учеb. Решение При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде скорость определим по формуле
![]()
|
вфвфывввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввввв ![]() Рис.7.1.3 Добавим к условию задачи такие вопросы: определить скорость в момент времени ![]() Решение При решении задачи 1 мы получим уравнение смещения в виде: скорость определим по формуле ![]() Для момента времени ![]() ![]() ![]() тогда скорость будет равна ![]() ![]() это максимальное значение скорости. На примере математического маятника (Рис.7.1.4) можно пояснить знак «минус» у скорости. ![]() Рис.7.1.4 Потенциальная энергия определяется по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Это было ясно уже тогда, когда мы получили результат, что в момент времени ![]() Пример 2 решения задачи 7 Дифференциальное уравнение для колебания имеет вид: ![]() Определить частоту колебаний в Герцах Записать уравнения измерения заряда на пластинах конденсатора Записать уравнения изменения тока в контуре со временем, если в начальных момент ![]() Определить индуктивность катушки, если в начальных момент максимальное напряжение на пластинах конденсатора равно 50В. Начертить графики q(t) и i(t) Решение задачи. Из вида дифференциального уравнения определяем ![]() Решением дифференциального уравнения будет уравнение в виде ![]() (можно записать ![]() Так как в момент времени ![]() ![]() ![]() Уравнение изменения заряда на пластинах конденсатора примет вид ![]() Сила тока ![]() ![]() ![]() Собственная циклическая частота колебаний ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Графики зависимостей q(t) и i(t) даны на Рис.7.1.5. ![]() Рис.7.1.5. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯХ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ В любой реальной системе всегда имеются силы сопротивления, энергия системы уменьшается, т.к. частично расходуется на работу против сил трения, амплитуда колебаний со временем убывает. Затухающие колебания рассматриваем на примере колебаний в электрическом контуре. Любой реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постоянно расходуется в этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания в контуре затухают. Дифференциальное уравнение колебания заряда Для колебаний заряда в электрическом контуре, содержащем R, L, C, дифференциальное уравнение имеет вид: ![]() Уравнение колебания заряда Заряд на пластинах конденсатора меняется по закону ![]() Это уравнение является решением дифференциального уравнения
Подставив значения ![]() ![]() ![]() ![]() Логарифмический декремент затухания Для характеристики затухания вводится физическая величина – логарифмический декремент затухания ![]() ![]() ![]() Рис.7.2.1 Время релаксации ![]() Добротность контура ![]() Изменение со временем разности потенциалов на пластинах конденсатора можно записать, если учесть, что ![]() ![]() Обозначив ![]() ![]() ![]() Сила тока в катушке определяется как тогда ![]() ![]() ![]() Энергия контура будет складываться из энергии магнитного поля и энергии электрического поля ![]() ![]() ![]() Полная энергия в любой момент времени будет равна максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля: ![]() ![]() Приведенные ниже примеры решения задач должны вам помочь в выполнении контрольных работ. Пример 3 решения задачи № 7 Емкость электрического контура С=100пФ в начальный момент времени заряжена до максимальной величины заряда 10нКл, сопротивление 100 Ом, индуктивность 10мГн, логарифмический декремент затухания равен 0,1. Написать уравнения колебаний для: Заряда Разности потенциалов на пластинках конденсатора Записать дифференциальное уравнение для заряда Решение задачи Уравнение колебания заряда в общем виде записывается так: ![]() ![]() ![]() Тогда можно найти ![]() ![]() ![]() Логарифмический декремент ![]() Найдем период колебаний ![]() ![]() ![]() Уравнение колебания заряда будет иметь вид: ![]() Уравнение колебания разности потенциалов в общем виде запишется так: ![]() ![]() ![]() ![]() С – емкость конденсатора = 100 пФ ![]() Уравнение колебания для U будет иметь вид: ![]() Пример 4 решения задачи № 7 Дифференциальное уравнение для заряда запишется так: ![]() Найти время, в течение которого энергия контура уменьшается в 10 раз. Решение задачи Полная энергия контура в любой момент времени определяется по формуле: ![]() ![]() ![]() ![]() Из дифференциального уравнения ![]() ![]() ![]() СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ Возможны случаи, когда тело участвует одновременно в нескольких колебаниях, происходящих вдоль одного и того же или вдоль различных направлений. Сложение колебаний одинаково направления. Сложение колебаний с одинаковыми частотами. Допустим, что тело одновременно участвует в двух гармонических колебаниях: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Рис.7.3.1 Амплитуду и фазу результирующего колебания легко найти из рассмотрения соответствующих треугольников ![]() Биения В случае, когда складываемые колебания происходят по законам ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() в котором выражение ![]() ![]() ![]() Период биений равен ![]() ![]() Рис.7.3.2 |