Примеры решения задач. Задача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
 Скачать 1.03 Mb.
|
|
Задача 1 Решить графическим методом типовую задачу оптимизации Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (E) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 8 тонн соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны 3000 ден.ед. для краски Е и 2000 ден.ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным? Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему? Решение Введем следующие переменные: Х1 – количество краски Е (т); Х2 – количество краски I (т). Цена краски Е составляет 3000 (ден. ед.), а цена краски I –2000 (ден. ед.). Необходимо максимизировать целевую функцию:  Введены следующие ограничения: Х1+2Х2≤6; 2Х1+Х2≤8; Х2≤2; Х2-Х1≤1. Первое ограничение по продукту А Х1+2Х2≤6. Прямая Х1+2Х2=6 проходит через точки (0;3) и (6;0). Второе ограничение по продукту В 2Х1+Х2≤8. Прямая 2Х1+Х2=8 проходит через точки (0;8) и (4;0). Третье ограничение Х2≤2. Прямая Х2=2 проходит параллельно оси Х1 через точку Х2=2. Четвертое ограничение Х2-Х1≤1. Прямая Х2-Х1=1 проходит через точки (0;1) и (-1;0). Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее. Пересечение полуплоскостей, каждая из которых определяется соответствующим неравенством системы, называется областью допустимых решений. Решением неравенств будет являться полуплоскость, лежащая ниже пересекающихся прямых Х1+2Х2=6, 2Х1+Х2=8, Х2=2, Х2-Х1=1. При максимизации функции линия уровня перемещается по направлению вектору – градиенту. После решения системы уравнений Х1+2Х2=6 2Х1+Х2=8 Находим, что Х1=3,33, Х2 = 1,33  (ден. ед.)Ответ: Прибыль фирмы будет максимальной, т.е. 12650 ден. ед., если ежедневно будет производиться 3,33 т краски Е и 1,33 т краски I. При решении задачи на минимум – решений не будет. Задача 2 Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Решение 1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции. Х1- норма расхода ресурса первого вида Х2 - норма расхода ресурса второго вида Х3 - норма расхода ресурса третьего вида. Целевая функция имеет вид  , где  Ограничения:
 2) по сырью  3) по оборудованию   Оптимальный план найдем через Поиск решений в надстройках Excel (рис. 2.1) и (рис. 2.2).  Рис. 2.1 Рис. 2.2 Полученное решение означает, что максимальную выручку от реализации готовой продукции (4000 ед.) предприятие может получить при выпуске 40 единиц изделия 1 вида и 40 единиц изделия 2 вида. При этом ресурс «труд» и «сырье» будут использованы полностью, из 140 единиц оборудования будет использовано только 80 единиц. Excel позволяет представить результаты поиска решения в форме отчета рис. 2.3
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||