Теория вероятностей. Теория вероятностей_Образец. Теория вероятностей. Контрольная работа
 Скачать 357.68 Kb.
|
|
Теория вероятностей. Контрольная работа Вариант 3. 4. Рабочий обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не потребует внимания рабочего равна для первого станка 0,6; для второго – 0,8; для третьего – 0,9; для четвертого – 0,7. Найти вероятность того, что хотя бы один из станков в течение часа не потребует внимания рабочего. Решение. Событие Ане потребует внимания рабочего i – й станок. Вероятности этих событий р(А 1 ) = 0,6; р(А 2 ) = 0,8; р(А 3 ) = 0,9; р(А 4 ) = 0,7. Событие B – хотя бы один станок не потребует внимания рабочего. События ни один станок не потребует внимания рабочего и хотя бы один станок потребует внимания рабочего - противоположные. Вероятность того, что ни один станок не потребует внимания рабочего Вероятность того, что хотя бы один станок не потребует внимания рабочего 5. Станок обрабатывает 2 вида деталей Аи В, причем время работы распределяется между ними в соотношении 1:4. При обработке детали вида А он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70% времени, при обработке детали вида В – 50% времени. В случайный момент времени станок работал с максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что в это время он обрабатывал деталь вида А вида В. Решение. Пусть событие А – станок работает с максимальной нагрузкой Гипотезы Н – обрабатывается деталь вида АН обрабатывается деталь вида В. Гипотезы образуют полную группу несовместных событий. При этом По условию По формуле Бейеса находим вероятность того, что момент времени, когда станок работал с максимальной нагрузкой, он обрабатывал деталь вида А По формуле Бейеса находим вероятность того, что момент времени, когда станок работал с максимальной нагрузкой, он обрабатывал деталь вида B: 6. Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросании начинающим спортсменом равна 1 / 4 . Мяч бросают до первого попадания, но дают не более 4 попыток. Найти ряд распределения, математическое ожидание и дисперсию числа промахов. Построить график функции распределения. Решение. Случайная величина X имеет область значений (0,1,2,...,n). Вероятности этих значений можно найти по формуле где - число сочетаний из n по m. Найдем ряд распределения X. P 4 (0) = (1 – p) n = (1 – 0,25) 4 = 0,316; P 4 (1) = n∙p∙ (1 – p) n-1 = 4∙ (1 – 0,25) 4-1 = 0,422; P 4 (4) = p n = 0,25 4 = 0,00391. Получили следующий закон распределения x i 0 1 2 3 4 p i 0.32 0.42 0.21 0.047 0.00391 Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i M[x] = 0∙0,316 + 1∙0,422 + 2∙0,211 + 3∙0,0469 + 4∙0,00391 = 1 Дисперсию находим по формуле D[X] = 0 2 ∙0,316 + 1 2 ∙0,422 + 2 2 ∙0,211 + 3 2 ∙0,0469 + 4 2 ∙0,00391 – 1 2 = 0,75. Функция распределения График функции распределения 7. Скорость пешехода на дистанции 1 км является случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке от 2км/ч до 4 км/ч. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение времени, затраченного на преодоление дистанции. Найти вероятность того, что это время превысит 24 минуты. Решение. Вычислим время, затраченное на преодоление дистанции 1 = 2∙t 1 = > t 1 = ½ 1 = 4∙t 2 = > t 2 = 1 / 4 Непрерывная случайная величинах имеет равномерный закон распределения на отрезке [a; b], если ее плотность вероятности р(х) постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, те. В нашем случае Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, есть В нашем случае Математическое ожидание Дисперсия а среднее квадратическое отклонение Найти вероятность того, что время преодоления дистанции превысит 24 минуты = 2 / 5 часа 10. Для выборки (Х Х …; Х) из распределения с плотностью f(x) найти оценки параметра θ > 0 по третьему моменту и методом максимального правдоподобия. Проверить состоятельность полученных оценок. Плотность распределения равна Решение. 1. Метод максимального правдоподобия. Составим функцию правдоподобия Тогда Условия экстремума Таким образом, искомая точечная оценка параметра θ указанного распределения равна выборочной средней |