Стр. механика. Епифанов. Решение задачи двухшаговым методом последовательного возмущения параметров В. В. Петрова 12 Вывод 14

• Название: Решение задачи двухшаговым методом последовательного возмущения параметров В. В. Петрова 12 Вывод 14
• Анкор: Стр. механика
• Дата: 16.09.2021
• Размер: 0.62 Mb.
• Имя файла: Епифанов.docx
• Тип: Решение; #232888

Оглавление

Задание №2. 1

Постановка задачи: 1

1. Построение для заданной прямоугольной пластинки статическим методом В.З. Власова аппроксимирующих функций для прогиба и функции усилий . 3

Построение эпюр 9

Опасное сечение пластинки 11

Определение максимальной грузоподъёмности пластинки 12

Решение задачи двухшаговым методом последовательного возмущения параметров В.В. Петрова 12

Вывод 14

Задание №2.

Постановка задачи:

В соответствии с индивидуальным заданием для прямоугольной пластинки с параметром удлиненности β необходимо:

1. Построить для заданной прямоугольной пластинки статическим методом В.З. Власова аппроксимирующие функции для прогиба и функции усилий .

2. Для системы уравнений Т. Кармана составить систему вариационных уравнений метода Бубнова-Галеркина и определить величины определенных интегралов.

3. Записать систему уравнений, связывающую параметры А и В и определить эти параметры. Построить эпюры прогибов , эпюры усилий и эпюры изгибающих моментов и .

4. Определить опасное сечение пластинки и построить по высоте сечения эпюры , и подсчитать величину интенсивности напряжений .

5. Рассчитать максимальное значение нагрузки на пластинку из условия , где .

6. Решить задачу с использованием двухшагового метода последовательного возмущения параметров В.В. Петрова и сопоставить результат с полученным в пункте 3.

7. Провести анализ полученных результатов и сделать выводы

Исходные данные:
Таблица 1. Исходные данные.

№	ФИО	Нагрузка по оси	Нагрузка по оси	Граничные условия для функции	Граничные условия для функции	Длина a	Параметр удлиненности
4	Епифанов					3	1.15

1. Построение для заданной прямоугольной пластинки статическим методом В.З. Власова аппроксимирующих функций для прогиба и функции усилий .
Построение аппроксимирующий функции для прогиба .

Рассмотрим вырезанную из пластинки вдоль оси элементарную полоску как обыкновенную балку.



Рис.1- вырезанная балка по оси ξ
Граничные условия для функции прогиба:



Запишем уравнение для функции прогиба в направлении оси ξ:



Записываем уравнение изгиба гибкой пластинки, преобразуем его к виду , коэффициент, стоящий перед скобкой полагаем равным 1 и получим аппроксимирующую функцию



Рассмотрим вырезанную из пластинки вдоль оси элементарную полоску как обыкновенную балку.



Рис.2- вырезанная балка по оси η
Граничные условия для функции прогиба:



Запишем уравнение для функции прогиба в направлении оси η:



Записываем уравнение изгиба гибкой пластинки, преобразуем его к виду , коэффициент, стоящий перед скобкой полагаем равным 1 и получим аппроксимирующую функцию







Рис.3 – функция аппроксимирующая прогиб

Построение аппроксимирующий функции для функции усилий .

Рассмотрим вырезанную из пластинки вдоль оси элементарную полоску как обыкновенную балку.



Рис.4- вырезанная балка по оси ξ
Граничные условия для функции усилий:



Запишем уравнение для функции усилий в направлении оси ξ:



Записываем уравнение изгиба гибкой пластинки, преобразуем его к виду , коэффициент, стоящий перед скобкой полагаем равным 1 и получим аппроксимирующую функцию



Рассмотрим вырезанную из пластинки вдоль оси элементарную полоску как обыкновенную балку.



Рис.5- вырезанная балка по оси η
Граничные условия для функции усилий:



Запишем уравнение для функции усилий в направлении оси η:



Записываем уравнение изгиба гибкой пластинки, преобразуем его к виду , коэффициент, стоящий перед скобкой полагаем равным 1 и получим аппроксимирующую функцию







Рис.6 – функция аппроксимирующая функцию усилий

Запишем систему уравнений Т. Кармана дифференциальное уравнение равновесия элемента пластинки с учетом продольной силы N_ξ, а также граничных условий по оси ξ и аналитического выражения для поперечной нагрузки p(ξ).



Используем следующие подстановки



Принимаю .



Применяем вариационное уравнению метода Бубнова-Галеркина к системе уравнений ,имеем :



Вычислим определенные интегралы:









Преобразовываем и раскрываем систему



Найдем А, численная подстановка для решения кубического уравнения:

Построение эпюр

Рисунок 1 - эпюра прогиба





Рисунок 2 - эпюра усилий



Рисунок 8 – эпюра прогиба по оси Рисунок 9 – эпюра прогиба по оси



Рисунок 10 – эпюра усилий по оси Рисунок 11 – усилий по оси





Рисунок 12 – эпюра момента по оси Рисунок 13 – эпюра момента по оси



Рисунок 14 – эпюра момента по оси Рисунок 15 – эпюра момента по оси

Опасное сечение пластинки

Опасное сечение пластинки проходит через точку (1;0.5;-0,5). Строим по высоте сечения эпюры нормальных напряжений вдоль осей ξ и η.





Рисунок 16 – эпюра напряжений по оси

Напряжение получаемое в результате несмещаемости опор:



Рисунок 17 – эпюра напряжений по оси Рисунок 18 – эпюра напряжений

Определение максимальной грузоподъёмности пластинки

Согласно условию и условию прочности пластинки

Наибольшее напряжение возникает в точке (1;0,5;0,5). Определяем значение для этой точки

Решение задачи двухшаговым методом последовательного возмущения параметров В.В. Петрова

Преобразуя систему уравнений, а именно придаем нагрузке некоторое малое приращение , вследствие чего прогиб получает малое приращение , а функция усилий получит малое приращение .



Уравнение возмущенно малым переменным параметром . Продифференцируем его по параметру _. Полагая что . Получаем:





Преобразуем систему и получаем следующее выражение для определения приращения обобщенных координат ΔА иΔВ:







где



Разделяем нагрузку на 2 части j=2:



Таблица 1. Результаты расчета

1
2

Разделяем нагрузку на 4 части j=4:



Таблица 2. Результаты расчета

1
2
3
4

МБГ Метод Петрова

МБГ Метод Петрова

Как видно из сравнения, результаты одинаковые.

Вывод

1. 
   Для пластинки с заданными условиями закрепления и нагрузкой построены аппроксимирующие функции прогиба и усилий статическим методом В.З. Власова.
   
2. 
   Рассчитана прямоугольная пластинка в геометрически нелинейной постановке задачи методами Бубнова-Галеркина и двухшаговым методом последовательного возмущения параметров В.В. Петрова. Результаты получились одинаковые.
   
3. 
   Результаты, приведены в виде эпюр прогиба, момента, напряжений. Полученные результаты показывают, что максимальный изгибающий момент и максимальное нормальные напряжения возникают в жестко закрепленном крае пластинки (1,0.5,-0.5)
   
4. 
   Определена максимальная грузоподъемность пластинки: