Шпаргалка по ЕГЭ математика 1 часть. ЕГЭ профиль Часть 1 Шпаргалка__. Шпаргалка по первой части Задача Процент это сотая часть числа. 1% 1 100 0,01
 Скачать 308.78 Kb.
|
|
© 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online ЕГЭ профиль. Шпаргалка по первой части Задача 1. Процент - это сотая часть числа. 1% = 1 100 = 0,01. Чтобы найти 𝑝 % от числа 𝑥 , необходимо умножить число 𝑥 на 𝑝 сотых. Получим 𝑝 100 ∙ 𝑥. Чтобы увеличить число 𝑥 на 𝑝 %, нужно число 𝑥 умножить на величину (1 + 𝑝 100 ), получим (1 + 𝑝 100 ) ∙ 𝑥. Чтобы уменьшить число 𝑥 на 𝑝%, нужно число 𝑥 умножить на величину (1 − 𝑝 100 ), получим (1 − 𝑝 100 ) ∙ 𝑥. Правило округления: если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. При этом если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1; а если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения. Правило округления с избытком и недостатком. Округление с избытком или недостатком до ближайшего целого осуществляется по здравому смыслу: если мы спасаем людей, то количество спасательных лодок округляем с избытком; если покупаем товар на имеющиеся деньги, то количество единиц товара, которое можем купить, округляем с недостатком. Задача 2. Задача на внимательность! Аккуратно читаем условие и вопрос задачи. Задача 4. Элементарный исход – простейшее событие, которым может окончиться случайный эксперимент. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Вероятность случайного события 𝐴 равна отношению числа 𝑚 благоприятных исходов к общему числу 𝑛 исходов, то есть 𝑝(𝐴) = 𝑚 𝑛 Противоположное событию 𝐴 событие 𝐴̅ состоит только из тех исходов, которые являются неблагоприятными для события 𝐴. При этом вероятность наступления события 𝐴̅ находится поформуле𝒑(𝑨 ̅) = 𝟏 − 𝒑(𝑨). Несовместные события 𝐴 и 𝐵 – события, которые не наступают одновременно. Формула сложения вероятностей для несовместных событий: вероятность наступления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей наступления этих событий (по отдельности), то есть 𝒑(𝑨 или 𝑩) = 𝒑(𝑨) + 𝒑(𝑩). Независимые события 𝐴 и 𝐵 – такие события, вероятность наступления каждого из которых не зависит от наступления другого. Формула умножения вероятностей для независимых событий: вероятность наступления двух независимых событий одновременно равна произведению вероятностей наступления этих событий (по отдельности), то есть 𝒑(𝑨 и 𝑩) = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩). Задачи 5/9/10. Алгебра Действия с дробями. Сложение дробей с одинаковыми знаменателями: 𝑎 𝑐 + 𝑏 𝑐 = 𝑎+𝑏 𝑐 Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: 𝑎 𝑐 − 𝑏 𝑐 = 𝑎−𝑏 𝑐 Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. Умножение дробей: 𝑎 𝑐 ∙ 𝑏 𝑑 = 𝑎∙𝑏 𝑐∙𝑑 Чтобы разделить дробь на дробь, надо умножить первую дробь на дробь, обратную второй: 𝑎 𝑐 : 𝑏 𝑑 = 𝑎 𝑐 ∙ 𝑑 𝑏 Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель, и разделить степень числителя на степень знаменателя. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Формулы сокращенного умножения: (𝑥 + 𝑦) 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 (𝑥 − 𝑦) 2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 (𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 𝑥 3 − 𝑦 3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) 𝑥 3 + 𝑦 3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) Арифметическим корнем 𝑛 − й степени из неотрицательного числа 𝑎 называется неотрицательное число 𝑏, 𝑛-я степень которого равна числу 𝑎. Обозначение 𝑏 = √𝑎 𝑛 . По определению 𝑏 𝑛 = ( √𝑎 𝑛 ) 𝑛 = 𝑎. Свойства. Если 𝑎 и 𝑏 – неотрицательные числа, 𝑛 и 𝑘 – натуральные числа, отличные от единицы, то: √𝑎𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 ∙ √𝑏 𝑛 √ 𝑎 𝑏 𝑛 = √𝑎 𝑛 √𝑏 𝑛 √ √𝑎 𝑛 𝑘 = √𝑎 𝑘𝑛 Свойства показательной функции: 𝑎 0 = 1 𝑎 1 = 𝑎 𝑎 −𝑥 = 1 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 ∙ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦 𝑎 𝑥 : 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥−𝑦 (𝑎 𝑥 ) 𝑦 = 𝑎 𝑥∙𝑦 𝑎 𝑥 ∙ 𝑏 𝑥 = (𝑎 ∙ 𝑏) 𝑥 𝑎 𝑥 : 𝑏 𝑥 = ( 𝑎 𝑏 ) 𝑥 © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Пусть 𝑛 – натуральное число, отличное от единицы, и 𝑘 – целое число, тогда: 𝑎 1 𝑛 = √𝑎 𝑛 𝑎 𝑘 𝑛 = √𝑎 𝑘 𝑛 = ( √𝑎 𝑛 ) 𝑘 Пусть 𝑎 и 𝑏 – положительные числа, причем 𝑎 ≠ 1. Логарифмом числа 𝑏 по основанию числа 𝑎 называется показатель степени, в которую надо возвести число 𝑎, чтобы получить число 𝑏. Для логарифма используется обозначение log 𝑎 𝑏. По определению 𝒂 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒃 = 𝒃. Логарифм положительного числа 𝑏 по основанию числа 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg 𝑏. Логарифм положительного числа 𝑏 по основанию числа 𝑒 называется натуральным логарифмом и обозначается ln 𝑏. Свойства логарифмов. Пусть 𝑎, 𝑏, 𝑥, 𝑦 – положительные числа, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1. Имеют место следующие соотношения: log 𝑎 1 = 0 log 𝑎 𝑎 = 1 log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 (𝑥𝑦) log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 = log 𝑎 𝑥 𝑦 𝑛 ∙ log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑥 𝑛 1 𝑚 ∙ log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑚 𝑥 log 𝑎 𝑥 = log 𝑏 𝑥 log 𝑏 𝑎 log 𝑎 𝑏 = 1 log 𝑏 𝑎 Задачи 5/10. Уравнения Решением линейного уравнения вида 𝑎𝑥 = 𝑏 при 𝑎 ≠ 0 является 𝑥 = 𝑏 𝑎 © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Для решения квадратного уравнения необходимо привести его к виду 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 и вычислить дискриминант 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐. При этом, если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два корня 𝑥 1,2 = −𝑏±√𝐷 2𝑎 если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень 𝑥 = −𝑏 2𝑎 если 𝐷 < 0, то уравнение корней не имеет. Неполное квадратное уравнение вида 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0 можно решить разложением на множители 𝑥 ∙ (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0. Тогда корни 𝑥 1 = 0 и 𝑥 2 = − 𝑏 𝑎 Неполное квадратное уравнение вида 𝑥 2 = 𝑞 при 𝑞 > 0 имеет два корня 𝑥 = ±√𝑞, при 𝑞 = 0 один корень 𝑥 = 0 и не имеет корней при 𝑞 < 0. Рациональные уравнения приводятся к целым путем умножения обеих частей уравнения на общее кратное знаменателей всех дробей. Степенные уравнения вида 𝑥 𝑛 = 𝑎 решаются извлечением корня 𝑛-й степени из обеих частей. При этом, если 𝑛 – нечетное число, то 𝑥 = √𝑎 𝑛 ; если 𝑛 – четное число и 𝑎 > 0, то 𝑥 = ± √𝑎 𝑛 ; если 𝑛 – четное число и 𝑎 = 0, то 𝑥 = 0; если 𝑛 – четное число и 𝑎 < 0, то уравнение корней не имеет. Иррациональные уравнения решаются возведением обеих частей в степень. После решения получившегося уравнения необходимо сделать проверку: входят ли найденные корни в область допустимых значений исходного уравнения. Для решения показательного уравнения при 𝑎 ≠ 1 необходимо привести его к виду 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑔(𝑥) , тогда 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Или привести уравнение к виду 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, тогда 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑏. Для решения логарифмического уравнения необходимо привести его к виду log 𝑎 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑔(𝑥), тогда 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Или привести уравнение к виду log 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏, тогда 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑏 © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Задача 11. Задачи на движение. Основная формула для решения задач:𝑺 = 𝒗𝒕 , где 𝑆 - расстояние, 𝑣 - скорость, 𝑡 - время. В задачах на движение по воде скорость течения считается постоянной. При движении по течению скорость течения прибавляется к скорости плывущего тела, при движении против течения – вычитается из скорости тела. Скорость плота считается равной скорости течения. Средняя скорость вычисляется по формуле 𝑣 ср = 𝑆 общ 𝑡 общ , где 𝑆 общ – путь, пройденный телом, а 𝑡 общ – время, за которое этот путь пройден. Если путь состоит из нескольких участков, то следует вычислить