Тема дискретные модели сигналов
 Скачать 1.01 Mb.
|
|
77 Тема 7. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ СИГНАЛОВ Дискретизация аналоговых сигналов –Квантование по времени и по уровню – Дискретные и цифровые последовательности – Преобразование дискретных последовательностей – Z- преобразование и его свойства – Дискретное преобразование Фурье. 7.1. Дискретизация аналоговых сигналов. Дискретные и цифровые последовательности Большинство сигналов имеют аналоговую природу. Они изменяются непрерывно во времени и могут принимать любые значения в некоторой области. Ввести такой сиг- нал в компьютер и обработать его невозможно, так как на любом интервале времени он имеет бесконечное множество значений. Поэтому в системах цифровой обработки сиг- нал представлен значениями сигнала, взятыми в отдельные дискретные моменты вре- мени (рис. 7.1). Эти значения называются отсчетами. Отсчеты могут быть взяты в произвольные моменты времени , n t 0 , 1, ..., n N (рис. 7.1, а). Тогда сигнал будет представлен двумя последовательностями чисел: по- следовательностью 0 1 , , ..., N t t t и последовательностью отсчетов 0 1 ( ), ( ), ... , ( ) N x t x t x t Меняя длительность интервала между отсчетами в зависимости от свойств аналогового сигнала, можно повысить точность их сохранения. Однако в виду сложности реализа- ции данный способ не нашел широкого применения в системах обработки сигналов. Рис. 7.1. Представление сигнала последовательностью отсчетов: а в произвольные дискретные моменты времени i t ; б в дискретные моменты времени , 0 , 1, 2 , ..., c o n s t T n n T На практике получил распространение другой способ представления сигнала по- следовательностью, в которой отсчеты располагаются через равные промежутки вре- мени T (рис. 7.1, б). ● В этом случае сигнал определяется последовательностью его значений ( 0 ) , ( ) , ( 2 ) , ... x x T x T . Эту последовательность называют д и с к р е т н о й п о с л е д о в а- тельностью . Обозначают дискретную последовательность ( ) x n ● Аналитически дискретная последовательность ( ) x n может быть описана функ- цией, которая называется решетчатой. ● Интервал T называют период ом д и ск р ети зации , или интервалом дискрети- зации. Величина, обратная периоду дискретизации, называется частотой дискретиза- ции, или частотой взятия отсчетов д f 78 ● Преобразование аналогового сигнала в последовательность отсчетов называется дискретизацией (квантованием ) по времени. Очевидно, что представление сигнала дискретной последовательностью отсчетов приводит к потере информации о поведении сигнала в промежутках между отсчетами. Чтобы эти потери были минимальны, период дискретизации T необходимо уменьшать. Однако уменьшение периода дискретности приводит к увеличению числа отсчетов и, как следствие, к увеличению объема вычислений. Поэтому при выборе периода дискре- тизации приходится искать компромиссное решение. Для точного представления значения сигнала в дискретные моменты времени требуются числа бесконечной разрядности. В системах обработки сигналов разряд- ность чисел ограничена. Представление дискретной последовательности числами ко- нечной разрядности называется квантованием по уровню. Вся область значений сигна- ла при этом разбивается на уровни, количество которых зависит от числа разрядов. Эти уровни называются уровнями квантования. Расстояние между ними называется шагом квантования. Квантование сигнала по уровню – принципиально нелинейная операция. Операции дискретизации по времени и квантования по уровню выполняются в аналого-цифровых преобразователях (АЦП). Если пренебречь явлениями гистерезиса и запаздывания, АЦП можно представить в виде последовательного соединения импуль- сного элемента, осуществляющего квантование по времени, и многоступенчатого сим- метричного релейного элемента со статической характеристикой [ ( ) ] x n , осуществля- ющего квантование по уровню (рис. 7.2). Рис.7.2. Образование дискретной и цифровой последовательности: а – схема замещения цифро-аналогового преобразователя; б – аналоговый сигнал; в – дискретная последовательность; г – цифровая последовательность, полученная округлением Элементы цифровой последовательности ц ( ) x n могут принимать лишь ряд дис- кретных значений 0 1 2 1 , , , ..., , ..., , l N h h h h h число которых зависит от количества исполь- зуемых разрядов. Известны способы квантования по уровню с использованием усечения или округ- ления значения дискретного отсчета сигнала. Если осуществляется усечение, то дис- кретный отсчет, находящийся между уровнями 1 l h и l h , заменяется нижним значени- ем 1 l h . Усечение приводит к погрешности, максимальное значение которой равно весу младшего из удерживаемых разрядов. При этом ошибка всегда имеет один и тот же знак (усеченное значение не может быть больше исходного). 