Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
w она возвращается на бесконечности вдоль той же асимптоты. Дальнейший хода. ф. х. является обычным. Из рисунка 6.22, а видно, что а. ф. х. разомкнутой системы не охватывает точку (-1, j0). В данном случае это должно соответствовать устойчивости замкнутой системы. На рисунке 6.22 б изображен другой случай, когда расположение а. ф. х. таково, что в замкнутом состоянии система оказывается неустойчивой, так как а. ф.х. охватывает точку (-1, j0). Достоинством критерия Найквиста является возможность использования для определения устойчивости снятых экспериментально частотных характеристик. Это оказывается особенно ценно в том случае, когда ввиду сложности исследуемой системы трудно получить исходные дифференциальные уравнения всей системы или ее отдельных блоков. Большое практическое преимущество критерия Найквиста заключается в том, что он может применяться при использовании логарифмических характеристик, которые во многих случаях могут строиться почти без вычислительной работы. Этот вопрос будет рассмотрен в следующем параграфе. В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим следящую систему, изображенную на рисунке 6.4. для этой системы была получена передаточная функция разомкнутой системы ) 1 )( 1 ( ) ( p T p T p k p W М у + + = Нетрудно видеть, что все корни знаменателя, кроме одного нулевого корня, лежат в левой полуплоскости. Поэтому в устойчивой системе а. ф. хне должна охватывать точку (-1, j0). Частотная передаточная функция ) 1 )( 1 ( ) ( М у jwT jwT jw k jw W + + = Модуль ее 2 2 2 2 1 1 ) ( М у T w T w w k w A + ⋅ + = и фаза у М М у М у T T w T T w arctg wT arctg wT arctg w 2 Задаваясь различными значениями частоты от 0 до , можно вычислить модуль и фазу. По модулю и фазе легко строится вектор W( ) либо вычисляются предварительно вещественная и мнимая части частотной передаточной функции Ввиду достаточно простого выражения для частотной передаточной функции в данном примере можно легко найти U ( ) и V ( ), разлагая непосредственно комплекс W( ) на вещественную и мнимую части Результаты расчетов сводятся в табл. 6.2. Примерный вид амплитудно-фазовой характеристики в случае устойчивой замкнутой системы изображен на рис. 6.23. Поскольку исходная передаточная функция имеет простой вид, задача получения устойчивости в рассматриваемой системе может быть решена в общем виде. Из рис. 6.23 следует, что для получения устойчивости точка пересечения амплитудно-фазовой характеристики с осью" вещественных (точка а) должна лежать правее точки (—1, j0). Это условие можно записать следующим образом Найдем частоту в точке а. Это можно сделать, взяв одно из условий или , откуда получаем Подстановка этой частоты в записанное выше неравенство дает или, после преобразования, Таким образом, получено условие, совпадающее с найденным ранее условием, вытекающим из критериев Гурвица и Михайлова. Сделаем теперь два замечания, касающихся использования для определения устойчивости замкнутой системы передаточной функции разомкнутой системы. Замечание 1. В случае многоконтурной системы регулирования размыкание ее для получения передаточной функции разомкнутой системы можно делать, вообще говоря, в произвольном месте. Рассмотрим, например, систему, структурная схема которой изображена на рис. 6.24. Разомкнем систему на входе первого звена. Тогда, рассматривая точку а как входа точку b как выход, получаем передаточную функцию разомкнутой системы Разомкнем теперь туже систему не на входе первого звена, а вцепи обратной связи второго звена (точка с соответствует входу, а точка d — выходу. Передаточная "функция разомкнутой системы в этом случае Передаточные функции р) и р) получились различными. Однако им соответствует одно и тоже характеристическое уравнение замкнутой системы , которое имеет вид Поэтому для определения устойчивости можно пользоваться передаточной функцией разомкнутой системы, полученной размыканием исходной системы в произвольной точке, в которой выполняется условие детектирования. Однако^передаточные функции р) и р) имеют различие. Только передаточная функция р) связывает между собой изображения регулируемой величины и ошибки и только она связана с передаточной функцией замкнутой системы Фр) известным соотношением (5.26): Передаточную функцию при размыкании на входе первого звена в