всю длину пути и все время движения. В задачах на движение протяженных поезд проходит мимо столба расстояние, равное длине поезда, при движении вдоль протяженной платформы – расстояние, равное сумме длин поезда и платформы. Задачи на работу. Основная формула для решения задач:𝑨 = 𝒘𝒕, где 𝐴 - объем работы, 𝑤 - производительность, 𝑡 - время. Задачи на раздельную работу являются аналогом задач на движение, где скоростью является производительность, а расстоянием – объем выполненной работы. В задачах на совместную работу общая производительность равна сумме производительностей. Задачи на концентрацию. Концентрация вещества с массой 𝑚 в растворе массы 𝑀 находится по формуле 𝝂 = 𝒎 𝑴 . Задачи 3/6/9/10. Тригонометрия Тригонометрия прямоугольного треугольника. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету. Основное тригонометрическое тождество. Для произвольного угла 𝛼 выполняется соотношение sin 2 𝛼 + cos 2 𝛼 = 1. Таблица значений функций основных углов радианы 0 𝜋 6 𝜋 4 𝜋 3 𝜋 2 2𝜋 3 3𝜋 4 5𝜋 6 𝜋 градусы 0 30 45 60 90 120 135 150 180 sin 𝑥 0 1 2 √2 2 √3 2 1 √3 2 √2 2 1 2 0 cos 𝑥 1 √3 2 √2 2 1 2 0 − 1 2 − √2 2 − √3 2 −1 tg 𝑥 0 √3 3 1 √3 нет −√3 −1 − √3 3 0 ctg 𝑥 нет √3 1 √3 3 0 − √3 3 −1 −√3 нет Таблица знаков тригонометрических функций четверть I II III IV sin 𝑥 + + – – cos 𝑥 + – – + tg 𝑥 + – + – ctg 𝑥 + – + – Свойства тригонометрических функций Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными; косинус - четной, то есть: sin(−𝑥) = − sin 𝑥 cos(−𝑥) = cos 𝑥 tg(−𝑥) = − tg 𝑥 ctg(−𝑥) = − ctg 𝑥 © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Функции синус, косинус , тангенс и котангенс являются периодическими, при этом периодом синуса и косинуса является число 2𝜋, а периодом тангенса и котангенса является число 𝜋, то есть: sin(𝑥 + 2𝜋) = sin 𝑥 cos(𝑥 + 2𝜋) = cos 𝑥 tg(𝑥 + 𝜋) = tg 𝑥 ctg(𝑥 + 𝜋) = ctg 𝑥 Основные формулы тригонометрии sin 2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 tg 𝑥 = sin 𝑥 cos 𝑥 ctg 𝑥 = cos 𝑥 sin 𝑥 sin(𝑥 + 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥 sin 𝑦 sin(𝑥 − 𝑦) = sin 𝑥 cos 𝑦 − cos 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 + 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 sin 𝑦 cos(𝑥 − 𝑦) = cos 𝑥 cos 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦 sin 2𝑥 = 2sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = cos 2 𝑥 − sin 2 𝑥 = 1 − 2sin 2 𝑥 = 2cos 2 𝑥 − 1 Задачи 3/6. Планиметрия Угол называется острым, если его градусная величина меньше 90°. Угол называется прямым, если он равен 90°. Угол называется тупым, если его градусная величина больше 90°. Угол называется развернутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. Градусная величина развернутого угла равна 180°. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой и являются продолжениями одна другой. Теорема. Сумма смежных углов равна 180°. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Теорема. Вертикальные углы равны. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Треугольник называется остроугольным, если у него все углы острые. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90°. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов больше 90°. Теорема. Сумма углов любого треугольника равна 180°. Теорема. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Две прямые называются перпендикулярными, если при пересечении они образуют четыре прямых угла. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Отрезок, делящий угол треугольника на два равных угла, называется биссектрисой треугольника. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему. Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Теорема. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Теорема. Серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около этого треугольника. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми, третья сторона - основанием равнобедренного треугольника. Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Теорема. В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины к основанию, совпадают между собой. В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой прямоугольного треугольника, две другие стороны - катетами. Теорема. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Теорема. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°. Теорема. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 , где 𝑐 - гипотенуза, 𝑎 и 𝑏 - катеты. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Теорема. Противоположные стороны параллелограмма равны. Теорема. Противоположные углы параллелограмма равны. Теорема. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Теорема. Диагонали параллелограмма делят его на два равных треугольника. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Теорема. Диагонали прямоугольника равны. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Теорема. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Квадратом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и все углы равны. Теорема. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, равны и делят его углы пополам. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны - боковыми сторонами. Трапецияназывается равнобедренной, если ее боковые стороны равны. Трапецияназывается прямоугольной, если один из ее углов прямой. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. Формулы площади. Треугольник: 𝑆 = 1 2 𝑎ℎ 𝑎 = 1 2 𝑏ℎ 𝑏 = 𝑐ℎ 𝑐 , где ℎ 𝑎 , ℎ 𝑏 , ℎ 𝑐 - высоты, опущенные соответственно на стороны 𝑎, 𝑏, 𝑐. 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏 sin 𝛾, где угол 𝛾 - угол между сторонами 𝑎 и 𝑏. 𝑆 = 𝑝𝑟 , где 𝑝 - полупериметр, 𝑟 - радиус вписанной в треугольник окружности. 𝑆 = 𝑎𝑏𝑐 4𝑅 , где 𝑅 - радиус окружности, описанной около треугольника. 𝑆 = √𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐), где 𝑝 - полупериметр. Прямоугольный треугольник: 𝑆 = 1 2 𝑎𝑏, где 𝑎 и 𝑏 - катеты. Квадрат: 𝑆 = 𝑎 2 , где 𝑎 - сторона квадрата. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Прямоугольник 𝑆 = 𝑎𝑏, где 𝑎 и 𝑏 - стороны прямоугольника. Параллелограмм 𝑆 = 𝑎ℎ 𝑎 = 𝑏ℎ 𝑏 , где ℎ 𝑎 , ℎ 𝑏 - высоты, опущенные соответственно на стороны 𝑎, 𝑏. 𝑆 = 𝑎𝑏 sin 𝛾, где угол 𝛾 - угол между сторонами 𝑎 и 𝑏. 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 sin 𝛼, где 𝑑 1 , 𝑑 2 - диагонали параллелограмма, 𝛼 - угол между ними. Ромб 𝑆 = 𝑎ℎ, где 𝑎 - сторона ромба, ℎ - высота ромба. 𝑆 = 𝑎 2 sin 𝛾, где 𝑎 - сторона ромба, 𝛾 - угол ромба. 𝑆 = 1 2 𝑑 1 𝑑 2 , где 𝑑 1 , 𝑑 2 - диагонали ромба. Трапеция 𝑆 = 𝑎+𝑏 2 ℎ, где 𝑎 и 𝑏 - стороны трапеции, ℎ - высота. Треугольники называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника. Отношение сходственных сторон называется коэффициентом подобия. Теорема. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо точкой, лежащей на окружности, называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром. Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Теорема. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Теорема. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Величина центрального угла равна дуге окружности, на которую он опирается. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Теорема. Величина вписанного угла равна половине дуги окружности, на которую он опирается. Теорема. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Теорема. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр) - прямой. Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а сам многоугольник - описанным около этой окружности. Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром является точка пересечения биссектрис этого треугольника. Теорема. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон этого четырехугольника равны. Теорема. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около этого многоугольника, а сам многоугольник - вписанным в эту окружность. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центром является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого треугольника. Теорема. Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма противоположных углов этого четырехугольника равна 180°. Теорема. