задачи на построение 7 класс. Урок геометрии в 7 классе Презентацию подготовила Рудник Ольга Анатольевна учитель математики i категории моу СШ53 г. Макеевки
 Скачать 4.62 Mb.
|
Задачи на построениеУрок геометрии в 7 классе Презентацию подготовила Рудник Ольга Анатольевна учитель математики I категории МОУ «СШ№53 г. Макеевки» ЗадачаРазделить отрезок длиной 5 см на четыре равные части Разделить угол 55º на четыре равные части Расположить три точки на одинаковом расстоянии друг от друга Задачи на построение Тема урока: Учебная задача урока: дать представление о задачах на построение, этапах их решения и начать выделять основные задачи на построение. В геометрии выделяют задачи на построение, которые можно решить только с помощью двух инструментов: циркуля и линейки без масштабных делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 O С Дано: отрезок АВ, луч ОС. Построить: отрезок OD, OD= АВ DОС. А B Построение: 1) окр.(O, r =АВ); 2) окр.(O, АВ) Ո OC=D; 3) OD - искомый О C Задача1. На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному. D Дано: отрезок АВ, луч ОС. Построили: OD= АВ Доказать: АB=ОD 3.Доказательство: OD= АВ как радиусы одной и той же окружности окр.(O, АВ); 4.Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. А B О C O D Схема решения задач на построение:
Построение по намеченному плану. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. Исследование (когда и сколько задача имеет решений?). Задача2. Построить треугольник, стороны которого равны заданным отрезкам. Дано: а=3см b=2см с=4см Построить: АВ = а, ВС = b, AC = c. Построение: 1) луч АМ 2)окр.1(А, r = а); 3) окр.1 Ո АМ = В; А М В 4) окр.2 (А, r=с) 5) окр.3 (В, r=b) 6) окр.2 Ո окр.3=С 7) AC, BC 8) Δ АВС – искомый треугольник С Анализ: а=3см b=2см с=4см С В А Доказательство:В ΔАВС АВ=а=3см по построению как радиус окр.(А,r=a), АС=с=4см по построению как радиус окр.(А,r=с), ВС=b=2см по построению как радиус окр.(В,r=b). Значит, треугольники равны по трем сторонам. Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. Учебник, задача №148 На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА отложить отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.Построение: А В С Запишите самостоятельно ход построения и доказательство Исследование: Так как от данной точки на данном луче можно отложить отрезок заданной длины и притом только один, то данная задача имеет единственное решение Учебник, задача №149 Даны прямая а и точка В , не лежащая на ней, и отрезок PQ. Постройте точку М на прямой а так, чтобы ВМ=PQ. Всегда ли задача имеет решение? I случай II случай III случай В В В а а а P Q P Q P Q ρ (В, а) < PQ 2 точки ρ (В, а) = PQ 1 точка ρ (В, а) > PQ нет точек Задача не всегда имеет решение Дано:Дано: А В Построить: точку О, АО=ОВ Задача 3. Построить середину отрезка АВ. Построение: 1) Луч АМ 2) окр.1(А;r=AB)ՈАМ=В 3) окр.1(А;r=AB)Ո окр.2(В;r=AB)={К ,М} 4) Прямая КМ 5) КМ Ո АВ=О 6) О- середина АВ А В К М О М Доказательство:У них АМ=АК=ВМ=ВК как радиусы одной окружности, Значит, ΔАМК = ΔВМК по трем сторонам, Рассмотрим ΔАМК и ΔВМК. МК – общая сторона. тогда соответствующие углы равны В равнобедренном ΔАКВ (АК=КВ) КО является биссектрисой и медианой. Значит, О – середина АВ, ч. и т. д. Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. Задача 4. Разделить отрезок длиной 5 см на четыре равные частиДано: А В 5 см Построить: точки О, Р, Е так, что АР=РО=ОЕ=ЕВ Анализ: А В О Р Е Построение:1) Луч АМ А М 2) окр.1(А, r=АВ) 3) окр.1 Ո АМ=В В 4) окр.2(В, r=АВ) 5) окр.1Ոокр.2={К,Н} К Н 6) Прямая КН Ո АВ=О О 7) окр.3(А, r=АО) 8) окр.4(О, r=АО) 9) окр.3Ոокр.4={T, L} L T 10) Прямая TL Ո AO=P P 11) окр.5(O, r=АО) 12) окр.6(В, r=АО) 13) окр.5Ոокр.6={S,D} S D 14) Прямая SD Ո BO=E E 15) AP=PO=OE=EB Доказательство: А Р О Е ВО – середина АВ по построению, тогда АО=ОВ=0,5 АВ Р – середина АО и Е – середина ВО по построению, тогда АР=РО=ОЕ=ЕВ=0,25 АВ Значит, отрезок АВ разделили на четыре равные части Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. А В С Дано: Построить: Построение: окр.1 (А ,r) окр.1 (А, r) Ո окр.2 (O, AC) окр.2 Ո ОМ = D окр.3 (B, BC) окр.4 (D, BC) окр.2 Ո окр.4 = E 8) луч ОЕ 9) искомый. О М О D E Задача 5. Отложить от данного луча угол, равный данному М Дано: угол А. А Построили: угол О. В С О D E Доказательство: рассмотрим ΔАВС и ΔОDE. АС=ОЕ, как радиусы одной окружности. АВ=ОD, как радиусы одной окружности. ВС=DE, как радиусы одной окружности. АВС= ОDЕ (3 приз.) А = О Доказать: А = О Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. Задача 6. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними Дано: а=3см b=4см О Построить: ΔАВС, АВ=а=3см, АС=b=4см, Анализ: b=4см а=3см А В С Построение: 1) Луч АМ А М О 2) окр.1 (О, r) 3) окр.1 (О, r) Ո Р Е 4) окр.2 (А ,r) 5) окр.2 Ո АМ = D D 6) окр.3 (Е, r=ЕР) 7) окр.4 (D, r=ЕР) 8) окр.4 Ո окр.2=Т Т 9) луч АТ 10) окр.5 (А, r=b) 11) окр.5 Ո АМ =С С 12) окр.6 (А, r=а) 13) окр.6 Ո АТ=В В 14) ВС 15) ΔАВС – искомый треугольник Доказательство: В ΔАВС : АВ=а=3см как радиусы одной окружности АС=b=4см как радиусы одной окружности – по построению Значит, треугольники равны по первому признаку Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. САМОСТОЯТЕЛЬНО Задача 7: Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам Дано: а=5см О Е Дано: угол А Построить: биссектрису АВ А Построение: 1) окр.1 (A, r); 2) окр.1(A, r) Ո ={C,D} 3) окр2.(C, r); 4) окр3.(D, r) 5) окр2.(C,r) Ո окр3.(D,r) = B; 6) луч AB 7) AB – искомая биссектриса . А D C B Задача 8. Построить биссектрису данного угла Докажем, что луч АВ – биссектриса А Доказательство: Дополнительное построение (соединим точку В с точками D и C) . Рассмотрим ∆ АСВ и ∆ АDB: А В С D АС=АD, как радиусы одной окружности. СВ=DB, как радиусы одной окружности. АВ – общая сторона. ∆АСВ = ∆ АDВ, по III признаку равенства треугольников Луч АВ – биссектриса Исследование: Задача всегда имеет единственное решение. САМОСТОЯТЕЛЬНО Задача 9: Разделить данный угол на 4 равные части Дано: О ПРОВЕРКА Задача 9: Разделить данный угол на 4 равные части Построение: О Задача 10. Построить точку пересечения биссектрис треугольника Дано: А1 В1 С1 Построить: ΔАВС = ΔА1В1С1, О – точка пересечения биссектрис АD, ВЕ и СF. Анализ: Дано: А1 В1 С1 Построение: 1) Луч АМ А М 2) окр.1(А, r=А1С1) С 3) окр.1 Ո АМ = С 4) окр.2(А, r=А1В1) 5) окр.3(С, r=В1С1) 6) окр.2 Ո окр.3 =В В 7) АВ, ВС, ΔАВС 8) окр.4(А, r)ՈАВ=Р Р 9) окр.4(А, r)ՈАС=Т Т 10) окр.5(Р, r) 11) окр.6(Т, r) 12) окр.5Ոокр.6=S S 13) луч АS Ո BC=D 14) AD – биссектриса D Биссектрису CF строим самостоятельно Задача 11. Дана прямая m и точка A, лежащая на ней. Построить прямую перпендиулярную к данной прямой m, проходящую через данную точку A. Дано: m А Построить: Построение: m А 1) окр.1(А, r) 2) окр.1 Ո m={P,T} P T 3) окр.2(Р, r=PT) 4) окр.3(T, r=PT) 5) окр.2 Ո окр.3=K K 6) прямая КА=n – искомая прямая n Построили: m n А P Т К Доказательство: Проведём отрезки РК и КТ Рассмотрим ΔКРА и ΔКТА. У них: КР=КТ =РТ как