В1 Скорость, ее компоненты по декартовым координатным осям. Скорость – производная радиус-вектора частицы по времени. V=dr/dt; Координатный способ: r=x(t)ex+y(t)ey+z(t)ez; Vx=dx/dt; Vy=dy/dt; Vz=dz/dt; V=Vxex+Vyey+Vzez; |V|=(x|2+y|2+z|2)1/2
Вычисление пройденного пути и перемещения. Перемещение – вектор, соединяющий начальное и конечное положения частицы. Путь – длина траектории, вдоль которой двигалась частица. limt0(s/r)=1; |V|=V=|lim(r/t)|=lim(|r|/t)=lim(s/t)=ds/dt (все при t0); Следовательно: s=|V|dt; r=Vdt (от t1 до t2);
|
В2 Ускорение, его компоненты о декартовым координатным осям.
Ускорение: W=dV/dt=V|; Wx=dVx/dt=Vx|=x||;
|
В3 Нормальное и тангенциальное ускорение. an - Нормальное ускорение - составляющая полного ускорения, перпендикулярная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту изменения направления вектора скорости. an=V2/r, где r-радиус кривизны траектории в той точке, где имеет место данное нормальное ускорение.
* Тангенциальное ускорение – составляющая полного ускорения, параллельная вектору скорости. Это ускорение характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости: a=dV/dt.
* Полное ускорение представляют как сумму двух векторов, один из которых (a) параллелен скорости, а другой (an) перпендикулярен скорости: a=an+ a.
|
В4 Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными скоростями и ускорениями. <>=/t – средняя угловая скорость; =limt0(/t)=d/dt=| - величина угл скорости; Условно вводится единичный вектор e , направленный по правому винту. =e=|e - псевдовектор; =d/dt. Если ось Z совп с осью вращения: z=|; =d/dt – угловое ускорение; =(e)|=|e+e|; При вращении отн неподвиж оси e=const e|=0 =|e; ||=|=; Связь меж угл и лин величинами: r.d=dr r.d/dt=dr/dt r=V,(ещё раз диф-ем по dt) r=W.
|
В5 Законы Ньютона, границы применимости классической механики. Внимание! Законы справедливы только для материальных точек. [1] (о существовании инерциальных систем отсчёта): всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока взаимодействие со стороны других тел не заставит изменить это состояние. [2] F=dp/dt; p=mV; Если m=const, то F=mW; [3] Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. F12=-F21; … Границы применимости: 1) для материальных точек; 2) V< |
В6 Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Механическое движение относительно. … Все уравнения динамики не изм при переходе из одной инерциальной системы в другую. … Все механические явления во всех инерциальных системах от-та протекают одинаковым образом. (инерциальные сис-мы от-та – такие сис-мы, в которых тела покоятся или движутся равномерно и прямолинейно). V0–относительная скорость двух систем от-та K и K|; Пусть K| движется относительно K со скоростью V0 (V0<|+V0t; y=y|; z=x|; t=t|} – преобр Галилея. Продифференцируем обе части по времени: {Vx=V|x+V0; Vy=V|y; Vz=V|z;} правило сложения скоростей: V=V0+V|; Ещё раз продифференцируем: W=W| F=F| (законы движения инвариантны).
|
В7 Силы трения. Сухое и жидкое трение. Если к телу прикасается твердая поверхность, то со стороны этой поверхности на тело могут действовать две силы: N – Сила нормальной реакции – направлена всегда перпендикулярно к поверхности, со стороны которой она действует.
Сила трения – Fтр – направлена всегда параллельно поверхности. Эта сила мешает скользить по поверхности. По своей природе она является результатом взаимного притяжения молекул тела и поверхности, а также зацепления микронеровностей тела и поверхности. FтрN – есть скольжение, Fтр<N – нет скольжения, - коэффициент трения между телом и поверхностью, зав. от материала и степени шероховатости.
* Трение покоя – трение, возникающее при отсутствии относительного перемещения, соприкасающихся тел. Равна по модулю той силе, которая пытается вывести тело из состояния покоя.
* Трение скольжение – сила, возникающая при скольжении тела по поверхности другого. F=-N, направлена против движения скользящего тела.
* Трение качения – сила, возникающая при качении тела по другому телу.
