учеb. Решение При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде скорость определим по формуле

• Название: Решение При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде скорость определим по формуле
• Анкор: uchebnik
• Дата: 04.12.2022
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: учеb.docx
• Тип: Решение; #827767
• страница: 2 из 4

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами

Тело участвует одновременно в колебаниях вдоль оси X, которые происходят по закону: и вдоль оси Y, по закону , то есть частота колебаний вдоль осей X и Y одинаковая, амплитуды соответственно равные A и B, разность начальных фаз . В этом случае тело будет двигаться по траектории, уравнение которой имеет вид [1]:



Исследуя формулу траектории, можно сделать вывод, что при = 0 колеблющаяся точка перемещается по прямой: ;

При - уравнение траектории будет иметь вид



Уравнение прямой запишется так:

При траектория представляет собой эллипс /I/, уравнение которого

3. 
   Пример 1 решения задачи 8
   

Материальная точка участвует в двух взаимоперпендикулярных колебаниях, происходящих согласно уравнениям:

,м и ,м

Найти уравнение траектории и построить ее на чертеже

Решение задачи

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами вид траектории задается уравнением:



По условию задачи А=2м, В=4м, , подставим данные в уравнение траектории и получим

или

Полученное уравнение представляет собой уравнение прямой (рис 7.3.3). Для построения траектории найдем по уравнению прямой значения Y, соответствующие ряду значений X:

x	y=-2x	X	y=-2x
0	0
+1/2	Y=-1	-1/2	Y=+1
+1	Y=-2	-1	Y=+2

Начертив координатные оси и выбрав единицу длины, построим точки, соединим их и получим траекторию результирующего колебания точки.



Рис.7.3.3

При решении некоторых задач в зависимости от условия задачи, можно применить метод, который предлагается при решении следующей задачи.

4. 
   Пример 2 решения задачи 8
   

На выходы X = Y осциллографа поданы напряжения



Найти траекторию электронного луча.

Решение задачи

По условию задачи амплитудные значения равны

а разность фаз

Разделив и на амплитудные значения, возведем левые и правые части уравнения в квадрат и сложим, получим:

или

Получили уравнение эллипса: выбрав координатные оси, построим траекторию результирующего колебания

Рис.7.3.4

5. 
   Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с кратными частотами
   

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с разными частотами представляет собой интересный случай, когда частоты складываемых колебаний кратны. В таком случае траектории результирующих колебаний представляют собой устойчивые во времени кривые, вписанные в прямоугольники, ограниченные амплитудами. Траектории результирующих колебаний носят название фигур Лиссажу, вид которых определяется разностью фаз и отношением частот складываемых колебаний. По виду фигур Лиссажу можно определить отношения частот складываемых колебаний. Примеры наиболее простых этих фигур представлены в таблице.

6. 
   Пример 3 решения задачи 4
   

Материальная точка участвует одновременно в двух взаимноперпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых и , где A=1см, В=2см , , т.е. .

Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение задачи

В данном случае колебания происходят с разными частотами, кратными . Чтобы определить траекторию точки, исключим время из уравнения. Заметив, что , применим формулу косинуса половинного угла



Используя это соотношение и отбросив размерности X и Y, можно написать:



откуда

или



Уравнение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью ОХ. Как показывают уравнения, амплитуда колебаний точки по оси ОХ равна 1, а по оси ОY = 2. Следовательно, абсциссы всех точек траектории заключены в пределах от -1 до 1, а ординаты от -2 до 2. Для построения траектории найдем по уравнению значения Y, соответствующие ряду значений X, удовлетворяющих условию X⩽1.

X	y=2x+2	X	Y=2x+2
-1	0	0	±1.41
-0.75	±0.71	0.5	±1.73
-0.5	±1	1	±2

Начертив координатные оси (рис 7.3.5) и выбрав единицу длины – сантиметр, построим точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию результирующего колебания точки. Она представляет собой часть параболы, заключенной внутри прямоугольника амплитуд (фигура Лиссажу).

Из уравнения находим, что период колебаний точки по горизонтальной оси , а по вертикальной оси . Следовательно, когда точка совершит одно полное колебание по оси OX, она совершит только половину полного колебания по оси OY. В начальный момент (t = 0) имеем: X = 1, Y = 2 (точка находится в положении А). При t = 1с получим X=-1 Y=0 (точка находится в вершине параболы). При t=2c получим X=1 и Y=-2 (точка находится в положении D). После этого она будет двигаться в обратном направлении.



Рис.7.3.5

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Вариант 1

1. 
   Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону: , где векторы являются ортами декартовой системы координат. Какую работу совершила равнодействующая сила за вторую секунду движения, если масса материальной точки составляет 0,1 кг?
   
2. 
   Шар массой 1 кг и радиусом 0,1 м находится на вершине пологой горки высотой 0,5 м. Шар без начальной скорости скатывается с горки и на горизонтальном участке пути сталкивается с покоящимся шаром массой 2 кг и радиусом 0,1 м. Удар абсолютно упругий, прямой, центральный. Какую скорость приобретет второй шар после удара? Потерями на трение пренебречь.
   