79 При округлении дискретному отсчету, находящемуся между уровнями 1 l h и l h , присваивается ближайшее значение. Ошибка для этого способа квантования может быть как положительной, так и отрицательной, а ее модуль не превосходит веса стар- шего из отброшенных разрядов. Дискретные последовательности, подвергнутые процедуре квантования по уров- ню, принято называть цифровыми дискретными последовательностями. Примером цифровой последовательности могут служить сведения о температуре, передаваемые несколько раз в сутки по радио. 7.2. Типовые дискретные последовательности Единичный импульс Единичный импульс (рис. 7.3, а) определяется выражением 1, 0 , ( ) 0 , 0 . n n n В дискретных системах этот импульс играет такую же роль, что и дельта-функция ( ) t в анализе аналоговых сигналов. Но между ними имеется очень важное отличие: единичный импульс ( ) n является физически реализуемым, а дельта-функция ( ) t есть математическая абстракция. На рис. 7.3, б изображен единичный импульс, задержанный на 0 n интервалов дискретности. Описывающее его выражение выглядит так: 0 0 0 1, , ( ) 0 , n n n n n n Рис. 7.3. Графики типовых дискретных последовательностей: а – ( ) δ ( ) x n n ; б – 0 ( ) δ ( ) x n n n ; в – ( ) 1( ) x n n ; г – ( ) e x p ( ) 1( ) x n A a n n ; д – π ( ) s i n 5 x n A n ; е – π ( ) c o s 5 x n A n 80 Единичная ступенчатая последовательность Единичная ступенчатая последовательность 1( ) n (рис. 7.3, в) есть аналог единич- ной ступенчатой функции 1( ) t и описывается формулой 1, 0 , 1( ) 0 , 0 . n n n Экспоненциальная последовательность Экспоненциальная последовательность образуется в результате дискретизации экспоненты ( ) e x p ( ) 1( ) x t A t t . Произведя замену t T n и обозначив a T , по- лучим решетчатую функцию, описывающую экспоненциальную последовательность: e x p ( ) , 0 , ( ) e x p ( ) 1( ) 0 , 0 . A a n n x n A a n n n На рис. 7.3, г показан график убывающей экспоненциальной последовательности. Синусоидальная последовательность Синусоидальная дискретная последовательность получается вследствие дискрети- зации синусоидального сигнала, описываемого функцией 0 2 ( ) s i n x t A t T , где 0 T – период. После замены t T n будем иметь 0 2 2 ( ) s i n s i n x n A T n A n T N Здесь 0 N T T – число интервалов дискретности на периоде. Синусоидальная последовательность показана на рис. 7.3, д. Легко заметить, что синусоидальная последовательность является периодической только в том случае, когда N – целое число. Косинусоидальная последовательность Аналогично может быть получена косинусоидальная дискретная последователь- ность 0 2 2 ( ) c o s c o s x n A T n A n T N Графическое представление этой последовательности дано на рис. 7.3, е. 7.3. Описание и преобразование дискретных последовательностей Для описания произвольных последовательностей могут быть использованы раз- личные способы: в виде последовательности отсчетов ( 0 ), (1), ( 2 ), ..., ( ), ... x x x x n ; суммы взвешенных и задержанных единичных импульсов 81 0 ( ) ( ) ( ) x n x n ; решетчатой функции ( ) ( ) x n F n Пример 1. Последовательность, образованная в результате дискретизации экспо- ненты ( ) e x p ( 0 .5 ) 1( ) x t t t с периодом 0 .2 с T , можно задать: в виде последовательности отсчетов ( 0 ), (1), ( 2 ), ... n x x x x , где ( 0 ) e x p ( 0 ) 1 x , (1) e x p ( 0 .1) 0 .9 0 4 8 x , ( 2 ) e x p ( 0 .2 ) 0 .8 1 8 7 x и т.д.; с помощью единичных импульсов в виде 0 ( ) e x p ( 0 , 1 ) ( ) ( ) 0 , 9 0 4 8 ( 1) 0 , 8 1 8 7 ( 2 ) ...; x n n n n n в виде решетчатой функции ( ) e x p ( 0 .1 ) 1( ) x n n n Собственно цифровая обработка сигналов заключается в преобразовании некото- рой дискретной (цифровой) последовательности ( ) x n в другую последовательность ( ) y n с помощью определенного алгоритма. Рассмотрим некоторые базовые преобразо- вания дискретных последовательностей. 1. Масштабирование. При масштабировании дискретная последовательность ( ) y n образуется путем умножения каждого элемента дискретной последовательности ( ) x n на постоянный множитель : ( ) ( ) y n x n 2. Смещение. При этом дискретная последовательность ( ) y n получается смеще- нием каждого элемента дискретной последовательности ( ) x n на фиксированное значе- ние независимой переменной 0 n в ту или другую сторону. При этом 0 ( ) ( ) y n x n n Здесь знаку « » соответствует задержка последовательности на 0 n интервалов дискретности, а знаку «+» опережение. 