* Сухое трение – трение между двумя поверхностями без жидкой прослойки. Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
* Силы трения, возникающие между поверхностью твердого тела и жидкостью, и их слоями называется жидкими. Эти силы зависят от скорости тела относ. среды и напр. против V: F=-V.
|
В8 Сила тяжести и вес. Сила тяжести – сила гравитационного притяжения тел к земле вблизи её поверхности. Fт=mg, g – ускорение свободного падения. Вес тела – сила с которой тело действует на опору или подвес вследствие гравитационного притяжения к Земле. … {Fт=-N; P=-N} Fт=P=mg; Но вес может быть не равным силе тяжести, если опора или подвес движется в вертикальном направлении с ускорением P=m(g+a). Состояние, когда вес равен нулю называется состоянием невесомоcти. Величина g зависит от геогр широты и высоты над уровнем моря.
|
В9 Закон Кулона, сила Лоренца. З-н Кулона опр электростатическое взаимодействие между точечными зарядами. Fk=kq1q2/r2; Fk=( kq1q2/r3)r. В СИ k=1/(40); Сила Лоренца опр электромагнитное взаимодействие: F=k|q[V,B], V – скорость частицы, B – вектор магнитной индукции (B=k||(Nmax/IS) [Вб], где I – сила тока в рамке, S – площадь сечения рамки, Nmax – макс момент сил, действующих на рамку).
|
В10 Кинетическая энергия материальной точки и системы материальных точек. Уравнение движения: mV|=F, F – результирующая сила; умножим на dr=Vdt; mV|Vdt=Fdr; m(dV/dt)Vdt=mVdV=md(V2/2)=d(mV2/2); Fdr=d(mV2/2); Если система замкнута, то F=0 d(mV2/2)=0 mV2/2=const; T=mV2/2 – сохраняющаяся величина, кинетическая энергия. Если у нас система частиц, то Tсис=Ti.
|
В11 Работа и мощность. Работа центральных сил и сил однородного силового поля. Pабота силы F на пути dS: A=FSdS; Два слова о кинетической энергии: mV|=F; dS=Vdt; mVV|dt=FdS mVV|dt=mVdV=md(V2/2)=d(mV2/2) FdS=d(mV2/2); 12d(mV2/2)=12FdS; T2-T1=12FdS=12FSdS=A12 работа результирующей всех сил, действующих на тело, равна приращению его кинетической энергии. dA=(Fi)dS=FidS=Ai; Если dS=Vdt, то A=FVdt A=t1t2FVdt. Если F=const (и модуль и направление), то A=F12dS=FS=FSF; S – вектор перемещения из 1 в 2; Мощность – производная работы по времени. P=dA/dt=FV; Центральная сила – сила, приложенная к телу, линия действия которой всегда проходит через некоторую точку, называемую центром силового поля (независимо от положения тела). F(r)=f(r)er; f(r)={-r (упруг(-коэф жесткости, r-радиус вектор смещения из положения равновесия)); -m1m2/r2 (грав); kq1q2/r2 (кулон)}; Работа центральных сил: A=12Fdr=12f(r)erdr; erdr=|er||dr|cos=dScos; A=r1r2F(r)dr зависит только от начала и конца траектории. Работа сил однородного поля: Если x,y,z F(x,y,z)=const поле однородное; A=12Fdr=Fr1r2dr=F(r2-r1) не зависит от формы пути.
|
В12 Потенциальная энергия частицы во внешнем поле сил.
P APO=Fdr=U(r), U(r) – потенциальная энергия частицы в данном силовом поле.
1 O 1 A12=A10+A02=A10-A20; U1-U2=U0+A10-(U0+A20)=A10-A20=A10+A02=A12
2 2 A12=U1-U2=-U; Работа сил поля на пути 1-2 равна убыли потенциальной
энергии частицы в данном поле.
Энергия – количественная мера движения материи.
Потенциальная энергия – энергия тела, которой он обладает, находясь в силовом поле или вследствие взаимодействия с другими телами.
|
В13 Связь между потенциальной энергией и силой. dA=-dU(r)=-dU(x,y,z)=Fdr=Fxdx+Fydy+Fzdz; Fx=-U/x; Fy=-U/y; Fz=-U/z; F=exFx+eyFy+ezFz=-(exU/x+eyU/y+ezU/z).
Вектор с компонентами /x, /y, /z, где -скалярная функция координат x,y,z, называется градиентом функции и обозначается символом grad либо (-набла). Из определения градиента следует, что =ex/x+ey/y+ez/z.
Применив к нашему выражению получим: -(exU/x+eyU/y+ezU/z)=-gradU=-U.
|
В14 Закон сохранения энергии для частицы, движущейся в консервативном поле сил.
