Рынок икт. Рынок ИКТ лабы. Решение систем линейных уравнений с помощью теоремы Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом ЖорданаГаусса. Построение экономикоматематической модели межотраслевого баланса модель затратывыпуск
 Скачать 1.22 Mb.
|
|
1 1. Задания к лабораторным работам Лабораторная работа 1 Применение матричной алгебры при решении экономических задач в табличном процессоре Excel Цель занятия усвоение технологии выполнения аналитических расчетов в программе технологии выполнения операций над матрицaми в среде Е, решение систем линейных уравнений с помощью теоремы Крамера и с помощью обратной матрицы, решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса, экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель затраты- выпуск. Этапы работы 1. Выполнение операций над матрицaми в среде Е. 2. Решение систем линейных уравнений с помощью теоремы Крамера и с помощью обратной матрицы. 3. Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса. 4. Построение экономико-математической модели межотраслевого баланса модель «затраты-выпуск»). 1. Выполнение операций над матрицaми в среде Е В EXCEL встроено множество функций, каждая из которых предназначена для выполнения специальных типов вычислений. При выполнении операций над матрицами, решении систем линейных уравнений, решении задач планирования по модели межотраслевого баланса можно применять следующие функции EXCEL: • МУМНОЖ - умножение матриц, • ТРАНСП - транспонирование матрицы, • МОПРЕД - вычисление определителя матрицы, • МОБР - вычисление обратной матрицы. Кнопка Мастер функции находится на панели инструментов. Функции для выполнения операций с матрицами находятся в категории математические рисунок 1). Матрицей А = (a ij ) mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строки столбцов а = а а а а а ... а а ... а m1 m2 mn Числа а ij , i = 1, ...,m; j= 1,...,n, составляющие данную матрицу, называются ее элементами i- номер строки матрицы, j - номер столбца. Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n. 2 Матрица, состоящая из одной строки, называется вектором-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца, вектором-столбцом. Две матрицы А = аи равны, если их соответствующие элементы равны, те. А = В тогда и только тогда, когда a ij = b ij , i = 1, ..., m; j = 1, ...,n. Список категорий функций Список функций выбранной категории Краткое описание выбранной функции Рисунок 1 - В диалоговом окне Мастер функций выбор для работы функций EXCEL. Суммой двух матриц А = аи называется матрица С = А+В, элементы которой c ij - равны сумме соответствующих элементов a ij и b ij матриц Аи В. Произведением матрицы А = (a ij ) mn на число α называется матрица В = α * А, элементы которой b ij равны b ij = α * a ij , i = 1, ..., m; j = 1, ...,n. Матрица (-A) = (-1) * А называется противоположной матрице А. Если матрицы Аи В одинаковых размеров, то их разность равна А - В = А + (-B). Произведением матрицы А порядка т * k на матрицу В порядка k * n называется матрица С = А * В порядка m * n, элементы которой c ij равны c ij =a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a ik b kj , где i = 1, ..., m; j = 1, ...,n. Изданного выражения следует правило умножения матриц чтобы получить элемент, стоящий на пересечении й строки иго столбца матрицы С, необходимо все элементы й строки матрицы А умножить на соответствующие элементы го столбца матрицы В и полученные произведения сложить. Произведение двух матриц не коммутативно, те. в общем случае А * В ≠ В * А. Если А * В = В * А, то матрицы Аи В называются коммутативными. Так, например, единичная матрица Е коммутативна с любой квадратной матрицей того же порядка, причем А * ЕЕ А = А. Пример 1. Найти произведение А * В матриц 2 3 4 6 = 5 , B = 1 7 8 Решение. 2 3 4 6 2 * 4 + 3 * 7 2 * 6 + 3 * 8 29 36 B = 5 1 = = 7 81 5 * 4 + 1* 7 5 * 6 + 1* 8 27 38 Решение примера в EXCEL приведено на рисунках 2 и 3. Выполнение умножения матриц с помощью функции EXCEL МУМНОЖ Эта функция возвращает произведение матриц (матрицы хранятся в массивах. