|
|
чЯч. Учебнометодическое пособие по курсу Методы вычислений для студентов ivv курсов всех форм обучения
Воронежский государственный университет
Математический факультет
Кафедра математического моделирования
Численное интегрирование и дифференцирование Учебно-методическое пособие
по курсу «Методы вычислений»
для студентов IV-V курсов
всех форм обучения
Составитель В.П.Трофимов
Воронеж
2002 г.
Настоящее учебно-методическое пособие предназначено для выполнения лабораторных работ «Численное интегрирование» и «Численное дифференцирование» по курсу «Методы вычислений» студентами IV-V курсов дневного и вечернего отделений математического факультета. Разработка может быть использована для самостоятельной работы студентов и при подготовке к экзамену.
Разработка представляет собой существенно переработанный и дополненный вариант методических указаний [6].
Литература
1. Бахвалов Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие / Н.С.Бахвалов, А.В.Лапин, Е.В.Чижонков; Под ред. В.А.Садовничего. – М.: Высшая школа, 2000. – 190 с.
2. Плис А.И. Лабораторный практикум по высшей математике: Учеб. пособие для втузов / А.И.Плис, Н.А.Сливина. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1994. – 416 с.
3. Крылов В.И. Справочная книга по численному интегрированию/ В.И.Крылов, Л.Т.Шульгина. – М.: Наука, 1966. – 372 с.
4. Люстерник Л.А. Краткий курс функционального анализа / Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. – М.: Высшая школа, 1982. – 328 с.
5. Вайникко Г.М. Анализ дискретизационных методов / Г.М.Вайникко. – Тарту.: Тартусский гос. ун-т, 1976. – 162 с.
6. Методические указания по методам вычислений и вычислительной практике. Часть II / Сост. Г.С.Аброськина, В.П.Трофимов. - Воронеж.: Воронеж. гос. ун-т, 1988. – 19 с.
Обозначения
R - множество вещественных чисел;
N – множество натуральных чисел;
С – множество комплексных чисел;
 - банахово пространство функций непрерывных на   R;
 - пространство функций, имеющих на  непрерывные производные до порядка  включительно;
 - пространство алгебраических многочленов;
 - пространство алгебраических многочленов степени не выше  .
I. Численное интегрирование
1.1. Постановка задачи
Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке R  , и требуется вычислить определенный интеграл (интеграл Римана)
Задачу вычисления интеграла (1) принято называть квадратурой.
Если интеграл является табличным или приводится к табличному (например, с помощью замены переменного), то он вычисляется с помощью формулы Ньютона-Лейбница
 ,
где  - первообразная для на  .
На практике в редких случаях можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница. Через элементарные функции выражаются первообразные только для специальных классов функций. Например, в элементарных функциях не выражаются интегралы  и  . Кроме того, функция может быть задана таблично. В этом случае формула Ньютона-Лейбница вообще не применима. Поэтому приходится интеграл вычислять приближенно, используя формулы численного интегрирования.
1.2. Квадратурная формула. Квадратурный процесс
Выберем на отрезке точки  . Формула численного интегрирования
называется квадратурной. Величины  R, называются коэффициентами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы;  - узлами квадратурной формулы. Обычно требуют, чтобы
Разность
называется погрешностью (функционалом погрешности) квадратурной формулы (2).
Важно знать, для каких классов функций погрешность  обращается в нуль. Равенство (3) означает, что квадратурная формула (2) точна на константах   , если  для   . Будем говорить, что квадратурная формула точна на многочленах степени , если  для любой функции  , где - пространство многочленов степени не выше .
Квадратурная формула (2) содержит  параметров:  и  . Если для каждого  N выбрать свои узлы  и коэффициенты  , то получим квадратурный процесс:
Квадратурный процесс (5) называется сходящимся, если для любой функции  погрешность квадратурной формулы  при  . Это означает, что последовательность функционалов погрешности  сходится к нулю на каждом элементе (см. [4], стр. 165).
Замечание 1.  , , являются линейными непрерывными (ограниченными) функционалами на :
 ,  ,  .