3. 
   Две концентрические непроводящие сферы радиусами R и 2Rзаряжены с поверхностной плотностью зарядов ₁ и ₂ соответственно. Найти силу (модуль и направление), действующую на электрон, находящийся в точке r₁ = 3R от центра. Какая работа будет совершена при перемещении электрона из этой точки в точку r₂ = 4R? Принять R = 0,1 м, ₁ = 5 нКл/м², ₂=  5 нКл/м².
   
4. 
   В изображённой на рис.1 электрической цепи, каждый резистор может поглощать максимальную тепловую мощность 10 Вт. Сопротивление резисторов R₁= 100 Ом, R₂= 200 Ом, R₃= 20 Ом. Каково максимальное значение силы тока I, который можно пропустить по данной цепи, при котором ни один из резисторов не будет повреждён?
   

Рис. 1

5. 
   Бесконечно длинный провод с током I=100 А изогнут так, как это показано на рисунке. В плоскости, в которой лежит изогнутый провод, пролетает электрон по направлению к точке О со скоростью ν =10⁵ м/с. Определить величину и направление силы Лоренца, действующую на электрон, в точке О, если расстояние d=5 см.
   

Рис.1

6. 
   В магнитном поле с индукцией, изменяющейся со скоростью 2 млТл/с, находится соленоид. Ось соленоида с вектором магнитной индукции составляет угол α=30°. Диаметр витков соленоида составляет 10 см, а их число - 100. Сопротивление соленоида 20 Ом. Определить выделившуюся на соленоиде теплоту за время t=5 с.
   
7. 
   На вертикальной пружине закреплена горизонтальная платформа массой 700 г. Платформу вывели из положения равновесия и в системе возникли колебания с частотой 5,5 Гц. Записать уравнение колебаний, которые возникнут в системе, если на платформу положить груз массой 600 г, отвести платформу из положения равновесия на 6 см и плавно отпустить. Построить график скорости платформы за время, равное двум периодам колебаний.
   
8. 
   Материальная точка участвует одновременно в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:
   

X₁ = 3 Cost, см.

X₂= 3 Cos( t + π / 3 ), см.

X₃= 3 Sin( t + 7 π / 6 ), см.

Постройте векторную диаграмму сложения заданных колебаний и запишите уравнение результирующего колебания с числовыми коэффициентами.

Вариант 2

1. 
   Материальная точка массой 0,2 кг движется из состояния покоя с ускорением ,где векторы являются ортами декартовой системы координат. Какую работу совершила равнодействующая сила за вторую секунду движения?
   
2. 
   На покоящийся шар массой 0,1 кг и радиусом 0,1 м, находящийся перед пологой горкой, налетает шар массой 0,2 кг и радиусом 0,1 м, движущийся со скоростью 1 м/с. Удар упругий, прямой, центральный. На какую высоту вкатится первый шар после удара? Потерями на трение пренебречь.
   
3. 
   Две концентрические непроводящие сферы радиусами R и 2R заряжены с поверхностной плотностью зарядов ₁ и ₂ соответственно. Найти силу (модуль и направление), действующую на протон, находящийся в точке r₁ = 3R от центра. Какую скорость приобретет первоначально покоившийся протон, подлетая к внешней поверхности сфер? Принять R = 0,1 м, ₁ = 5 нКл/м², ₂=  5 нКл/м².
   
4. 
   Сила тока в проводнике меняется по закону I = 4 + 2t, А. 1) Какой заряд пройдёт через поперечное сечение проводника за время от t = 2с до t = 6с? 2) Какая теплота выделится за данное время на проводнике с сопротивлением 60 Ом?
   
5. 
   Бесконечно длинный провод с током I=100 А изогнут так, как это показано на рисунке. В плоскости, в которой лежит изогнутый провод, пролетает протон по направлению к точке О со скоростью ν=2∙10⁵ м/с. Определить величину и направление силы Лоренца, действующую на протон, в точке О, если расстояние d=4 см.
   

Рис.1

6. 
   В магнитном поле с индукцией, изменяющейся со скоростью 4 млТл/с, находится соленоид. Ось соленоида с вектором магнитной индукции составляет угол α=60°. Диаметр витков соленоида составляет 15 см, а их число равно 200. Сопротивление соленоида 30 Ом. Найти заряд, протекающий по соленоиду за время t=10 с.
   
7. 
   Конденсатор емкостью 0,5 мкф подключен параллельно катушке индуктивностью 250 мГн. и сопротивлением 40 Ом. Через катушку пропустили ток 40 мА и отключили источник. Запишите уравнение колебаний напряжения на конденсаторе после отключения источника постоянного тока. Каким станет значение напряжения на конденсаторе через время, равное четырем периодам колебаний. Во сколько раз изменится энергия контура за это время.
   
8. 
   Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями :
   

X = 2Sin π t, см.

Y= -Cos π t, см.
Найти уравнение траектории движения точки , построить ее на чертеже. Показать начальное положение точки и направление ее движения по траектории. Определить скорость и ускорение точки в момент времени 0,5 с.