Сетевое планирование

• Название: Сетевое планирование
• Дата: 03.03.2019
• Размер: 0.55 Mb.
• Имя файла: Zadachi1.docx
• Тип: Документы; #69446
• страница: 1 из 2

Сетевое планирование

Исходные данные задачи:

64

8

7

4

5

5

2

5

3

6

9

5

7

4

Пронумеруйте события, найдите ранние и поздние сроки наступления событий, полные резервы времени, критическое время и критический путь.
Решение:

Сначала пронумеруем вершины.

10

9

8

7

6

5

4

3

1

2

64

8

7

4

5

5

2

5

3

6

9

5

7

4


Рисунок 1 – Сетевой график. Нумерация вершин
Находим ранние сроки наступления событий.

Находим по предложенному алгоритму ранние сроки наступления событий.

1. 
   . Ранний срок наступления первого события − 0.
   
2. 
   j = 2 (второму событию предшествует одна работа);
   

k=1: [0+4] = 4 (ребро 12);

Нет реберсоответствующих k=2, k=3, k=4, k=5, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10.

= 4 (ранний срок наступления события 2).

3. 
   j= 3 (третьему событию предшествует одна работа);
   

k=1: [0+7] = 7 (ребро 13);

Нет реберсоответствующих k=2, k=3, k=4, k=5, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10.

= 7 (ранний срок наступления события 3).

4. 
   j = 4 (четвертому событию предшествует одна работа);
   

k=1: [0+5] = 5 (ребро 14);

Нет реберсоответствующих k=2, k=3, k=4, k=5, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10.

= 5 (ранний срок наступления события 4).

5. 
   j = 5 (пятому событию предшествует одна работа)
   

k=2: [4+5] = 9 (ребро 25);

Нет реберсоответствующих k=1, k=3, k=4, k=5, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10.

(ранний срок наступления события 5).

6. 
   j = 6 (шестому событию предшествует одна работа)
   

k=3: [7+6] = 13 (ребро 36);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=4, k=5, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10.

(ранний срок наступления события 6).

7. 
   j = 7 (седьмому событию предшествует одна работа);
   

k=5: [9+7] = 16 (ребро 57);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10.

= 16 (ранний срок наступления события 7).

8. 
   j = 8 (восьмому событию предшествует две работы);
   

k=2: [4+3] = 7 (ребро 28);

k=6: [13+5] = 18 (ребро 68);

Нет реберсоответствующих k=1, k=3, k=4, k=5,k=7, k=8,k=9, k=10.

= 18 (ранний срок наступления события 8).

9. 
   j = 9 (девятому событию предшествует три работы)
   

k=4: [5+9] = 14 (ребро 49);

k=5: [9+8] = 17 (ребро 59);

k=6: [13+2] = 15 (ребро 69);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=7, k=8,k=9, k=10.

(ранний срок наступления события 9).

10. 
    j = 10 (десятому событию предшествует три работы)
    

k=7: [16+5] = 21 (ребро 710);

k=8: [18+4] = 22 (ребро 810);

k=9: [17+7] = 24 (ребро 910);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6,k=10.

(ранний срок наступления события 10).

На рисунке 2 представлен сетевой график с указанными ранними сроками наступления соответствующих событий.
17

24

18

16

13

9

5

7

4

0

10

9

8

7

6

5

4

3

1

2

64

8

7

4

5

5

2

5

3

6

9

5

7

4


Рисунок 2 – Сетевой график. Ранние сроки наступления событий
Определение поздних сроков наступления событий:

1. 
   Т_крит = ; i=1: 24.
   

Поздний срок десятого события – 24.

2. 
   i=2 (одна последующая работа есть после девятого события);
   

k=10: [24-7] = 17 (ребро 910) ;

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6,k=7, k=8, k=9.

(поздний срок наступления события 9).

3. 
   i=3 (одна последующая работа есть после восьмого события);
   

k=10: [24-4] = 20 (ребро 810) ;

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6,k=7, k=8, k=9.

(поздний срок наступления события 8).

4. 
   i=4 (одна последующая работа есть после седьмого события);
   

k=10: [24-5] = 19 (ребро 710);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6,k=7, k=8, k=9.

(поздний срок наступления события 7).

5. 
   i=5 (две последующие работы есть после шестого события);
   

k=8: [20-5] = 15 (ребро 68);

k=9: [17-2] = 15 (ребро 69);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6,k=7, k=10.

(поздний срок наступления события 6).