Если в системе действуют только консервативные силы, то механическая энергия системы сохраняется постоянной. {A12=EP1-EP2; A12=EK2-EK1} EP1-EP2=EK2-EK1 EP1+EK1=EP2+EK2 E=EP+EK=U+K=const; E – полная механическая энергия системы;
* Если сторонние силы отсутствуют или таковы, что не совершают работы в течение интересующего нас времени, то полная механическая энергия частицы в стационарном поле консервативных сил остается постоянной за это время: E=T+U=const.
|
В15 Полная механическая энергия в замкнутой системе материальных точек. Если на интересующую нас систему частиц материальных точек не действуют внешние сторонние силы и нет внутренних диссипативных сил, то полная механическая энергия такой системы остается постоянной: E=T+Uсобств+Uвнеш=const, Uсобств-энергия взаимодействия между частями системы; Uвнеш=потенциальная энергия во внешнем поле.
|
В16 Потенциальная энергия взаимодействия. Потенциальная энергия взаимодействия обусловлена работой сил взаимодействия частиц в системе. Силы центральные: F12=-F21; A12=F12dr1+F21dr2=F21(dr2-dr1)=F21d(r2-r1)=F21dr21; Алгебраическая сумма работ пары сил в произвольной системе отсчёта равна элементарной работе сил, действующих на одно тело, в системе, где второе тело покоится. F21 – консервативная A12=-U12(r12)=-dU12; Uвз(r12)=U12=U21=1/2(U12+U21); В общем случае: Uвз=1/2(i=1NUi)=1/2(i=1N(k=1(ki)Uik)); A=-Uвз (конс силы); Работа внутренних консервативных сил равна убыли Uвз.
|
В17 Закон сохранения энергии для системы взаимодействующих материальных точек.
A1=Aвнешн.конс.=E’P1-E’P2; A2=Aвнутр.конс.=E’’P1-E’’P2; {A1+A2=(E’P1-E’P2)+(E’’P1-E’’P2)=E’P1-E’P2+E’’P1-E’’P2; A1+A2=EK=EK2-EK1;} E’P1+E’’P1+EK1=E’P2+E’’P2+EK2; E=E’P+E’’P2+EK1=const.
|
В18 Потенциальная энергия деформированной пружины.
A=Fxdx=kxdx=kx2/2 U=kx2/2 (т.к. U(0)=0); Зависимость U(x)-парабола.
|
В19 Потенциальная яма и потенциальный барьер. Некоторый промежуток, содержащий максимум потенциальной энергии, в который тело не может проникнуть, имея данный запас энергии, называется потенциальным барьером. Некоторый промежуток, содержащий минимум потенциальной энергии, из которого тело не может выбраться, имея данный запас энергии, называется потенциальной ямой. Движение, не приводящее к удалению на бесконечность называется финитным (в противном случае инфинитным). Движение в потенциальной яме финитное, финитно так же движение с отрицательной полной энергией (если считать что U()=0).
Условия равновесия механической системы. (по учебнику Савельева) Fi=F=0; (сумма внешних сил равна нулю); F=-U U=0 (U/x)i+(U/y)j+(U/z)k=0; U/x=0, U/y=0, U/z=0 – условия равновесия по соответствующим направлениям; 2U/x>0, 2U/y>0, 2U/z>0 – условия устойчивого равновесия по соответствующим направления. Условию равновесия соответствует экстремум U(r): минимум – устойчивое равновесие, максимум – неустойчивое равновесие.
|
В20 Закон сохранения импульса системы взаимодействующих частиц. Система центра масс. (p)|=F; (p1)|=F12+F13+...+F1N+F1внеш; (pN)|= FN2+FN3+...+FN(N-1)+FNвнеш; i=1N(pi)|=i=1N(Fiвнеш) (т.к. Fik+Fki=0); dp/dt=Fiвнеш если Fiвнеш=0, то p=const; Импульс замкнутой системы материальных точек величина постоянная. В незамкнутой системе, если проекция внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция импульса на эту ось сохраняется. Систе́ма це́нтра масс — невращающаяся система отсчёта, связанная с центром масс механической системы. (Pi=miVi) Pi=mi(Vi-Vc)=mi(Vi-mkVk/m); Pi=miVi-mkVkmi/m=0 – суммарный импульс в системе центра масс равен 0.
|
В21 Центр масс. Движение центра масс материальных точек. Центр масс – такая точка, движение которой можно рассматривать как движение всей системы как целого. rc=miri/m; Vc=miVi/m=p/m p=mVc; Если Vc=0, то система частиц как целое покоится. dp/dt=Fiвнеш m(Vc)|=Fвнеш; Центр масс движется так, будто вся масса сосредоточена в этой точке, а результирующая сила приложена именно к ней.