3. Разности дискретной последовательности. Теория непрерывных функций ис- пользует понятие дифференцирования, и в результате получают производные различ- ных порядков. В теории дискретных последовательностей аналогичную роль играют понятия разностей. Аналогом первой производной непрерывной функции является либо первая прямая разность ( ) ( 1) ( ) x n x n x n , либо первая обратн ая разность ( ) ( ) ( 1) . x n x n x n Прямая разность определяется в дискретный момент времени t n по будущему значению дискретной последовательности 1 t n . Это можно сделать в тех случаях, когда будущее значение известно, либо, если это будущее значение можно вычислить. Обратная разность определяется для момента времени t n по прошлому значению дискретной последовательности в момент времени 1 t n Аналогом второй производной непрерывной функции для дискретной последова- тельности служат вторые разности: 82 прямая вторая разность 2 ( ) ( 1) ( ) x n x n x n ; обратная вторая разность 2 ( ) ( ) ( 1) x n x n x n Очевидно, сказанное выше относительно возможности вычисления прямой и об- ратной разностей сохраняют свою силу и здесь. Прямая и обратная разности m -го порядка определяются формулами: 1 1 ( ) ( 1) ( ) m m m x n x n x n ; 1 1 ( ) ( ) ( 1) m m m x n x n x n Из способа образования разностей различных порядков видно, что разности дис- кретных последовательностей, являясь аналогами производной непрерывной функции, характеризуют локальные свойства дискретной последовательности вблизи некоторой точки. Разности, вместе с тем, обладают некоторыми отличительными особенностями. Если дискретная последовательность определена только для положительных значений аргумента, то есть ( ) 0 x n при 0 n , то в точке 0 n m -я обратная раз- ность ( 0 ) ( 0 ) m x x для любого целого положительного m Разность любого порядка может быть выражена через значения исходной дис- кретной последовательности. Например, прямая и обратная разности второго порядка могут быть определены формулами: 2 ( ) ( 1) ( ) ( 2 ) 2 ( 1) ( ) x n x n x n x n x n x n ; 2 ( ) ( ) ( 1) ( ) 2 ( 1) ( 2 ) x n x n x n x n x n x n 4. Сумма дискретной последовательности. В теории непрерывных функций ис- пользуется интегрирование. Аналогами интеграла непрерывной функции в пределах от 0 до t для дискретной последовательности является су м ма 1 0 ( ) ( ) n m n x m Интервал между соседними значениями дискретной последовательности равен единице. Поэтому сумма, по существу, равна площади под ступенчатой огибающей дискретной последовательности. Аналогия между производными и интегралом функций непрерывного аргумента и конечными разностями и суммой дискретных последовательностей является чисто формальной. Достаточно отметить, что конечные разности и сумма дискретных после- довательностей существуют всегда, в то время как для дифференцируемости и инте- грируемости функций непрерывного аргумента требуется соблюдение определенных условий. 7.4. Представление дискретной последовательности в виде дискретной функции времени Математическое представление дискретной последовательности в виде решетча- той функции не всегда оказывается удобным. В частности к решетчатой функции нель- зя применить интегральные преобразования Лапласа и Фурье, получившие широкое 83 распространение при анализе непрерывных сигналов. Для того чтобы применить ука- занные преобразования, определим функцию непрерывного времени, однозначно свя- занную с решетчатой функцией. Рассмотрим преобразование непрерывного сигнала с помощью идеального дис- кретизатора (рис. 7.4,а). На выходе идеального дискретизатора образуется последова- тельность мгновенных импульсов (дельта-функций Дирака), которые появляются в дискретные моменты времени , 0 , 1, 2 , . . . n T n , и имеют площадь, равную значению ( ) x n T непрерывного сигнала в дискретные моменты времени. Математически эта по- следовательность импульсов определяется выражением 0 ( ) ( ) ( ) n x t x n T t n T Идеальную дискретизацию можно представить как модуляцию непрерывного сигнала ( ) x t , когда «несущей» является непрерывная последовательность единичных мгновенных импульсов ( ) ( ) T n t t n T Рис. 7.4. Представление дискретной последовательности в виде дискретной функции времени В этом случае функция ( ) x t образуется в результате умножения (рис. 7.4,б) входного сигнала ( ) x t на последовательность ( ) T t : 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T n x t x t t x n T t n T Дискретная функция времени ( ) x t содержит ту же самую информацию о значе- ниях непрерывного сигнала в дискретные моменты времени, что и дискретная последо- вательность. И в то же время она может быть подвергнута преобразованиям Лапласа и Фурье. 84 |