радиусы равных окружностей АР = АТ как радиусы одной окружности АК – общая сторона Значит, ΔКРА = ΔКТА по трём сторонам Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов А так как они смежные, то 180º:2=90º. Значит, Работа в паре Учебник, задача №153 Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а. Дано: b=3см а=5 см Построить: Построение: m А 1) окр.1(А, r) 2) окр.1 Ո m={P,T} P T 3) окр.2(Р, r=PT) 4) окр.3(T, r=PT) 5) окр.2 Ո окр.3=K K 6) AK AT n Задача 12. Построить прямоугольный треугольник по двум его катетам. 7) окр.4(А,r=a) Ո AT=B B 8) окр.5(А,r=b) Ո AK=C C 9) ΔABC - искомый Самостоятельная работа Первый вариант Построить прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе Второй вариант Построить равнобедренный прямоугольный треугольник по катету Третий вариант Построить прямоугольный треугольник по катету и острому углу 1. Укажите, какое из указанных дальше построений можно выполнить с помощью одного только циркуля: А) провести произвольную прямую; Б) построить любой луч, который выходит из данной точки и проходит через другую данную точку; В) отложить на данной прямой от данной на ней точки отрезок, который равен данному; Г) каждое из перечисленных построений выполнить невозможно. ТЕСТ 2. Укажите, какое из приведенных дальше построений можно выполнить с помощью одной только линейки: А) построить окружность данного радиуса из центром в данной точке; Б) построить точку, удаленную от двух данных точек на данное расстояние; В) соединить отрезком две данные точки; Г) поделить отрезок пополам. ТЕСТ ТЕСТ 3. Треугольник можно построить из трех отрезков, которые имеют длину: А) 3 см; 1 дм; 6 мм; Б) 45 см; 46 см; 1 м; В) 1 м; 1 м; 0,5 см; Г) ни один из приведенных вариантов. 4. Треугольник АВС можно построить, если: А) Б) АВ = 5 см, ВС = 3 см, АС = 4 см; В) Г) АВ = 6 см, ВС = 4 см. ТЕСТ ТЕСТ 5. Геометрическим местом точек плоскости, равноудаленных от одной точки, является: А) окружность; Б) квадрат; В) круг; Г) куб. 6. Какую фигуру образуют все точки плоскости, которые расположены на расстоянии 6 см от точки М? А) окружность с центром М и радиусом 3 см; Б) прямую, которая расположена на расстоянии 6 см от точки М; В) окружность из центром М и радиусом 6 см; Г) равносторонний треугольник из сторонами 6 см. ТЕСТ ТЕСТ 7. Геометрическим местом точек угла, равноудаленных от его сторон, является: А) биссектриса этого угла; Б) серединный перпендикуляр; В) медиана; Г) свой вариант ответа. ТЕСТ 8. Какое из утверждений неправильное: А) С помощью линейки можно отложить отрезки. Б) Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, которые имеют определенные свойства. В) С помощью линейки можно провести произвольную прямую; прямую, которая проходит через одну или две данные точки. Г) Циркулем можно описать окружность данного радиуса из центром в данной точке, а также отложить данный отрезок на данной прямой из данной точки. ТЕСТ 9. Какую фигуру образуют все точки плоскости, которая расположена на расстоянии 4 м от данной прямой? А) прямую, которая расположена на расстоянии 4 м от данной прямой; Б) две прямые параллельные данной, которые расположены на расстоянии 4 м от данной прямой; В) равносторонний треугольник из стороной 4 м; Г) окружность радиусом 4 м. ТЕСТ 10. Какая из задач не является основной задачей на построение? А) построение биссектрисы угла; Б) построение середины отрезка; В) построение угла, равного данному Г) построение прямоугольного треугольника по двум его катетам; ПРОВЕРЬ СЕБЯ
|