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив 1, и с таким же числом столбцов, как массив 2. Синтаксис МУМНОЖ (массив массив 2) Массив 1, массив 2 - это перемножаемые массивы. • Количество столбцов аргумента массив 1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив 2, и оба массива должны содержать только числа. • Массив 1 и массив 2 могут быть заданы как интервалы, массивы констант или ссылки. • Если хотя бы одна ячейка в аргументах пуста или содержит текст или если число столбцов в аргументе массив 1 отличается от числа строк в аргументе массив 2, то функция МУМНОЖ возвращает значение ошибки ЗНАЧ. Рисунок 2 - Исходные данные для примера умножения матриц. • Введены матрицы А в ячейки А2:В3 и В в ячейки D2:E3. • Выделен диапазон ячеек для результата умножения - G2:H3. • Затем вводится формула умножения матриц = мумнож(А2:В3, D2:E3). 9 10 • Затем следует нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Рисунок 3 - В ячейках G2:H3 приведен результат умножения матриц. Пример 2. Ателье выпускает три вида изделий брюки, юбки и жилеты, используя два вида тканей шерстяную и подкладочную. Нормы расхода тканей характеризуются матрицей А. Брюки, юбки, жилеты Ткань Цена зам (руб) A= 1,2 0,9 0,75 0,7 0,6 0,5 шерстяная подкладочная 450 130 Определить а) количество метров тканей (D), необходимое для следующего выпуска изделий 150 B= 160 40 Брюки Юбки Жилеты б) общую стоимость тканей (S), если известна ценам. С = (450 130). Решение. 150 1,2 0,9 0,75 354 D = A * B = 0,7 0,6 0,5 * 160 = 221 40 Рисунок 4 - Вычисление вектора D. Общая стоимость тканей составит 188030 руб. 11 ) S = C * D = ( 450 354 130 = 188030 221 Рисунок 5 - Вычисление общей стоимости тканей. Транспонирование матрицы - это такое преобразование, при котором строки заменяются соответствующими столбцами. Обозначение транспонированной матрицы А, А т Транспонирование матриц с использованием функции EXCEL ТРАНСП. Эта функция возвращает вертикальный диапазон ячеек в виде горизонтального и наоборот. Функция ТРАНСП должна быть введена как формула массива в интервал, который имеет столько же строки столбцов, сколько их имеет аргумент массив. Функция ТРАНСП используется для того, чтобы поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот. Например, некоторые функции, такие как ЛИНЕЙН, возвращают горизонтальные массивы. Функция ЛИНЕЙН возвращает горизонтальный массив, содержащий данные о наклоне прямой и ее пересечении с осью координат Y. Следующая формула возвращает вертикальный массив, получаемый из горизонтального массива, возвращаемого функцией ЛИНЕЙН: ТРАНСП(ЛИНЕЙН(изв_знач_у,изв_знач_х)) Синтаксис ТРАНСП(массив) Массив - это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Массив может быть интервалом ячеек. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива, и т.д. Пример 3. Предположим, что ячейки АС содержат значения 1, 2 и 3 соответственно. Если следующая формула введена как формула массива в ячейки А3:А5. то ТРАНСП($А$1:$С$1) равняется тем же значениям 1, 2, 3 в ячейках А3:А5. Вычисление определителей Определителем го порядка, соответствующим матрице 12 а = а а а а а ... а а а называется алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем каждый такой член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус - в противоположном случае a 11 a a 12 a a 1n a n! 1( 1. 