6. 
   i=6 (две последующие работы есть после пятого события);
   

k=7: [19-6] = 13 (ребро 57);

k=9: [17-8] = 9 (ребро 59);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6,k=8, k=10.

(поздний срок наступления события 5).

7. 
   i=7 (одна последующая работа есть после четвертого события);
   

k=9: [17-9] = 8 (в этом графике есть ребро 49);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5, k=6, k=7,k=8,k=10.

(поздний срок наступления события 4).

8. 
   i=8 (одна последующая работа есть после третьего события);
   

k=6: [15-6] = 9 (ребро 36);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=5,k=7, k=8,k=9, k=10.

(поздний срок наступления события 3).

9. 
   i=9 (две последующие работы есть после второго события);
   

k=5: [9-5] = 4 (ребро 25);

k=8: [20-3] = 17 (ребро 28);

Нет реберсоответствующих k=1, k=2, k=3, k=4,k=6, k=7, k=9,k=10.

(поздний срок наступления события 2).

10. 
    i=10 (три последующие работы есть после первого события);
    

k=2: [4-4] = 0 (ребро 12);

k=3: [9-7] = 2 (ребро 13);

k=4: [8-5] = 3 (ребро 14);

k=1, k=5, k=6,k=7, k=8,k=9, k=10 – (нет соответствующих ребер).

(поздний срок наступления события 1).

На рисунке 3 представлен сетевой график с указанными поздними сроками наступления событий.

24

17

20

19

15

9

8

9

4

0

17

24

18

16

13

9

5

7

4

0

10

9

8

7

6

5

4

3

1

2

6

8

7

4

5

5

2

5

3

6

9

5

7

4


Рисунок 3 – Сетевой график. Ранние сроки наступления событий
После того, как найдены ранние и поздние сроки наступления всех событий, находим полные резервы времени.

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

24

17

20

19

15

9

8

9

4

0

17

24

18

16

13

9

5

7

4

0

10

9

8

7

6

5

4

3

1

2

6(4)

8(0)

7(0)

4(2)

5(3)

5(2)

2(2)

5(0)

3(2)

6(2)

9(3)

5(3)

7(2)

4(0)

На рисунке 4 представлен сетевой график нахождения резервов и критического пути.

Рисунок 4 – Сетевой график. Нахождение резервов и критического пути
На рисунке 4 отмечены:

• 
  работы лежащие на критическом пути: 1-2-5-9-10,
  
• 
  длинна критического пути: 4+5+8+7=24, которая равна критическому времени.
  

Резервы на критическом пути равны нулю, а ранние и поздние сроки наступления событий совпадают.

ПЛАНИРОВАНИЕ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ
Исходные данные задачи:

T=4, d₁=4, d₂=4, d₃=3 d₄=3, h=1, B=5, M=4, K=6, L=1
Решение:

Вычислим затраты на производство машин (таблица 1).

. (1)

Таблица 1 – Затраты на производство машин

С(0)	С(1)	С(2)	С(3)	С(4)	С(5)	С(6)
0	7	8	9	10	11	12

Если весь плановый период в треть года разбивается на отрезки по месяцам, то в решении первым отрезком (n = 1) из трех (Т=4) является месяц апрель, вторым (n = 2) – март, третьим (n = 3) – февраль, и последним, четвертым (n = 4), соответственно, январь.

Для (март) значение i не превышает т. е. ,

Так как и запас на складе в конце планируемого периода по условию равен 0, то из трех слагаемых остается которое выписывается из таблицы 1 для каждого (таблица 2).
Таблица 2 – Оптимизация затрат за апрель

i	Х
	0	1	2	3	4
0	–	–	–	–	10 + 0 + 0	4	10
1	–	–	–	9 + 0 + 0	–	3	9
2	–	–	8 + 0 + 0	–	–	2	8
3	–	7 + 0 + 0	–	–	–	1	7
4	0 + 0 + 0	–	–	–	–	0	0

Для (март) i – уровень запасов на начало второго отрезка не превышает , т. е. .
Таблица 3 – Оптимизация затрат за март и апрель

i	Х
	0	1	2	3	4	5	6
0	–	–	–	–	10+0+10	11+1+9	12+2+8	4	20
1	–	–	–	9+0+10	10+1+9	11+2+8	12+3+7	3	19
2	–	–	8+0+10	9+1+9	10+2+8	11+3+7	12+4+0	6	16
3	–	7+0+10	8+1+9	9+2+8	10+3+7	11+4+0	–	5	15
4	0+0+10	7+1+9	8+2+8	9+3+7	10+4+0	–	–	0	10