дальнейшем будем считать главной передаточной функцией разомкнутой системы и именно ее иметь ввиду при рассмотрении методов определения качества регулирования и синтеза систем регулирования. Замечание 2. При определении устойчивости в используемой передаточной функции разомкнутой системы можно перемещать члены знаменателя в числитель и наоборот, за исключением старшего члена знаменателя. Так, например, если имеется передаточная функция то для расчета устойчивости она может быть заменена функцией В справедливости этого нетрудно убедиться на основании того, что характеристическое уравнение замкнутой системы 1 + р) = 1+W' (р) = 0 сохраняет при этом свой вид § 6.6. Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно строить не амплитудно-фазовую характеристику, а логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л.а.х.) и логарифмическую фазовую частотную характеристику (л.ф.х.) разомкнутой системы. Построение л.а.х. производится по выражению , где А ( ) — модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы (6.29). Построение л.ф.х. производится по значению частотной передаточной функции (6.29). Для построения л.а.х. и л.ф.х. удобно использовать стандартную сетку, изображенную на рис. 4.10. Наиболее простое построение получается, если передаточную функцию разомкнутой системы можно свести к виду При подстановке получаем (6.34) Фаза (аргумент) частотной передаточной функции (6.35) На основании (6.34) и (6.35) можно легко, без дополнительных вычислений построить асимптотическую л.а.х., для чего на стандартной сетк& (рис. 6.25) наносятся вертикальные прямые при сопрягающих частотах . Для определенности построения возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде которой соответствует выражение для модуля в логарифмических единицах (6.36) Примем, что выполняется условие T1 > T2 > Т. Тогда для сопрягающих частот (рис. 6.25) будет выполнено условие ω1 < ω 2 < ω 3. Построение асимптотической л.а.х. начинается с области низких частот. Если частота меньше первой сопрягающей частоты ω < ω 1, то выражение (6.36) приобретает вид которому соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дб/сек, проходящая через точку Ас координатами и через точку Е с координатами . Эту прямую (первую асимптоту) необходимо провести в низкочастотной области до первой сопрягающей частоты (точка В. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе (6.34), то необходимо изломать л.а.х. на 20 дб/дек вниз, те. провести следующую асимптоту с наклоном, большим на 20 дб/дек. Если эта сопрягающая частота соответствует постоянной времени, находящейся в числителе (6.34), то соответственно необходимо изломать л.а.х. на 20 дб/дек вверх. В соответствии с выражением (6.36) для рассматриваемого примера в точке В необходимо изломать л.а.х. на 20 дб/дек вниз, в точке Сна дб/дек вверх ив точке В — на 40 дб/дек вниз. Таким образом, последняя высокочастотная асимптота в рассматриваемом примере будет иметь отрицательный наклон 60 дб/дек. Аналогичное построение л.а.х. может быть сделано при любом порядке астатизма. Разница будет заключаться в наклоне первой низкочастотной асимптоты, который должен быть равен r·20 дб/дек. Эта асимптота может быть построена по одной точке с координатами или по точке пересечения асимптоты с осью частот (осью нуля децибел, которая имеет координаты Выражение для фазового сдвига (6.35) в рассматриваемом примере приобретает вид (6.37) Каждый из углов представляет, по сути дела, одну и туже зависимость фазового сдвига апериодического звена первого порядка от частоты. Поэтому достаточно построить, например, только зависимость (см. рис. 6.25). Все остальные слагаемые получаются простым сдвигом этой фазовой характеристики так, чтобы при соответствующей сопрягающей частоте иметь фазовый сдвиг 45°. При этом необходимо учитывать знак каждого слагаемого (6.37). Логарифмическая характеристика разомкнутой системы может не сводиться к выражению (6.34). Если числитель или знаменатель передаточной функции разомкнутой системы содержит комплексные корни, тов выражениях (6.34) и (6.35) появятся члены, имеющие соответственно вид и . В этом случае для построения л.а.х. удобно выделить члены, соответствующие комплексным корням. Так, например, если в простой последовательной цепи звеньев содержится колебательное звено, то вместо выражения (6.34) можно записать Первое слагаемое последнего выражения строится описанным выше путем. Для построения второго слагаемого можно использовать кривые, приведенные на рис. 4.18. Аналогичным образом строится л.