2..... n) A = 21 a n1 22 a n2 2n = ( − 1 ) a nn a 1 1 a 2 2 ,..., , a n n где суммирование распространяется на всевозможные перестановки α 1 , α 2 , …, α п из n чисел. Вычисление определителей го порядка производится на основании свойств определителей и следующей теоремы определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения A = a i1 A i1 + a i 2 A i 2 + ... + a in A in Алгебраическое дополнение Ау элемента a ij равно А = (-1) i+j M ij , где M ij - минор элемента a Вычисление определителя матриц с помощью функции EXCEL МОПРЕД, которая возвращает определитель матрицы (матрица хранится в массиве. Синтаксис МОПРЕД (массив) Массив - это числовой массив с равным количеством строки столбцов. • Массив может быть задан как интервал ячеек, например, АС или как массив констант, например, {1;2;3 : 4;5;6 : 7;8;9}, или как имя, называющее интервал или массив. • Если какая-либо ячейка в массиве пуста или содержит текст, то функция МОПРЕД возвращает значение ошибки ЗНАЧ. • МОПРЕД также возвращает значение ошибки ЗНАЧ, если массив имеет неравное количество строки столбцов. • Определитель матрицы - это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Для массива АС, состоящего из трех строки трех столбцов, определитель вычисляется следующим образом МОПРЕД(А1 :СЗ) равняется С – B3*С2)+A2*(BЗ*С1 - С) + А3*(В1*С2 - В2*С1). • Определители матриц обычно используются при решении систем уравнений с несколькими неизвестными. 13 Пример 4. Вычисление определителя матрицы из примера 1 с помощью EXCEL представлено на рисунках 6, 7, 8. Рисунок 6 - Первый шаг выполнения функции МОПРЕД. Рисунок 7 - Второй шаг - интервал ячеек задан, следует нажать кнопку ОК. 14 A Рисунок 8 - В ячейке D1 появился результат вычислений. Вычисление обратной матрицы Квадратная матрица А порядка и называется обратной матрице А, если она удовлетворяет соотношению А * А = А * А = E Квадратная матрица А порядка n называется невырожденной (неособенной), если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица А называется особенной (вырожденной. Для всякой невырожденной матрицы А = (a ij ) m,n существует единственная обратная матрица, равная A = 1 * A * , где А - присоединенная матрица, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента a ij матрицы А, те. 11 12 ... 1n * = 21 22 2n ... m1 m2 mn Пример 5. Вычислить обратную матрицу для матрицы А 4 6 = 7 8 Решение. Вычислим определитель матрицы (пример 4): A = −10 0 Определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, для матрицы А существует единственная обратная матрица. Вычислим присоединенную матрицу А A 11 = 8, A 12 = -6, A 22 = 4, A 21 = -7, 8 − 6 * 8 − 6 −1 1 8 − 6 −10 −10 − 0.8 0.6 A = − 7 ;A 4 = −10 − 7 4 = − 7 4 = 0.7 − 0.4 −10 −10 Проверкой убеждаемся, чтоА * А = Е. Обратную матрицу можно вычислить на основании следующих элементарных преобразований (преобразований Жордана-Гаусса) над строками матрицы 1) перемена местами двух строк, 2) умножение строки матрицы на любое число, отличное от нуля, 3) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на любое число. 15 2 1 11 1 22 22 1 0 0 33 1 6 0 0 0 0 0 Для того, чтобы вычислить обратную матрицу для матрицы А, необходимо составить матрицу В = (А │ E), затем с помощью элементарных преобразований преобразовать матрицу A к виду единичной матрицы Е, тогда на месте единичной матрицы получим матрицу Пример 6. Вычислить обратную матрицу для матрицы A 1 A = −1 3 4 0 0 6 12 Решение. Составим матрицу B (0) вида 1 3 4 1 0 0 B (0) = −1 0 0 0 1 0 12 0 0 Элемент b (0) = 1 и первую строку, содержащую данный элемент, назовем направляющими. Осуществим элементарные преобразования, в результате которых первый столбец преобразуется в единичный с единицей впервой строке. Для этого ко второй и третьей строкам прибавим первую строку, соответственно умноженную на 1 и -2. В результате данных преобразований получим матрицу 1 B (1) = 0 3 4 1 0 0 9 12 1 1 0 0 4 − 2 0 В матрице B (1) преобразуем второй столбец в единичный. В качестве направляющего элемента выберем элемент b (1) = 9 . Так как направляющий элемент b (1) 1 , то разделим вторую (направляющую) строку на 9. Затем к первой строке прибавим вторую, умноженную на -3. Получим матрицу 2 −1 3 3 B (2) = 0 1 4 3 1 9 1 9 0 0 4 − 2 0 1 Третий столбец матрицы B (2) преобразуем в единичный. В качестве направляющего элемента выбираем элемент b (2) = 4 . Делим направляющую (третью) строку на 4 и ко второй строке прибавляем третью, умноженную на -4. Получим матрицу 2 −1 3 3 B (3) = 0 1 0 7 9 1 9 −1 3 0 0 1 2 0 1 4 Откуда 2 0 16 2 3 A −1 = 7 9 −1 3 0 1 9 − −1 2 0 1 3 . 