При (февраль) рекуррентное соотношение имеет вид

,

где по условию задачи. Ограничения для параметра :



Вычисления приводятся в таблице 4.
Таблица 4 – Оптимизация затрат за февраль, март и апрель

i	Х
	0	1	2	3	4	5	6
0	–	–	–	9+0+20	10+1+19	11+2+16	12+3+15	3	29
1	–	–	8+0+20	9+1+19	10+2+16	11+3+15	12+4+10	6	26
2	–	7+0+20	8+1+19	9+2+16	10+3+15	11+4+10	–	5	25
3	0+0+20	7+1+19	8+2+16	9+3+15	10+3+10	–	–	0	20
4	0+1+19	7+2+16	8+3+15	9+4+10	–	–	–	0	20

При n=4 (январь) рекуррентное соотношение имеет вид



где по условию задачи. Ограничения для параметра :



Вычисления приводятся в таблице 5.
Таблица 5 – Оптимизация затрат за январь, февраль, март и апрель

i	Х
	0	1	2	3	4	5	6
1	–	–	8+0+29	9+1+26	10+2+25	11+3+20	12+4+20	5	34

При вычислении использовалось (таблица 4).

Минимальные затраты, связанные с производством и хранением продукции за три месяца, равны 34.
Безусловное оптимальное управление

Из таблицы 5 выбираем оптимальное решение Х₄=5.

В столбце, соответствующем Х₄=5 записана сумма 11+3+20, где ih=3, следовательно i=3.

Параметру i=3 в таблицы 4 соответствует оптимальное решение Х₃=5.

В столбце Х₃=5 записана сумма 0+0+20. Второе слагаемое ih=0, т.е. i=0.

Параметру i=0 в таблице 3 соответствует решение Х₂=4.

В столбце Х₂=4 записана сумма 10+0+10. Второе слагаемое ih=0, т.е. i=0.

Параметру в таблице 2 соответствует решение Х₁=4.

Таким образом, получаем следующее оптимальное решение:

Х₄=5, Х₃=5, Х₂=4, Х₁=4

Полученный результат интерпретируется следующим образом:

для того, чтобы суммарные затраты за четыре месяца были минимальны (34):

в январе предприятию необходимо произвести 5 машин,

в феврале – 5 машины,

в марте – 4 машины,

в апреле – 4 машины.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДСТВ НА РАСШИРЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВА
Исходные данные задачи:

Составить план распределения средств тыс. у. е. между четырьмя предприятиями, который максимизирует общий прирост выпуска продукции. Значения прироста выпуска продукции на предприятиях в зависимости от выделенной суммы Х приводятся по каждому варианту задания.

Таблица 6 – Прирост выпуска каждого предприятия в зависимости от выделенной ему суммы

Средства Х, тыс. у. е.	1	2	3	4
20	15	17	14	17
40	31	31	39	39
60	43	42	48	50
80	67	59	60	66
100	77	81	78	82

Решение:

Условная оптимизация

Средства вкладываются в одно предприятие.

Незаполненные клетки соответствуют недопустимым сочетаниям С и X, .

Таблица 7 – Распределение средств при п = 1

С	Х
	0	20	40	60	80	100
20	–	15 + 0	–	–	–	–	15	20
40	–	–	31 + 0	–	–	–	31	40
60	–	–	–	43 + 0	–	–	43	60
80	–	–	–	–	67 + 0	–	67	80
100	–	–	–	–	–	77 + 0	77	100

Средства вкладываются в два предприятия.

Если

(2)

Результаты оформим в виде таблицы 3.
Таблица 8 – Распределение средств при п = 2

C	X
	0	20	40	60	80	100
20	0 + 15	17 + 0	–	–	–	–	17	20
40	0 + 31	17 + 15	31 + 0	–	–	–	32	20
60	0 + 43	17 + 31	31 + 15	42 + 0	–	–	48	20
80	0 + 67	17 + 43	31 + 31	42 + 15	59 + 0	–	67	0
100	0 + 77	17 + 67	31 + 43	42 + 31	59 + 15	81 + 0	84	20

Средства вкладываются в три предприятия.

Если , то .

Расчет значений f₃(С) представлен в таблице 9.
Таблица9 – Распределение средств при п = 3

С	X
	0	20	40	60	80	100
20	0 + 17	14 + 0	–	–	–	–	17	0
40	0 + 32	14 + 17	39 + 0	–	–	–	39	40
60	0 + 48	14 + 32	39 + 17	48 + 0	–	–	56	40
80	0 + 67	14 + 48	39 + 32	48 + 17	60 + 0	–	71	40
100	0 + 84	14 + 67	39 + 48	48 + 32	60 + 17	78 + 0	87	40

Аналогичным образом находятся значения (таблица 10).