Из последнего равенства следует, что последовательность функционалов погрешности не может равномерно сходиться к нулю  при  .
Из теоремы Банаха-Штейнгауса (см. [4], с. 134, с. 166) немедленно получаем условие сходимости квадратурного процесса:
Теорема 1. Для того чтобы квадратурный процесс (5) сходился, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:
1) при для любой функции  , где  - множество, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в ;
2) существует константа  такая, что  для всех N.
1.3. Интерполяционная квадратурная формула
Пусть заданы узлы  квадратурной формулы (2). По подинтегральной функции  и узлам  построим интерполяционный многочлен Лагранжа
где   ,  .
Положив
получим интерполяционную квадратурную формулу
где
Таким образом, квадратурная формула (2) является интерполяционной, если её коэффициенты вычисляются по формуле (8).
Замечание 2. Коэффициенты интерполяционной квадратурной формулы зависят только от узлов и не зависят от подинтегральной функции .
Интерполяционная квадратурная формула (7)–(8) точна на многочленах степени   , если  . Очевидно, что если квадратурная формула (2) с  узлами имеет алгебраический порядок точности не ниже , то она является интерполяционной.
Погрешность интерполяционной квадратурной формулы (7)–(8) имеет вид
где  - погрешность интерполяции.
Если  , то
и, следовательно,
Часто оценку (9) заменяют более грубой
Теорема 2. Для сходимости квадратурного процесса (5), порожденного интерполяционной квадратурной формулой (7)-(8) с таблицей узлов  : , необходимо и достаточно, чтобы  для любого N.
Действительно, для всякого многочлена степени имеем при   и, следовательно,  при для любой функции  , где  - пространство многочленов, всюду плотное в  . Утверждение теоремы 2 теперь немедленно следует из теоремы 1.
Для любой таблицы узлов : , используя формулу (8), получаем
где  - константа Лебега.
Замечание 3. При любом выборе узлов интерполяции  имеет место (см. [4], стр. 118) неравенство С.Н.Бернштейна  Введем оператор  , преобразующий функцию в интерполяционный многочлен Лагранжа  . Оператор  - линейный и ограниченный. Нетрудно показать, что  . Из неравенства С.Н.Бернштейна и теоремы Банаха-Штейнгауса немедленно следует, что для любой таблицы узлов интерполяции : найдется такая функция , для которой последовательность интерполяционных многочленов  неограниченно расходится.
Замечание 4. Расходимость интерполяционного процесса может вызвать осложнения в задаче вычисления интеграла. При неудачном выборе узлов квадратурный процесс (5), порожденный квадратурной формулой (7)–(8), будет расходящимся (сумма  может неограниченно расти).
1.4. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Возьмем на отрезке равноотстоящие узлы  и построим интерполяционную квадратурную формулу (см. (7)-(8))
где
Сделав в интеграле замену переменного  , получим
Здесь коэффициенты
не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены заранее.
Интерполяционная квадратурная формула с равноотстоящими узлами и коэффициентами  , вычисленными по формуле (12),
называется квадратурной формулой Ньютона-Котеса.
Коэффициенты  для  вычислены и содержатся в справочниках по численному интегрированию (см. [3], стр. 16-19). Приведем значения  для малых :
Квадратурная формула Ньютона-Котеса точна на константах:  . Для  все коэффициенты положительны. При  встречаются три отрицательных коэффициента, а при  все коэффициенты положительны. Для  среди будут отрицательные. Причем имеет место, как показал Д.Пойа, соотношение
Более того, абсолютные величины будут довольно быстро расти при для любого фиксированного  . Это означает, что квадратурный процесс, порожденный квадратурными формулами Ньютона-Котеса (13), является расходящимся (не выполняется условие 2) теоремы 2). Поэтому в приложениях применяются формулы Ньютона-Котеса при небольших значениях ( ).
Если число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) нечетное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для  погрешность представима в виде
где  ,  и множитель  отрицателен.
Если же число узлов в формуле Ньютона-Котеса (13) четное, то алгебраический порядок точности формулы равен и для погрешность представима в виде
здесь , и множитель  отрицателен.
