настанет ровно k раз, находится за формулой Бернулли, но при больших значениях n и k пользоваться формулой Бернулли неудобно из-за громоздкости вычислений. В таких случаях при  используем локальную теорему Муавра –Лапласа: р = 0,17 ; q = 1 – р = 1 – 0,17 = 0,83, n= 600, k = 90 :  б) Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: Если проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью р, то вероятность того, что событие А настанет не меньше k1 раз и не больше k2 раз, равняется:  Здесь n = 100; р = 0,85 ; q = 1 – р = 1 – 0,85 = 0,15 ; k1 = 25, k2 = 80.  Ответ: а)  ; б)  .7. Случайная величина  задана функцией распределения  . Требуется найти: а) постоянную  ; б) плотность распределения вероятностей  ; в)основные числовые характеристики   ; = 0; = 1.Решение: а) Функция распределения случайной величины непрерывная, поэтому  . Отсюда получаем  с= 1/8. Итак, функция распределения имеет вид : =  б) Плотность распределения  является производной от функции распределения  , т.е. = .При х ≤ 0 получаем: = 0 = = 0 При 0 < х ≤ 2 получаем: =  = =  При х > 2 имеем: = 1 = = 0 . в) Вычислим числовые характеристики :Для непрерывных случайных величин математическое ожидания (среднее значение) и дисперсия находится за формулами:    Тогда дисперсия:  .Среднее квадратичное отклонение – это корень квадратный из дисперсии:  8. В таблице дано распределение 50 заводов по объёму валовой продукции  (млн р.) и себестоимости (р.).
Требуется: а) вычислить условные средние  ; б) вычислить выборочный коэффициент корреляции и проанализировать тесноту связи между признаками и ; в) составить выборочное уравнение прямой регрессии. Решение: а) Найдем средние  , то есть средние значения показателя (или у в обозначениях в заданной таблице) , вычисленные для каждого значения признака (или х) по формуле:  .Зависимость между значениями x и средними называется корреляционной зависимостью Y на Х . Ее можно записать с помощью таблицы:
б) Значения х і у в таблице заданы с равноотстоящими вариантами с шагом h1 = 0,5 для х і с шагом h2 = 1000 для у, поэтому для упрощения расчетов можно перейти к условным вариантам u и v по формулам:  ,где С1 и С2 – это такие значения х i у, которые стоят приблизительно в середине вариационного ряда и имеют самую большую частоту. В данном случае выбираем С1 = 3.0, С2 = 3500, тогда   Получаем новую корреляционную таблицу:
Коэффициент корреляции rв рассчитываем по формуле :  , n = 50       Тогда  Получаем: 0 < |rв| <1, то есть Х і Υ – зависимые случайные величины, причем чем ближе |rв| к единице, тем ближе зависимость между Х і Υ к линейной зависимости. В экономических исследованиях при значениях коэффициента корреляции 0,7 – 0,9 связь считают тесной, если же значение коэффициента корреляции 0,2 – 0,4 связь считают слабой. В данном случае r ≈ -0,83, теснота линейной связи между факторами Х i Y существенная, а так как величина отрицательная, то связь обратная. По формулами моментов перейдем к вариантам Х и Y :
Уравнение регрессии Y на Х имеет вид:    | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