Средства вкладываются в три предприятия.
Таблица 10 – Распределение средств при п = 4

С	X
	0	20	40	60	80	100
20	0 + 17	17 + 0	–	–	–	–	17	0
40	0 + 39	17 + 17	39 + 0	–	–	–	39	0
60	0 + 56	17 + 39	39 + 17	50 + 0	–	–	56	0
80	0 + 71	17 + 56	39 + 39	50 + 17	66 + 0	–	78	40
100	0 + 87	17 + 71	39 + 56	50 + 39	66 + 17	82 + 0	95	40

Безусловная оптимизация.

В табл. 4 – максимальный прирост продукции.

Такой прирост можно получить, если в четвертое предприятие вложить тыс. у. е. (оптимальное управление на 4 шаге).

Новое состояние системы С (наличный запас еще не вложенных средств):

.

Значению C=60 соответствует оптимальное значение (таблица 3) – средства, вкладываемые в третье предприятие.

Очередное состояние системы

Значению C=20 соответствует оптимальное значение (табл. 2).

Состояние системы при этом принимает значение . Следовательно,

Итак, максимальный прирост выпуска продукции на четырех предприятиях при распределении между ними 100 тыс. у. е. составляет 95 и будет получен, если:

первому предприятию выделить 0 тыс. у. е.,

второму – 20 тыс. у. е.,

третьему – 40 тыс. у. е.,

четвертому – 40 тыс. у. е.,

т. е. .

ПРОИЗВОДСТВО И ЗАТРАТЫ
Исходные данные задачи:

Предприятие производит обмен продукции Q, использует такие объемы ресурсов, при которых предельный продукт оборудования превышает предельный продукт труда в два раза. Ставка платы за аренду единицы оборудования превышает ставку оплаты труда в 3 раза.

Может ли предприятие уменьшить затраты, не сокращая объема выпуска? Если да, то в каком направлении следует изменить соотношение между объемами использования оборудования и труда?

Объясните с помощью изокванты и линии цен х₂.

Решение:
Если принять Ставку платы за аренду единицы оборудования как r, а ставку оплаты труда как w, то условия оптимума фирмы будут равны w/r.

Наклон изокосты будет -0,33.

Изокванта примет вид линии АВ.
6

5

4

3

2



K

L

А

D

С

0 1 2 3 4 5 6 7

В



Каждая точка изокванты соответствует комбинации ресурсов и , при которой выпуск продукции равен Q единицы.

Предприятие использует комбинацию ресурсов, соответствующую точке K. Через точку K проведем линию цен (изокосту).

Таким образом, изокоста занимает положение CD.

Как видно в точке K изокванта и изокоста пересекаются.

Следовательно, существует комбинация ресурсов L, которая обеспечивает тот же объем производства, что и комбинация K, но при которой денежные затраты меньше. Из приведенного графика видно, что соотношение между объемами использования оборудования и труда следует изменить в сторону увеличения фактора труда.


ЭКСПЕРТНЫЕ МЕТОДЫ
Исходные данные задачи:

Произвести экспертную оценку технических параметров холодильников по степени значимости их для потребителей.
Таблица 12 – Матрица рангов

№ п/п	Технические параметры холодильника	Единица измерения	Эксперты
			1	2	3	4
1	Объем камеры (х1)	м3	1	1	2	2
2	Бренд (х2)	–	3	2	6	6
3	Количество камер (х3)	шт.	2	4	3	3
4	Наличие систем HoyFrost(х4)	–	5	6	1	4
5	Энергопотребление (х5)	Вт	4	5	4	2
6	Дизайн (х6)	–	6	4	5	1

Решение:
Так как в матрице имеются связанные ранги (одинаковый ранговый номер) в оценках 2-го и 4-го экспертов, произведем их переформирование. Переформирование рангов производиться без изменения мнения эксперта, т. е. между ранговыми номерами должны сохраниться соответствующие соотношения (больше, меньше или равно). Также не рекомендуется ставить ранг выше 1 и ниже значения равного количеству параметров (в данном случае n= 6).

Переформирование рангов производится следующим образом. Факторам, имеющим одинаковое значение, присваивается новый ранг, равный среднему арифметическому номеров мест, занимаемых ими в упорядоченном ряду.