В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных к следующим группам: на делимость, на операции с монетами, на ц. В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных. Сборник задач по теме Признаки делимости чисел

Название	Сборник задач по теме Признаки делимости чисел
Анкор	В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных к следующим группам: на делимость, на операции с монетами, на ц
Дата	24.09.2018
Размер	81 Kb.
Формат файла
Имя файла	В сборнике приведены подробные решения задач, условно отнесенных.doc
Тип	Сборник задач #31686
Категория	Математика

Сборник задач по теме

«Признаки делимости чисел»

Содержание:

Введение____________________________________________________3
§1 Задачи на делимость________________________________________4
§2 Задачи на операции с монетами ______________________________6
§3 Задачи на цифровую запись числа ____________________________9
§4 Задачи на вычеркивание и дописывание чисел _________________13
Ответы на задачи ____________________________________________15

Введение

В практике встречается очень много интересных задач на действия с числами. Занимательные задачи предлагают на различных олимпиадах и на выпускных экзаменах. В данном сборнике собраны только задачи, условно отнесенные к следующим группам: на делимость, на операции с монетами, на цифровую запись числа, на вычёркивание и дописывание чисел. За основу распределения задач по группам было взято их характеристическое свойство:

задачи на делимость чисел: признаки делимости чисел
задачи на операции с монетами: в задачах речь идёт о монетах

задачи на цифровую запись числа: задача связана с суммой и (или) произведением цифр; (при этом есть задачи, которые можно условно отнести и к первой группе)

задачи на вычёркивание и дописывание чисел.

В каждой группе выделены подгруппы, отличающиеся друг от друга способами решения.

В данном сборнике задач представлены подборки задач каждого типа с ответами. В сборнике приведены подробные решения задач каждого типа и предложены задачи для самостоятельного решения. Данную подборку задач можно использовать для отработки навыков решения задач данного типа при подготовке к ЕГЭ и олимпиадам по математике. Сборник может быть полезен для учащихся 6-11 классов, учителям для организации закрепления и повторения признаков делимости чисел как на уроке, так и внеклассных занятиях.

З
§1.
адачи на делимость
Задача 1: Найдите наименьшее четырёхзначное число кратное 15 произведение цифр которого больше 40, но меньше 50. [4 с.644]

Решение:

Запишем искомое число как abcd. Первоначальные условия: число кратно 15, значит оно кратно 3 и 5, то есть a+b+c+d кратно 3 и d=0 или d=5. 40
разделим неравенство почленно на 5: 40:5Ответ: 1335

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [3]

2. Найдите четырехзначное число кратное 36, произведение цифр которого больше 12, но меньше 18. [1]

3. Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. [2]
4. Найдите четырехзначное число кратное 15, произведение цифр которого больше 55 но меньше 65. в ответе укажите какое-нибудь одно такое число [1]
5. Найдите четырёхзначное число кратное 44, произведение цифр которого больше 20, но меньше 30. [3]
Задача 2: Какое наименьшее количество идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось нацело на 7? [4 с.648]
Решение:
Достаточно взять 7 чисел, так как одно из них однозначно будет кратно 7, значит и произведение будет кратно 7.

Ответ: 7
Задачи для самостоятельного решения:
6. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 9? [1]
7. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 20? [3]
8. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 3? [3]
9. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 11? [3]
10.Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 15? [3]
Задача 3: Найдите четырехзначное число кратное 4 сумма цифр которого на 1 больше их произведения. [2]
Решение:

Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, это концовка нашего числа. Можно взять 00, тогда произведение цифр будет 0, а сумма должна быть ровна 1, тогда в числе должно быть три 0 и одна 1, а это 1000.

Ответ:1000

Задачи для самостоятельного решения:
11. Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 13, сумма цифр которого на 1 больше их произведения. [1]
12. Найдите четырехзначное натуральное число, кратное 19, сумма цифр которого на 1 больше их произведения. [4 с.644]
13. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 48, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. [4 с.645]
14. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 96, сумма цифр которого на 1 меньше их произведения. [4 с.646]
15. Найдите четырёхзначное натуральное число, кратное 20, сумма цифр которого на 1 больше их произведения. [3]

§2

Задачи на операции с монетами
Задача 1: В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За две золотых монеты получить три серебряных и одну деревянную.
За пять серебряных монет получить три золотых и одну деревянную.

