Изотропные среды. Волны в анизотропных средах

• Название: Волны в анизотропных средах
• Анкор: Изотропные среды
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 0.61 Mb.
• Имя файла: 587661.rtf
• Тип: Документы; #562694

">http://www.allbest.ru/

15. Волны в анизотропных средах

В однородной анизотропной среде без пространственной дисперсии, для которой зависимость свойств от направления одинакова в разных точках, материальные уравнения принимают вид:
Di(r, ) = i j()Ej(r, ), Bi(r, ) = i j()Hj(r, ),

.
Обычно в среде тензором бывает либо магнитная, либо диэлектрическая проницаемость, а вторая величина при этом является скаляром.

1. 1. Волновое уравнение для анизотропной среды

Рассмотрим немагнитную негиротропную однородную и анизотропную среду с материальным уравнением вида . Уравнения Максвелла (1.16) – (1.19) для монохроматической волны имеют вид:
rot H = –iD/c, div H = 0, rot E = iH/c, div D = 0,
и с учетом материальных уравнений сводятся к волновому уравнению
. (3.0)
Для плоских волн уравнения Максвелла принимают вид (2.28)
[k  H] = –D/c, (k H) = 0, [k  E] = H/c, (k D) = 0, (3.0)

а волновое уравнение (3.1) можно записать в виде:
. (3.0)
Из системы уравнений (3.2) следует, что векторы k, D и H взаимно перпендикулярны и вектор H перпендикулярен вектору Е, но вектор Е в общем случае не коллинеарен вектору D. В плоскости волнового фронта (k r) = const лежат векторы D и H, а вектор Е не лежит в этой плоскости. Следовательно, и направление потока энергии S = [E  H]c/(4) не совпадает с волновым вектором k, то есть не совпадают направления групповой и фазовой скоростей.

Введем лучевой вектор s, направление которого совпадает с направлением вектора Пойтинга S, а модуль определяется из условия
(s n) = 1, (3.0)
где n = kc/. Нетрудно показать, что
(s Е) = 0, (s Н) = 0. (3.0)
Умножая уравнение (3.2) векторно на s и учитывая соотношение (3.4), получим:
[s  D] = H, [s  H] = –E. (3.0)
Материальное уравнение для соотношений (3.5) и (3.6) имеет вид
. (3.0)

Волновое уравнение (3.3) может быть записано для компонентов в виде, аналогичном уравнению (2.29):
(n2i j – ninj – i j)Ej = 0.
Нетривиальное решение этой системы уравнений возможно лишь при равенстве нулю ее детерминанта, что задает дисперсионное уравнение:
det(n2i j – ninj – i j) = 0, (3.0)
устанавливающее частотную зависимость коэффициента преломления n() при заданном тензоре диэлектрической проницаемости i j(). Аналогично система уравнений (3.5) и (3.6) приводит к другой форме дисперсионного уравнения:
det(s2i j – sisj – –1i j) = 0. (3.0)

2. 2. Распространение плоских волн в кристаллах

Для анизотропных и негиротропных кристаллов тензор диэлектрической проницаемости симметричен i j() = j i(). Если среда прозрачна, то есть можно пренебречь поглощением, то все компоненты тензора вещественны, а симметрический вещественный тензор может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только его диагональные компоненты x x, y y, z z. В этих осях материальное уравнение принимает вид:
Dx = x x Ex, Dy = y y Ey, Dz = z z Ez. (3.0)

Естественно, что в главных осях и обратный тензор тоже диагональный, а дисперсионное соотношение (3.8) принимает вид уравнения Френеля:

анизотропный среда волновой кристалл

.(3.0)
Для монохроматической волны фиксированной частоты  уравнение Френеля (3.11) является квадратичным относительно квадрата показателя преломления n2. Поэтому каждому заданному направлению n = (nx, ny, nz) соответствуют два различных значения волнового числа k = n/c, то есть две нормальных волны, распространяющихся с различными фазовыми скоростями. Например, вдоль главной оси z получаем nx = ny = 0, nz = n, и уравнение Френеля (3.11) существенно упрощается:
n4 – n2(x x + y y) + x x y y = 0, n21 = x x, n22 = y y.
Рассмотрим поляризацию нормальных волн. Направим ось z' вдоль вектора n, тогда Dz' = 0 и уравнения (3.2) легко сводятся к виду:
D = n2E – n(nE), Dx' = n2Ex', Dy' = n2Ey',
который с помощью материального уравнения (3.7) записывается в виде:
.
Поскольку все компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости действительны, то и множитель поляризации

–
тоже действительное число. Таким образом, в анизотропной среде нормальные волны поляризованы линейно. Всякая другая волна в анизотропной среде расщепляется на две линейно поляризованные волны, фазовые скорости которых различны.

