учеb. Решение При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде скорость определим по формуле

• Название: Решение При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде скорость определим по формуле
• Анкор: uchebnik
• Дата: 04.12.2022
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: учеb.docx
• Тип: Решение; #827767
• страница: 1 из 4

вфвфывввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввв



Рис.7.1.3

Добавим к условию задачи такие вопросы: определить скорость в момент времени и потенциальную энергию в этот момент времени.

Решение

При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде: скорость определим по формуле

,

Для момента времени найдем фазу колебаний:

;

тогда скорость будет равна

;

это максимальное значение скорости.

На примере математического маятника (Рис.7.1.4) можно пояснить знак «минус» у скорости.



Рис.7.1.4

Потенциальная энергия определяется по формуле , где выше было получено: , , , подставим значения и получим, что потенциальная энергия равна нулю.

Это было ясно уже тогда, когда мы получили результат, что в момент времени скорость приняла максимальное значение, следовательно, кинетическая энергия тоже максимальна, а потенциальная энергия равна 0.

4. 
   Пример 2 решения задачи 7
   

Дифференциальное уравнение для колебания имеет вид:

1. 
   Определить частоту колебаний в Герцах
   
2. 
   Записать уравнения измерения заряда на пластинах конденсатора
   
3. 
   Записать уравнения изменения тока в контуре со временем, если в начальных момент
   
4. 
   Определить индуктивность катушки, если в начальных момент максимальное напряжение на пластинах конденсатора равно 50В.
   
5. 
   Начертить графики q(t) и i(t)
   

Решение задачи.

1. 
   Из вида дифференциального уравнения определяем
   
2. 
   Решением дифференциального уравнения будет уравнение в виде
   

(можно записать см. примечание в решении задачи 1).

Так как в момент времени получим



Уравнение изменения заряда на пластинах конденсатора примет вид

3. 
   Сила тока , тогда уравнение изменения силы тока со временем будет записано в виде:
   

или

4. 
   Собственная циклическая частота колебаний определяется параметрами контура , отсюда из условия задачи в момент времени , а , определим емкость конденсатора
   

5. 
   Графики зависимостей q(t) и i(t) даны на Рис.7.1.5.
   

Рис.7.1.5.

2. 
   ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ
   

В любой реальной системе всегда имеются силы сопротивления, энергия системы уменьшается, т.к. частично расходуется на работу против сил трения, амплитуда колебаний со временем убывает. Затухающие колебания рассматриваем на примере колебаний в электрическом контуре.

Любой реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постоянно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания в контуре затухают.

Дифференциальное уравнение колебания заряда

Для колебаний заряда в электрическом контуре, содержащем R, L, C, дифференциальное уравнение имеет вид:



Уравнение колебания заряда

Заряд на пластинах конденсатора меняется по закону



Это уравнение является решением дифференциального уравнения

	амплитудное значение заряда,
	коэффициент затухания
	Омическое сопротивление
L	Индуктивность катушки
	Циклическая частота затухающих колебаний
	Циклическая частота собственных колебаний, зависящая от параметров контура L,C

Подставив значения и в формулу частоты колебаний ( ), получим:

Логарифмический декремент затухания

Для характеристики затухания вводится физическая величина – логарифмический декремент затухания , равный натуральному логарифму отношения двух амплитуд, следующих друг за другом через период, формула определения такая: (см рис 7.2.1)



Рис.7.2.1

Время релаксации - это время, в течении которого амплитудное значение уменьшается в е раз.

Добротность контура

Изменение со временем разности потенциалов на пластинах конденсатора можно записать, если учесть, что , тогда .

Обозначив , значение разности потенциалов запишется в виде: , где - амплитудное значение разности потенциалов.

Сила тока в катушке определяется как тогда , где

- значение тока в момент времени t=0

- амплитудное значение тока

Энергия контура будет складываться из энергии магнитного поля и энергии электрического поля , где ,

Полная энергия в любой момент времени будет равна максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля:

, где - полная энергия контура в момент времени t=0.

Приведенные ниже примеры решения задач должны вам помочь в выполнении контрольных работ.

1. 
   Пример 3 решения задачи № 7
   

Емкость электрического контура С=100пФ в начальный момент времени заряжена до максимальной величины заряда 10нКл, сопротивление 100 Ом, индуктивность 10мГн, логарифмический декремент затухания равен 0,1.

Написать уравнения колебаний для:

1. 
   Заряда
   
2. 
   Разности потенциалов на пластинках конденсатора
   
3. 
   Записать дифференциальное уравнение для заряда
   

Решение задачи

Уравнение колебания заряда в общем виде записывается так: . По условию задачи в момент времени t=0 , (см. свободные гармонические колебания задача 1).

Тогда можно найти и :

Логарифмический декремент

Найдем период колебаний , т.к. , то .

Уравнение колебания заряда будет иметь вид:



Уравнение колебания разности потенциалов в общем виде запишется так:

,

, , .

С – емкость конденсатора = 100 пФ



Уравнение колебания для U будет иметь вид:

2. 
   Пример 4 решения задачи № 7
   

Дифференциальное уравнение для заряда запишется так:

,

Найти время, в течение которого энергия контура уменьшается в 10 раз.

Решение задачи

Полная энергия контура в любой момент времени определяется по формуле: , в начальный момент времени t=0 энергия будет равна , тогда (по условию задачи). Прологарифмируем: .

Из дифференциального уравнения получим

2. 
   СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ
   

Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений.

1. 
   Сложение колебаний одинаково направления.
   

Сложение колебаний с одинаковыми частотами. Допустим, что тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях:





-смещение в первом из колебаний при отсутствии второго.

- смещение при втором колебании в отсутствии первого. При одновременно происходящих колебательных процессах в каждое мгновение результирующее смещение X будет равно . Сложение колебаний одного направления и одинаковых частот производят по методу векторных диаграмм. Каждое колебание изображается в виде вектора, имеющего длину, равную амплитуде колебания, вращающегося вокруг начала координат с угловой скоростью, равной круговой частоте колебаний, а начальное положение вектора определяется его начальной фазой колебаний. При сложении двух колебаний с одинаковыми частотами получим результирующее колебание, которое будет являться диагональю параллелограмма. Векторы вращаются с одной и той же угловой скоростью, поэтому и результирующий вектор будет вращаться с той же угловой скоростью. Следовательно, результирующее колебание будет тоже гармоническим, смещение меняется по закону



где - амплитуда результирующего колебания,

- циклическая частота колебаний,

- начальная фаза результирующего колебания.



Рис.7.3.1

Амплитуду и фазу результирующего колебания легко найти из рассмотрения соответствующих треугольников



Биения

В случае, когда складываемые колебания происходят по законам и с небольшой разностью частот (или ) возникают биения. Результирующее колебание описывается уравнением



в котором выражение является амплитудой биений. Частота колебаний равна среднему арифметическому частот складываемых колебаний.

- разность частот складываемых колебаний, следовательно, при биениях амплитуда меняется по гармоническому закону с частотой биений .

Период биений равен (Рис.7.3.2)



Рис.7.3.2