Вопросы по курсу Дискретная математика
 Скачать 486 Kb.
|
|
Вопросы по курсу «Дискретная математика». Множества. Отношения. Функции Множества (конечные и бесконечные). Понятие множества нельзя определить через более общие понятия, так как таких понятий в математике нет. Понятие множества является настолько общим, что для него невозможно дать формальное определение. Интуитивно, под множеством понимается совокупность различных объектов, объединенных по какому-то одному или нескольким признаков. Объекты, составляющие множество, называются элементами. Тот факт, что объект x принадлежит множеству A, передается записью x  A ( читается - “элемент x принадлежит множеству A”).. Если x не является элементом A, то пишут x A. Элементы множеств обычно обозначаются строчными латинскими буквами x, y, a, b, c ; множества часто обозначают прописными латинскими буквами A, B, C, X, Y.Если множество содержит конечное число элементов, то говорят, что оно конечно, в противном случае множество называется бесконечным. Число элементов конечного множества A называется мощностью множества A и обозначается |A|. В дальнейшем мы будем различать общий (текущий) элемент x множества A, т.е. произвольный элемент, характеризующийся единственным свойством “принадлежать множеству A”, и конкретные элементы a, b, c каждый из которых отличен от других. Множество A, состоящее из элементов a,b,c,... записывается A={a,b,c,...}. Подмножества. Понятие подмножества возникает тогда, когда необходимо рассматривать некоторое множество не самостоятельно, а как часть другого, более широкого множества. Множество B называется подмножеством множества A, если всякий элемент множества B является элементом множества A. Запись B  A ( не исключает, что B=A). Определённое ранее пустое множество по определению является подмножеством любого множества. По определению пустое множество является конечным. По определению множество является подмножеством самого себя, A A.Таким образом, у каждого множества (кроме пустого) есть по крайней мере два подмножества - само множество и пустое. Важным понятием является понятие подмножества. Понятие подмножества всегда применяется к паре множеств. Определение Говорят, что множество А является подмножеством множества В (пишут А  В) тогда и только тогда, когда каждый элемент множества А является элементом множества В. Теорема Для того, чтобы множество А являлось подмножеством множества В, необходимо и достаточно, чтобы A\B = Ø. Множество всех подмножеств множества А обозначают 2A. Ясно, что Ø  2A и А 2A. Они называются несобственными подмножествами множества А. Остальные подмножества (если они есть) называются собственными.Пример Пусть А = {1,2,3}. Ясно, что 2A = {Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Операции над множествами и их свойства. Алгебраическими операциями называют такие, при выполнении которых результирующее множество либо пусто, либо состоит из элементов, из которых состоят и множества, подвергающиеся операциям. Кардинальными операциями называют такие операции, при выполнении которых появляются новые элементы. Основными алгебраическими операциями над множествами являются следующие: - пересечение множеств, - объединение множеств. -разность множеств. Пусть А и В - произвольные множества. Их пересечением называется множество А  В={x| x A и x B}.Объединением множеств А и В называется множество А  В={x|x A или x B}. Разностью множеств А и В называется множество А\В={x|x A, но x B}.Используя понятие универса, можно ввести еще две операции над множествами - дополнение и симметрическую разность множеств. Дополнением множества А (до универса J) называется множество  =J\A, т.е. ={x| x J, но x A}.Симметрической разностью множеств А и В называется множество А  В=(A\B) (B\A).Если А В= , то говорят, что множества А и В не пересекаются.Геометрическое изображение. Определение Дополнением ко множеству А относительно универсального множества I называется множество, обозначаемое Ā, определяемое   |