Найдем теперь направление групповой скорости нормальной волны. Пусть E(r) = eE(r), тогда волновое уравнение (3.3) примет вид:
. (3.0)
Умножим уравнение (3.12) скалярно на е и продифференцируем его по k:
,
откуда получаем выражение для групповой скорости:
. (3.0)
Поскольку е = Е/Е, а в силу соотношения (3.2) [k  e] = [k  E]/E = H/(cE), то
[e  [k  e]] = [H  E]/(cE2) = 4S/(cE)2,
то есть групповая скорость нормальной волны параллельна ее лучевому вектору.

Наконец, рассмотрим ограниченный в сечении пучок (почти плоскую волну) вида:
E(r) = A(r)exp(ikr), (3.0)
где амплитуда A(r) медленно меняется в пространстве:
|dA/dr| << k|A|. (3.0)
Пусть пучок является одной из нормальных волн:
A(r) = еA(r). (3.0)
Найдем ротор векторного поля E(r) вида (3.14):
rot E = rot (A(r)eikr) = eikr rot A + [grad (eikr)  A] = eikr(rot A + i[k  A]).
Возьмем еще раз ротор от полученного выражения с учетом условий (3.15) и (3.16):
rot rot E = eikr rot (rot A + i[k  A]) + [grad (eikr)  (rot A + i[k  A])] 

 eikr{rot (Ai[k  e] + i[k  (rot A + i[k  A])]} =

= eikr{iA rot [k  e] + i[(grad A)  [k  e]] + i[k  [(grad A)  e]] – [k  [k  A]]}.
Тогда волновое уравнение (3.1) принимает вид:

i[(grad A)  [k  e]] + i[k  [(grad A)  e]] – {[k  [k  e]] +e2/c2}A = 0. (3.0)
Заметим, что в силу уравнения (3.12) выражение в фигурных скобках обращается в нуль. Умножая уравнение (3.17) скалярно на вектор е, получим:
e{k(e grad A) – e(k grad A) + (grad A)(ke) – e(k grad A)} = 0,

(ke) (e grad A) – (ee) (k grad A) = 0,

[e  [k  e]] (grad A) = 0. (3.0)
Укороченное уравнение (3.18) описывает распространение волнового пучка в анизотропной среде без учета дифракции и диссипации, из него следует, что амплитуда остается постоянной в направлении вектора [e  [k  e]], который параллелен лучевому вектору s.

3. 3. Оптические свойства кристаллов

Основное свойство кристалла – симметрия его кристаллической решетки. Различают 3 группы симметрии: 1) кубическая решетка без осей симметрии, выбранных направлений в кристалле нет, тензор диэлектрической проницаемости превращается в скаляр i j() = i j(); 2) одноосные кристаллы, одна из главных осей совпадает с осью симметрии кристалла (оптическая ось), направление двух других главных осей произвольные, z z() = ||(), x x() = y y() = (); 3) двухосные кристаллы.

Для одноосных кристаллов уравнение Френеля (3.11) принимает вид:


и распадается на два уравнения второго порядка
(3.0)
Первое из этих уравнений описывает в координатах (nx, ny, nz) сферу радиуса , а второе – эллипсоид вращения с полуосями и . На оси nz сфера касается эллипсоида. Если  > ||, эллипсоид лежит внутри сферы и кристалл называется оптически отрицательным, если  < ||, то эллипсоид охватывает сферу и кристалл называется оптически положительным.

Точечный источник, помещенный в однородную анизотропную среду, будет излучать две расходящиеся волны: обыкновенную – со сферическим фронтом и необыкновенную – с волновым фронтом в виде эллипсоида. Для плоской волны фазовая скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения, а у необыкновенной зависит. В оптически отрицательных кристаллах фазовая скорость обыкновенной волны меньше, чем у необыкновенной, у положительных – наоборот, когда направление распространения волны совпадает с оптической осью, обе скорости равны.

Для необыкновенной волны уравнение (3.19) можно записать в виде:
. (3.0)
Пусть оптическая ось кристалла направлена вдоль оси z, волновой вектор k лежит в плоскости (у, z), то есть kx = 0. Поскольку направление луча совпадает с направлением групповой скорости vгр = d/dk, то для угла ' между оптической осью и лучевым вектором получим:
.

Дифференцируя соотношение (3.20) по kz и ky, найдем:
,
где  – угол между волновым вектором k и оптической осью. Таким образом, в необыкновенной волне векторы n и s не совпадают, но лежат в главном сечении, то есть плоскости, проходящей через оптическую ось и вектор n.

При падении плоской волны на поверхность кристалла волновые векторы преломленной и отраженной волн должны лежать в плоскости падения, следовательно, в одноосных анизотропных кристаллах возникают две преломленных волны: обыкновенная и необыкновенная – двойное лучепреломление, при этом лучевой вектор необыкновенной волны не лежит в плоскости падения.