Приведем наиболее распространенные формулы Ньютона-Котеса:
Формула трапеций
Если  , то  .
Формула Симпсона (парабол)
Если  , то 
Формула трех восьмых
Если  , то 
1.5. Квадратурные формулы Гаусса
Пусть требуется построить квадратурную формулу с узлами, имеющую максимально возможный алгебраический порядок точности. Нужно определить параметра квадратурной формулы: узлы  и коэффициенты  .
Ясно, что наивысший алгебраический порядок точности квадратурной формулы с узлами не может быть выше, чем  . Действительно, возьмем многочлен  степени . Тогда  но  и, следовательно, погрешность квадратурной формулы  .
Теперь мы можем попытаться построить квадратурную формулу с алгебраическим порядком точности .
Теорема 3. Для того чтобы квадратурная формула (2) с узлами  имела алгебраический порядок точности , необходимо и достаточно, чтобы многочлен степени  был ортогонален на любому многочлену степени меньшей или равной  , то есть для любого многочлена 
Квадратурная формула с узлами, имеющая алгебраический порядок точности , называется квадратурной формулой Гаусса или квадратурной формулой наивысшего алгебраического порядка точности. Очевидно, что квадратурная формула Гаусса является интерполяционной.
Для любого N многочлен степени , удовлетворяющий условию ортогональности (14), имеющий вещественные и различные корни , существует и единственен. Поэтому квадратурная формула Гаусса может быть построена.
Для коэффициентов квадратурной формулы Гаусса верно следующее равенство
Следовательно, все  и  Отсюда и из теоремы 2 вытекает сходимость квадратурного процесса, порожденного квадратурной формулой Гаусса.
Квадратурная формула Гаусса дает высокую точность в том случае, когда подинтегральная функция в окрестности отрезка интегрирования обладает высоким порядком гладкости.
Погрешность квадратурной формулы Гаусса для  имеет вид
Исторически первым примером квадратурной формулы, имеющей наивысший алгебраический порядок точности, была формула Гаусса для отрезка  . Для построения квадратурной формулы использовалась система ортогональных многочленов Лежандра.
Многочлены вида
называются многочленами Лежандра. Из (16) следует, что  является многочленом степени .
Многочлены Лежандра обладают следующими свойствами:
1. Многочлен ортогонален на отрезке любому многочлену  степени меньше :  для любого  .
2. Все корни многочлена вещественные, различные и расположены на интервале  .
3. Многочлены образуют ортогональную систему на :  при  и  при  .
4. Имеет место рекуррентная формула:
Формула (17) позволяет, используя равенства  и  , найти многочлен Лежандра любой степени.
Если известны корни  многочлена Лежандра  , то, используя (15), получаем квадратурную формулу Гаусса
где
Таблицы узлов и коэффициентов формулы (18) приведены в [3]. Отметим, что корни многочленов Лежандра и коэффициенты квадратурной формулы (18) обладают симметрией на  относительно точки  .
Пересчет узлов и коэффициентов квадратурной формулы на произвольный отрезок  осуществляется с помощью замены переменной  :
Таким образом, из (18) получаем квадратурную формулу Гаусса для произвольного отрезка
где корни многочлена Лежандра .
1.6. Квадратурные формулы с весом
Часто удобно исходный интеграл (1) записывать в виде
где  - некоторая заданная функция, называемая весом. Обычно требуют, чтобы интеграл  абсолютно сходился и  В разложении на множители функции  функцию выбирают так, чтобы она обладала достаточно высоким порядком гладкости на , при этом весовая функция должна содержать все «особенности» подинтегральной функции  и быть по возможности наиболее простой.
В этом случае интерполяционная квадратурная формула (7)-(8) принимает вид
где
Приведем пример квадратурной формулы Гаусса с весовой функцией Якоби  , позволяющей учитывать степенные особенности интегрируемой функции на концах отрезка. Отрезок приведем к отрезку  и построим интерполяционную квадратурную формулу
где  - корни многочлена Якоби  .
|
|
|
Скачать 0.92 Mb.