У Николы были только серебряные монеты. После посещения обменного пункта золотых монет у него не появилось, зато появились 50 деревянных. На сколько меньше серебряных монет стало у Николы после посещения обменного пункта? [4 с.647]
Решение:
Составим такую таблицу:

	Золотые	Серебряные	Деревянные	Количество операций
2-ая операция	+3	-5	+1	у
1-ая операция	-2	+3	+1	х

Пусть первая операция была совершена х раз, вторая операция у раз, составляем уравнения.
Уравнение для золотых монет: 2х = 3у х=1,5у
Общее количество операций: х + у = 50
1,5у + у = 50
2,5у = 50
у = 20
Первая операция была проделана: х = 20 × 1,5 = 30 раз
Получено: 3×30 = 90 серебряных монет
Вторая операция проделана 20 раз (у = 20)
Получено: 5×20 = 100 серебряных монет
Количество серебряных монет у Николая уменьшилось на 10 монет:
100-90 = 10 монет.

Ответ: 10 монет
Задачи для самостоятельного решения:
16. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 2 золотых монет получить 3 серебряных и один рубль
За 7 серебряных монет получить 3 золотых и один рубль.

У Николы были только серебряники. После посещения обменного пункта серебряников у него стало меньше, зато появилось 55 рублей. Сколько серебряников оставил Никола в обменном пункте. [4 с.650]
17. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 5 золотых монет получить 6 серебряных и один рубль
За 8 серебряных монет получить 6 золотых и один рубль.

У Николы были только серебряники. После посещения обменного пункта серебряников у него стало меньше, зато появилось 20 рублей. Сколько серебряников оставил Никола в обменном пункте. [4]
18. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 3 золотых монет получить 4 серебряных и один рубль
За 6 серебряных монет получить 4 золотых и один рубль.

У Николы были только серебряники. После посещения обменного пункта серебряников у него стало меньше, зато появилось 35 рублей. Сколько серебряников оставил Никола в обменном пункте. [4 с.648]
19. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

За 4 золотых монет получить 5 серебряных и один рубль
За 8 серебряных монет получить 5 золотых и один рубль.

У Николы были только серебряники. После посещения обменного пункта серебряников у него стало меньше, зато появилось 45 рублей. Сколько серебряников оставил Никола в обменном пункте. [4 с.648]

20. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
2) за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений
обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не
появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество
серебряных монет у Николая? [3]
Задача 2: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми монетами, а Вася пятирублёвыми, вместе они положили в кассу меньше десяти монет. [6 с.18]

Решение:

Стоимость лыж должна быть кратна 3 и 5 это число 15
Петя заплатил 15/3=5 купюр
Коля 15/5=3 купюры
вместе 8 купюр
Если предположить что стоимость лыж другое кратное 3 и 5 число 30 .то ребята заплатили бы 16 купюр ,что противоречит условию задачи.

Ответ: 15.
Задачи для самостоятельного решения:
21. Коля и Петя: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми монетами, а Коля десятирублёвыми, и вместе они положили в кассу меньше 15 монет. [3]
22. Коля и Петя: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми монетами, а Коля пяти рублёвыми и двухрублёвыми, а вместе они положили в кассу больше 10 монет. [3]
23. Коля и Петя: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж десятирублёвыми и пятирублёвыми монетами, а Коля двухрублёвыми и рублёвыми монетами, и вместе они положили в кассу больше 15 монет. [3]
24. Коля и Петя: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми и семирублёвыми монетами, а Коля восьмирублёвыми монетами, и вместе они положили в кассу меньше 10 монет. [3]
25. Коля и Петя: Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трёхрублёвыми монетами, а Коля двухрублёвыми, и вместе они положили в кассу больше 58 монет. [3]

§3

Задачи на цифровую запись числа
Задача 1: Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12. [4 с.645]

Решение:

Число должно быть кратно 11, то есть разность цифр, стоящих на чётных позициях и цифр, стоящих на нечётных позициях кратно 11, рассмотрим случай, когда их разность равна 0. Заметим, что 0 не должен встречаться, так как при умножении на 0 получим 0. Так как число наименьшее возьмём первую цифру 1. Число примет вид 1bcd. И так 1 + c = b + d и c×b×d=12. При этом если представить 12 в виде произведения 3-х чисел, то получим 12= 2×3×2, при этом 2+2 = 3+1 и получаем 1232

Ответ:1232
Задачи для самостоятельного решения:
26. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [5]

27. Найдите четырёхзначное число, кратное 22, произведение цифр которого равно 60. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [5]

28. Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [5]

29. Найдите четырёхзначное число кратное 33, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [5]
30. Найдите наименьшее четырёхзначное число, кратное 11, у которого произведение его цифр равно 12 [4 с.645]

Задача 2: Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24. [4 с.644]
Решение:
Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8.

Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три последние цифры числа нули, первые три должны быть единицами. Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
Ответ: 111000
Задачи для самостоятельного решения:

31. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 120. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [1]
32. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 5 и делится на 45. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [5]
33. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 3 и делится на 6. [3]
34. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 7 и 3 и делится на 11. [3]
35. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 3, 4, 9 и 5 и делится на 9. [3]
36. Найти наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр. [6 с.18]
37. Найдите шестизначное натуральное число, делящееся на 47, которое записывается только цифрами 2, 8, и 0. [3]

Задача 3: Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12 найдите Наименьшее возможное число А. [4 с.645]
Решение: Для удобства назовем наше число abc. Каждая буква обозначает отдельный разряд числа A: a - сотни, b - десятки, c - единицы. Сумма цифр a + b + c должна делиться нацело на 12. Предположим, что так оно и есть, и попробуем подобрать такое число A + 6, чтобы сумма его цифр также делилась на 12. Заметим, что сумма цифр числа A + 6 должна отличаться от суммы цифр числа A на 12, 24, ... Иначе она не будет делиться на 12. Рассмотрим все возможные варианты:

Вариант 1. Если c <4 (разряд единиц не переполнится), то новое число будет равно: A + 6 = ab(c + 6) Сумма его цифр a + b + c + 6 отличается от суммы изначального числа abc на 6. Поэтому такой вариант не подходит.

Вариант 2. Если c ≥ 4 и b <9 (чтобы не было переполнения разряда десятков), то новое число будет равно: A + 6 = a(b + 1)(c - 4) Разряд единиц получен следующим образом: c + 6 - 10 = c - 4 То есть к c мы прибавляем 6 и получаем число, превышающее 10. 10 уходит в разряд десятков, поэтому в разряде единиц остается только c - 4. Сумма цифр этого числа равна a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3 Она отличается от суммы числа A на 3, поэтому такой вариант также не подойдет.

Вариант 3. Если c ≥ 4, b = 9, a <9 (чтобы разряд сотен не переполнился), тогда новое число будет равно: A + 6 = (a + 1)0(c - 4) Сумма цифр нового числа равна: a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 Сумма цифр числа A при b = 9 равна: a + 9 + c получается, что 2 этих числа отличаются на 12 (9 - (-3)). Такой вариант подойдет.

Вариант 4. Если c ≥ 4, b = 9, a = 9, тогда новое число A + 6 будет равно: A + 6 = 100(c - 4) Сумма цифр этого числа равна: 1 + 0 + 0 + c - 4 = c - 3 Сумма цифр числа A при a = 9 и b = 9 равна: 9 + 9 + c = c + 18 Получается, что 2 этих числа отличаются на 21 (18 - (-3)). Этот вариант не подойдет. Таким образом, цифры числа abc должны соответствовать c ≥ 4, b = 9, a < 9. Чтобы сумма цифр числа abc делилась на 12, нужно чтобы она была равна 12 или 24 (Сумма цифр трехзначного числа не может быть больше 27 = 9 + 9 + 9). Поскольку b = 9, а c ≥ 4 у нас уже получается число, больше 13. Значит сумма цифр числа abc должна быть равна 24. Поскольку b = 9, на a + c остается 24 - 9 = 15. Рассмотрим возможные варианты: c = 4 и a = 11 - не подходит, так как в одном разряде может быть только цифра c = 5 и a = 10 - тоже c = 6 и a = 9, то есть число равно 996 c = 7 и a = 8, то есть число равно 897 c = 8 и a = 7, то есть число равно 798 c = 9 и a = 6, то есть число равно 699. Минимальным из подобранных чисел является 699. Проверим, что мы все сделали правильно: 6 + 9 + 9 = 24; 24 / 12 = 2; 699 + 6 = 705; 7 + 0 + 5 = 12; 12 / 12 = 1