|
В22 Абсолютно упругое и абсолютно неупругое центральное соударение двух шаров. Соударение двух тел, система замкнутая, относительная скорость довольно большая Uвз0; Лаб сис-ма: m1, V1, m2, V2; Ц-система: Vc=(m1V1+m2V2)/(m1+m2); p1=p1-m1Vc=m1(V1-(m1V1+m2V2)/(m1+m2))= m1m2+(V1-V2)/(m1+m2); =m1m2/(m1+m2) – приведённая масса; p1=Vотн=(V1-V2); p2=m2(V2-Vc)=(V2-V1)=-Vотн; p=Vотн-Vотн=0; T=(p1)2/(2m1)+(p2)2/(2m2)=1/2(p1)2(1/m1+1/m2)=(2(Vотн)2(m1+m2))/(2m1m2)=(Vотн)2/2; (а) Абсолютно неупругий удар ((T)|=0 – кинетическая энергия шаров в ц-системе после слипания): (T)0=(Vотн)2/2=1/2(m1m2(V1-V2)2/(m1+m2)); (V12)|=Vc=(m1V1+m2V2)/(m1+m2); (б) Абсолютно упругий удар – не сопровождается переходом механической энергии в другие формы (T=(T)|). Т.к. T сохраняется: T=(p1)2/(2)=((p1)|)2/(2) |p1|=|(p1)|| меняется только направление; до столкновения: (V1)0=(p1)0/m1=m2Vотн/(m1+m2), (V2)0=(p2)0/m2=m1Vотн/(m1+m2); после столкновения: (V1)|= -(V1)0, (V2)|= -(V2)0; В лаб сис-ме от-та после столк-ия: (V1)|=(V1)|+Vc=-(V1)0+Vc=-m2(V1-V2)/(m1+m2)+ (m1V1+m2V2)/(m1+m2)=V1(m1-m2)/(m1+m2)+V2.2m2/(m1+m2); Итого: (V1)|= Vc+(V1)| =Vc+m2(V1-V2)/(m1+m2), (V2)|= Vc+(V2)| =Vc+m1(V1-V2)/(m1+m2).
|
В23-24 Момент импульса и момент силы относительно точки и относительно оси. (1) Относительно точки: M=[r,p] – “аксиальный вектор”, момент импульса; момент импульса создаёт правовинтовую тройку. |M|=r.p.sin; l=r.sin - плечо импульса; |M|=lp=lmV; N=dM/dt=[r|,p]+[r,p|]=[V,mV]+[r,F]=[r,F] – момент силы; (2) относительно оси: Mz=[r,p]z, Nz=[r,F]z; введём полярную систему координат: ,,z; M=[|e e ez|| 0 z||p p pz|] (векторное произведение, расписанное в виде определителя) Mz=pez; Mz=Pz=mV; P=mz; Mz=m2z; Nz=F; dMz/dt=Nz; Если Nz=0 Mz=const;
|
В25 Закон сохранения момента импульса системы взаимодействующих материальных точек.
Момент импульса системы материальных точек определяется как векторная сумма моментов импульсов ее отдельных частиц: M= , где все Мi определены одной точки О; dM/dt= dM/dt= , где Ni – моменты внешних сил, N’i – моменты внутренних сил.
Момент сил – характеризует не только силу но и где она приложена.
Внутренние силы – это силы взаимодействия между частицами системы эти пары сил компенсируют друг друга, значит суммарный момент внутренних сил равен нулю: N’i=0;
dM/dt=Nвнеш, Nвнеш=Ni – суммарный момент всех внешних сил.
Момент импульса системы может изменяться со временем только под действием суммарного момента всех внешних сил M= .
Эти уравнения справедливы как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета (в неинерциальных следует учитывать силы инерции, как внешние силы).
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы частиц остается постоянным, т.е. не меняется со временем, причем это справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы: M= =const; Момент импульса может сохраняться и в неинерциальных системах отсчета, для этого необходимо лишь, чтобы суммарный момент внешних сил (включая и силы инерции), был равен нулю: Ni=0.
|
В26 Силы инерции. Fin=-m(a – a')=-mw; w – разность ускорений.
Уравнение второго закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета: ma’=F+Fin;
Введение сил инерции дает возм. описывать движение тел в любых системах отсчета с помощью одних и тех же уравнений движения.
tg=Fin/mg;
Принцип эквивалентности сводится к тому, что масса гравитационная и масса инерционная неразличимы.
Центробежные силы инерции: R=l+l; Силу инерции, возникающую во вращающейся системе отсчета, называют центробежной силой инерции (Fцб).
Если тело в этой системе покоится, то Fцб=m2R;
Если тело движется с некой скростью V’, то Fцб=m[,V’]=m[,[r’,]].
Сила Кориолиса: Fin=-ma; ma=mV2/R, V=V’+R; mV2/R=m(V’+R)2/R=m/R(V’2+2V’R+2R2)=mV’2/R+2m[V’,]+m2R; FК=2m[V’,].
| |
Скачать 0.98 Mb.