1 4 Вычисление обратной матрицы с помощью функции EXCEL МОБР, которая возвращает обратную матрицу для матрицы, хранящейся в массиве. Синтаксис МОБР(массив) • Массив может быть задан как диапазон ячеек, например АС как массив констант, например {1;2;3 : 4;5;6 : 7;8;9} или как имя диапазона или массива. • Если какая-либо из ячеек в массиве пуста или содержит текст, то функция МОБР возвращает значение ошибки ЗНАЧ. • МОБР также возвращает значение ошибки ЗНАЧ, если массив имеет неравное число строки столбцов. • Формулы, которые возвращают массивы, должны быть введены как формулы массива. • Обратные матрицы, как и определители, обычно используются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными. Произведение матрицы на ее обратную - это единичная матрица, те. квадратный массиву которого диагональные элементы равны 1, а все остальные элементы равны 0. • В качестве примера того, как вычисляется обратная матрица, рассмотрим массив из двух строки двух столбцов А В, который содержит буквы ас и d, представляющие любые четыре числа. В следующей таблице приведена обратная матрица для А1:В2: Столбец А Столбец В Строка 1 d/(a • d - b • с) b/(b • c - a • d) Строка 2 c/(b • с - ас МОБР производит вычисления с точностью до 16 значащих цифр, что может привести к небольшим численным ошибкам округления. • Некоторые квадратные матрицы не могут быть обращены, в таких случаях функция МОБР возвращает значение шибки ЧИСЛО. Определитель такой матрицы равен 0. Решение примера 5 в EXCEL представлено на рисунках 9 и 10. Рисунок 9 - Массив задан как диапазон ячеек А2:В3, выделен диапазон для размещения обратной матрицы, введена формула для вычислений. Затем следует нажать клавиши CTRL+SH1FT+ENTER. 17 Рисунок 10 - Результат вычислений в ячейках D2:E3. 2. Решение систем линейных уравнений с помощью теоремы Крамера и с помощью обратной матрицы. Правило Крамера применяется при решении системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля. Решение системы линейных уравнений находится по формуле Крамера: x j = ; j = 1,..., n, A - определитель матрицы А, составленной из коэффициентов при неизвестных A j - определитель, полученный из определителя A путем замены го столбца столбцом свободных членов. Пример 7. Решить систему уравнений по правилу Крамера. X 1 + X 2 + X 3 + X 4 = 10, X 1 - X 2 + X 3 - X 4 = -2, 2X 1 - 3X 2 + 4X 3 + X 4 = 12, 3X 1 + 4X 2 - 3X 3 + 9X 4 = 38, Решение. Вычислим определитель системы, используя функцию МОПРЕД: A = = −68 Рисунок 11 - Определитель системы A =-68. A j A 1 1 1 1 1 −1 1 −1 2 − 3 4 1 3 4 − 3 9 18 1 x 2 1 8 Определитель системы A 0 , следовательно, система совместна и обладает единственным решением. Вычислим определители A j , j = 1...4 Рисунок 12 - Определитель A =-68. Аналогично вычисляем определители A 2 , A 3 , A 4 : A 2 = −136, A 3 = −204, A 4 = −272. Решение системы имеет вид x = − 68 = 1; x 1 − 68 2 = −136 = 2; x − 68 3 = − 204 = 3; x − 68 4 = − 272 = 4 − 68 Решение системы уравнений с помощью обратной матрицы С помощью обратной матрицы решаются системы n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которых отличен от нуля. n Для этого систему линейных уравнений a ij x j j =1 = b i ,i = 1,..., n запишем в виде матричного уравнения АХ = B, где А = (a ij ) - квадратная матрица порядка n, составленная из коэффициентов при неизвестных. Решение матричного уравнения имеет вид X = А * В. Пример 8. Решить систему линейных уравнений матричным методом. Х - Х, Х + Х - Х = -5, X 1 + Х + Х = 8. Решение. Представим данную систему в виде матричного уравнения 3 −1 0 x 1 1 2 1 − 3 x 2 = − 5 3 19 A Рисунок 13 - Шаг 1. Вычислим матрицу, обратную для матрицы A. Рисунок 14 - Шаг 2. Найдем неизвестную матрицу X = А * В. Откуда получаем решение системы Х = 1, Х = 2, Х = 3. |