Ответ: 699
Задачи для самостоятельного решения:

38. Сумма цифр натурального трёхзначного числа А делится на 13. Сумма цифр числа А+5 также делится на 13. Найдите такое число А. [4 с.645]
39. Сумма цифр натурального трёхзначного числа А делится на 12. Сумма цифр числа А+6 также делится на 12. Найдите наименьшее число А, удовлетворяющее условию А › 700. [4 с.646]
40. Найдите трёхзначное число А, обладающие всеми следующими свойствами:

сумма цифр числа А делится на 6
сумма цифр числа А+3 также делится на 6
число А больше 350 и меньше 400

В ответе укажите какое-нибудь одно такое число. [2]

§4

Задачи на вычёркивание и дописывание чисел
Задача 1: Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 27. В ответе укажите число.

[4 с.644]

Решение:

Начнем с чисел, которые начинаются с цифры 1, что бы порядок не был нарушен:
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156.
Среди этих чисел 135 делится на 27 (13–8·5= –27)
Далее проверяем числа, которые начинаются с цифры 2:
234, 235, 236, 245, 246, 256
Ни одно число не делится на 27.
Проверяем числа, которые начинаются с 3:
345, 346, 356.
Ни одно число не делится на 27.
Переходим к числам которые начинаются на цифру 4.
456: не делится на 27.
Таким образом, получаем число 135

Ответ: 135
Задачи для самостоятельного решения:
41. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 35. В ответе укажите число. [4 с.644]
42. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 5. В ответе укажите число. [3]
43. Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число. [3]

44. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число. [2]

45. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Задача 2: К числу 26 допиши левее и правее по цифре, чтоб полученное число было кратным 45. [6]

Решение:

Сумма цифр этого числа должна делиться на 9, само число должно делиться на 5., значит последняя цифра 0 или 5. а дальше подбираем первую цифру.

1260 и 5265.

Ответ: 1260 или 5262

Задачи для самостоятельного решения:

46. К числу 374 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45. [1]

47. Приписать к 1022 слева и справа по одной цифре так чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8, 9. [5]

48. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. [2]

49. К числу 10 припишите слева и справа по одной цифре, чтобы получилось число, кратное 72. [2]

50. К числу 2012 припишите справа две цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 36. [6]

Ответы на задачи:

1. 1125

2. 1044

3. 1245

4. 3225

5. 4312

6. 6

7. 5

8. 3

9. 3210

10. 3211

11. 11

12. 5

13. 1152

14. 1152

15. 2120

16. 20

17. 20

18. 10

19. 35

20. 10

21. 30

22. 24

23. 25

24. 24

25. 54

26. 1254

27. 2156

28. 3222

29. 2541

30. 1232

31. 222000

32. 111555

33. 333222

34. 377333

35. 333459

36. 1023457896

37. 282000

38. 899

39. 798

40. 369

41. 245

42. 12345

43. 54162

44. 115650

45. 181512

46. 43740

47. 910224

48. 1155

49. 4104

50. 420120

Список используемой литературы:
1) Школьные знания — портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://znanija.com/task/, свободный. - Заглавие с экрана.

2) mail.ru — портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://otvet.mail.ru/question/, свободный. - Заглавие с экрана.

3) ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни / И. В. Ященко, И. Р. Высоцкий, А. В. Забелин, П. И. Захаров, С. Л. Крупецкий, В. Б. Некрасов, М. А. Посицельская, С. Е. Посицельский, Е. А. Семенко, А. В. Семёнов, В. А. Смирнов, Н. А. Сопрунова, А. В. Хачатурян, И. А. Хованская, С. А. Шестаков, Д. Э. Шноль; под ред. И. В. Ященко. – М. : Издательство «Экзамен», 2015. – 686, [2] с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ»)

4) Математичка — портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://mathematichka.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.

5) Задачи математических олимпиад / И. Л. Бабинская. – М. : Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1975. – 109, [2] с.

6) Открытый банк задач ЕГЭ по математике — портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://base.mathege.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.

7)Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ — экзамены на олично — портал [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://worksbase.ru/, свободный. - Заглавие с экрана.