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, то около этого четырехугольника можно описать окружность. Теорема косинусов. Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное на косинус угла между ними, то есть 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴. Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Все эти отношения равны удвоенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника, то есть 𝑎 sin 𝐴 = 𝑏 sin 𝐵 = 𝑐 sin 𝐶 = 2𝑅 Правильным называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны. Теорема. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Теорема. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Теорема. Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в этот многоугольник. Площадь круга вычисляется по формуле 𝑆 = 𝜋𝑅 2 Длина окружности вычисляется по формуле 𝐶 = 2𝜋𝑅. Задача 8. Стереометрия Куб – правильный многогранник, каждая грань которого является квадратом. Все ребра куба равны между собой. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Объем куба 𝑉 = 𝑎 3 . Площадь поверхности куба 𝑆 = 6𝑎 2 . Диагональ куба 𝑑 = 𝑎√3. Прямоугольный параллелепипед – многогранник, каждая грань которого является прямоугольником. Объем параллелепипеда 𝑉 = 𝑎𝑏𝑐. Площадь поверхности параллелепипеда 𝑉 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐). Диагональ параллелепипеда 𝑑 = √𝑎 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 𝒏-угольной призмой называется многогранник, две грани которого – равные 𝑛-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные 𝑛 граней – параллелограммы. 𝑛 -угольники называются основаниями призмы, остальные грани – боковыми гранями призмы. Правильной призмой называется прямая призма, основания которой – правильные многоугольники. Высота правильной призмы равна ее боковому ребру, а все боковые грани прямой призмы – равные прямоугольники. Объем призмы 𝑉 = 𝑆 осн ∙ ℎ. Площадь боковой поверхности прямой призмы 𝑆 бок = 𝑃 осн ∙ ℎ. Площадь полной поверхности призмы 𝑆 полн = 𝑆 бок + 2𝑆 осн Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника – основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины пирамиды, и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Высота боковой грани пирамиды, проведенная к стороне основания, называется апофемой. Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а основание ее высоты – центр этого многоугольника. Треугольная пирамида называется также тетраэдром. Частным случаем правильной треугольной пирамиды является правильный тетраэдр, все грани которого представляют собой равные правильные треугольники. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Объем пирамиды 𝑉 = 1 3 𝑆 осн ∙ ℎ. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды 𝑆 бок = 1 2 𝑃 осн ∙ ℎ бок . Площадь полной поверхности пирамиды 𝑆 полн = 𝑆 бок + 𝑆 осн Цилиндром (круговым) называется фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону. У цилиндра два основания – два круга, лежащие в параллельных плоскостях. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей оснований, называются образующими цилиндра. Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой. Ось цилиндра параллельна образующим. Осевым сечением цилиндра называется сечение, проходящее через ось цилиндра. Объем цилиндра 𝑉 = 𝑆 осн ∙ ℎ = 𝜋𝑅 2 ℎ . Площадь боковой поверхности цилиндра 𝑆 бок = 𝑃 осн ∙ ℎ = 2𝜋𝑅ℎ. Площадь полной поверхности цилиндра 𝑆 полн = 𝑆 бок + 2𝑆 осн = 2𝜋𝑅ℎ + 2𝜋𝑅 2 Конусом (круговым) называется фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет. У конуса основание – круг. Вершина конуса – вершина треугольника, не лежащая в основании конуса. Отрезки, соединяющие точки окружности основания с вершиной конуса, называются образующими конуса. Радиусом конуса называется радиус его основания. Высотой конуса называется расстояние от вершины конуса до плоскости его основания. Осью конуса называется прямая, проходящая через вершину конуса и центр его основания. Все образующие конуса равны между собой. Осевым сечением конуса называется сечение, проходящее через ось конуса. Объем конуса 𝑉 = 1 3 𝑆 осн ∙ ℎ = 1 3 𝜋𝑅 2 ℎ. Площадь боковой поверхности конуса 𝑆 бок = 1 2 𝐶 осн ∙ 𝑙 = 𝜋𝑅𝑙. Площадь полной поверхности конуса 𝑆 полн = 𝑆 бок + 𝑆 осн = 𝜋𝑅𝑙 + 𝜋𝑅 2 © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного, от фиксированной точки. Эта точка называется центром шара, а расстояние – радиусом шара. Сферой называется поверхность шара. Любое сечение шара является кругом. Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом. Объем шара 𝑉 = 4 3 𝜋𝑅 3 . Площадь поверхности сферы 𝑆 = 4𝜋𝑅 2 Задачи 7/12. Начала анализа Пусть функция 𝑓(𝑥) определена в некоторой окрестности точки 𝑥 0 . Предел отношения приращения ∆𝑦 функции в этой точке (если он существует) к приращению ∆𝑥 аргумента при условии приращению ∆𝑥 → 0, называется производной функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥 0 . Обозначение 𝑓 ′ (𝑥 0 ). 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥 0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥 0 ) ∆𝑥 Физический смысл производной. Производная показывает (мгновенную) скорость изменения функции. Геометрический смысл производной. Если к графику функции 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥 0 можно провести касательную 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 , то производная функции 𝑓(𝑥) в точке 𝑥 0 равна угловому коэффициенту касательной, то есть 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 𝑘 = tg 𝛼, где 𝛼 - угол между положительным направлением оси 𝑂𝑥 и касательной. Если к графику функции 𝑓(𝑥) в точке с абсциссой 𝑥 0 можно провести касательную 𝑦(𝑥), то выполняются условия: { 𝑓(𝑥 0 ) = 𝑦(𝑥 0 ) 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 𝑦 ′ (𝑥 0 ) Применение к производной к исследованию функции. Если 𝑓 ′ (𝑥) > 0 в каждой точке интервала 𝑀, то функция 𝑓(𝑥) возрастает на интервале 𝑀. Если 𝑓 ′ (𝑥) < 0 в каждой точке интервала 𝑀, то функция 𝑓(𝑥) убывает на интервале 𝑀. © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Если точка 𝑥 0 является точкой экстремума функции 𝑓(𝑥) и в этой точке существует производная 𝑓 ′ , то она равна нулю: 𝑓 ′ (𝑥 0 ) = 0. Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 0 и при этом 𝑓 ′ (𝑥) > 0 на интервале (𝑎; 𝑥 0 ) и 𝑓 ′ (𝑥) < 0 на интервале (𝑥 0 ; 𝑏), то точка 𝑥 0 является точкой максимума функции 𝑓(𝑥). Если функция 𝑓(𝑥) непрерывна в точке 𝑥 0 и при этом 𝑓 ′ (𝑥) < 0 на интервале (𝑎; 𝑥 0 ) и 𝑓 ′ (𝑥) > 0 на интервале (𝑥 0 ; 𝑏), то точка 𝑥 0 является точкой минимума функции 𝑓(𝑥). Проще говоря, если в точке 𝑥 0 производная меняет знак с плюса на минус, то 𝑥 0 является точкой максимума; а если производная меняет знак с минуса на плюс, то 𝑥 0 является точкой минимума. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции 𝒇(𝒙) на отрезке [𝒂; 𝒃]. 1. Находим производную 𝑓 ′ (𝑥). 2. Решаем уравнение 𝑓 ′ (𝑥) = 0. 3. Отбираем те решения уравнения𝑓 ′ (𝑥) = 0, которые принадлежат отрезку [𝑎; 𝑏]. 4. Вычисляем значение функции 𝑓(𝑥) во всех отобранных точках и концах отрезка. 5. Выбираем из всех найденных значений наибольшее и наименьшее. Правила дифференцирования. Пусть функции 𝑓(𝑥) и 𝑔(𝑥) дифференцируемые, 𝐶 - число. Тогда имеют место соотношения: 𝐶 ′ = 0 (𝑓 + 𝑔) ′ = 𝑓 ′ + 𝑔 ′ (𝑓 − 𝑔) ′ = 𝑓 ′ − 𝑔 ′ (𝐶𝑓) ′ = 𝐶𝑓 ′ (𝑓 ∙ 𝑔) ′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓𝑔 ′ ( 𝑓 𝑔 ) ′ = 𝑓 ′ 𝑔 − 𝑓𝑔 ′ 𝑔 2 (𝑓(𝑔(𝑥))) ′ = 𝑓 ′ (𝑔(𝑥)) ∙ 𝑔 ′ (𝑥) (𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏)) ′ = 𝑎𝑓 ′ (𝑎𝑥 + 𝑏) © 2020 Андрей Павликов. MathStudy.online Таблица производных основных элементарных функций 𝐶 ′ = 0 (𝑥 𝑛 ) ′ = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1 (𝑥) ′ = 1 (𝑥 2 ) ′ = 2𝑥 ( 1 𝑥 ) ′ = − 1 𝑥 2 (√𝑥) ′ = 1 2√𝑥 (𝑎 𝑥 ) ′ = 𝑎 𝑥 ∙ ln 𝑎 (𝑒 𝑥 ) ′ = 𝑒 𝑥 (log 𝑎 𝑥) ′ = 1 𝑥 ln 𝑎 (ln 𝑥) ′ = 1 𝑥 (sin 𝑥) ′ = cos 𝑥 (cos 𝑥) ′ = − sin 𝑥 (tg 𝑥) ′ = 1 (cos 𝑥) 2 (ctg 𝑥) ′ = − 1 (sin 𝑥) 2 Функция 𝐹(𝑥) называется первообразной для функции 𝑓(𝑥) на множестве 𝑀, если для всех 𝑥 ∈ 𝑀 выполняется равенство 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). |