4. 4. Распространение электромагнитных волн в гиромагнитных средах

В ферритах типа MeOFe2O3 (Me – двухвалентный металл) тензором является магнитная проницаемость i j(). Анизотропия магнитной проницаемости в ферритах создается наложением постоянного или медленно (по сравнению с частотой электромагнитной волны) меняющегося магнитного поля Н. В ферритах магнитные моменты молекул, имеющие спиновую природу, из-за взаимодействия не компенсируются, и единица объема (домен) обладает магнитным моментом М, то есть является магнитным диполем. Прецессия магнитных диполей вокруг силовых линий постоянного магнитного поля и создает анизотропию магнитных свойств. При Н = 0 магнитная проницаемость феррита – скалярная величина.

Движение магнитного диполя с магнитным моментом Мэф = М0 + М во внешнем магнитном поле Нэф описывается уравнением Ландау – Лифшица:
dMэф/dt = –[Mэф  Нэф], (3.0)
где Нэф = Н0 + Н, Н0 – постоянное магнитное поле, Н – магнитное поле распространяющейся волны, М0 – постоянная намагниченность, совпадающая по направлению с Н0, М – магнитный момент, создаваемый волной,  = e/(mc) – гиромагнитное отношение. Будем считать, что |H| << |H0|, |M| << |M0|, тогда уравнение (3.21) примет вид:
dM/dt + [M  Н0] = –[M0  Н].
При распространении гармонической волны M(t) = Mexp(–it),
H(t) = Hexp(–it), и для компонент комплексных амплитуд получаем уравнения:

–iMx + My = M0Hy, –iMy – Mx = M0Hx, –iMz = 0. (3.0)
Здесь предполагается, что постоянное магнитное поле Н0 направлено вдоль оси z,  = |H0|. Из уравнения (3.22) можно найти компоненты переменного магнитного момента Mx, My, Mz и компоненты Вx, Вy, Вz вектора магнитной индукции
Вi = Нi – 4Мi = i jHj, i, j = x, y, z,
то есть определить компоненты тензора магнитной проницаемости:

(3.0)
Из уравнений (3.23) следует, что тензор магнитной проницаемости феррита – эрмитовый, то есть феррит является магнитоактивной средой, нормальные волны в ней должны иметь круговую или эллиптическую поляризацию. При частоте   , то есть при W  1, должны наблюдаться резонансные явления. Уравнения Максвелла (1.16) – (1.19) для гармонической волны с частотой 0 = ck0, распространяющейся в такой среде, принимают вид:
. (3.0)
Из второго уравнения системы (3.24) следует, что . Для того чтобы определить компоненты обратного тензора магнитной проницаемости, запишем материальное уравнение среды с учетом соотношения (1.32) в виде:
Bx = Hx + iHy, By = Hy – iHx, Bz = ||Hz,
откуда получаем:
Hx = MBx+ iKBy, Hy = MBy – iKBx, Hz = M||Bz,
где обозначено:

. (3.0)
Остальные компоненты обратного тензора магнитной проницаемости равны нулю: . Подставляя полученное выражение для вектора Н в первое уравнение (3.24), получим , или в декартовых координатах для проекции на ось х:
.
Перенесем все слагаемые с Ех в левую часть уравнения, добавим к обеим частям М||2Ех/х2 и, учитывая, что div E = 0, то есть , получим:
. (3.0)
Аналогично можно получить уравнения для составляющих Ey и Ez:
, (3.0)

. (3.0)
Рассмотрим случай, когда вдоль оси z распространяется поперечная электромагнитная волна (Ez = 0). Решение уравнений (3.26) – (3.28) будем искать в виде E(x, y, z) = E(x, y)exp(ihz). Тогда уравнения (3.26) и (3.27) примут вид:

Заметим, что из условий div E = 0, Ez = 0 и уравнения (3.28) следует, что
,
то есть
(3.0)
Система уравнений (3.29) имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее детерминант равен нулю, что приводит к биквадратному уравнению относительно постоянной распространения h:
.
С учетом соотношений (3.25) между компонентами прямого и обратного тензоров магнитной проницаемости получаем:
,

то есть в направлении оси z распространяются две поперечные электромагнитные волны с различными фазовыми скоростями:
. (3.0)
Подставляя вычисленные значения h2 в уравнения (3.29), найдем множитель поляризации P = Ex/Ey = i, то есть эти волны имеют соответственно правую и левую круговую поляризацию. Линейно поляризованная волна в продольно намагниченном феррите расщепляется на две волны, поляризованные по кругу. Скорости распространения этих волн различны, поэтому при прохождении некоторого расстояния l плоскость поляризации оказывается повернутой на угол, пропорциональный l (эффект Фарадея). Направление вращения плоскости поляризации определяется относительно вектора Н и не зависит от направления распространения волны (по z или по –z). Это свойство используется для создания СВЧ-вентильных систем (циркуляторов).