ф.х. Для построения фазовой характеристики колебательного звена можно использовать графики, приведенные на рис. 4.18. В более сложных случаях, когда выражение для передаточной функции разомкнутой системы трудно представить в виде произведения простых сомножителей и оно имеет общий вид, построение л.а.х. и л.ф.х. можно производить обычным вычислением модуля и аргумента частотной передаточной функции при различных частотах, лежащих в пределах от 0 до Обратимся теперь к определению устойчивости по построенным л.а.х. и л.ф.х. Ограничимся вначале случаем, когда разомкнутая система устойчива или нейтральна. Кроме того, будем пока рассматривать системы с астатизмом не выше второго порядка. Как следует из рис. 6.16, 6.18 ив абсолютно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях, меньших чем единица, а в условно устойчивых системах фазовый сдвиг может достигать —180° четное число раз два, четыре и т. д. Это позволяет легко определить устойчивость по виду л.а.х. и л.ф.х. разомкнутой системы. На риса изображен случай абсолютно устойчивой системы. Точка пересечения л.а.х. с осью децибел (точка 1) лежит левее точки, где фазовый сдвиг достигает значения = — 180° (точка 2). На рис. 6.26, б изображен случай условно устойчивой системы. Точка 1 по-прежнему лежит левее точки 2, но фазовый сдвиг достигает значения = — 180° дважды при модулях, больших чем единица (точки 3 и 4). На рис. 6.26, в изображен случай колебательной границы устойчивости я на рис. 6.26, г — случай неустойчивой системы. Л.а.х. и л.ф.х., построенные в качестве примера на рис. 6.25, соответствуют устойчивой системе. Для систем, неустойчивых в разомкнутом состоянии, а также для систем, имеющих астатизм любого порядка, требования к л.ф.х. всегда можно сформулировать на основании вида амплитудно-фазовой характеристики, соответствующей устойчивой системе. Так, например, для системы с астатизмом третьего порядка в случае устойчивой в разомкнутом состоянии системы (см. рис. 6.20) л.ф.х. должна проходить так, как это изображено на рис. 6.27. Фазовая характеристика при низких частотах начинается со значения фазового сдвига = — 270°. Затем фазовый сдвиг уменьшается по абсолютному значению так, чтобы > — 180°. Фазовая характеристика должна затем обогнуть точку пересечения л.а.х. с осью нуля децибел (точку I), после чего фазовые сдвиги могут быть любыми по величине. Аналогичным образом можно сформулировать требования к л.ф.х. ив других случаях. Иногда для определения устойчивости пользуются не л.а.х. и л.ф.х., а логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой разомкнутой системы, построенной в координатах модуль в децибелах — фаза или модуль в децибелах — запас по фазе (см. рис. 4.12). Для устойчивой системы эта характеристика должна обогнуть справа точку с координатами L(ω) = 0 и = — 180° (или = 0). На рис. 4.12 изображена характеристика, соответствующая устойчивой системе. § 6.7. Устойчивость двумерных систем с антисимметричными связями В практике встречаются двумерные системы регулирования с антисимметричными связями. Структурная схема такой системы изображена на рис. 6.28. Она содержит два идентичных канала с одинаковыми передаточными функциями и антисимметричные связи. К такому виду сводятся некоторые гироскопические устройства, двухканальные системы слежения и др. Матрица-столбец выходных (регулируемых) величин связана с матрицей-столбцом ошибок выражением (6.38) Характеристическое уравнение замкнутой системы (6.39) Здесь I — единичная матрица 2x2. Уравнение (6.39) можно представить в другом виде (6.40) где корни уравнения (6.39) (6-41) Исследование (6.40) сводится к рассмотрению двух уравнений W 0 - = 0 и W 0 - =0. Формально здесь может быть использован, например, критерий Найквиста, но вместо точки комплексной плоскости (—1, j0), которая соответствует обычной записи характеристического уравнения W 0 + 1 = 0, необходимо рассматривать две точки, соответствующие комплексным числам На рис. 6.29 изображена комплексная плоскость, на которой построены а.ф.х. частотной передаточной функции и комплексные числа, соответствующие. Замкнутая система будет устойчивой, если а. ф. х. устойчивого или нейтрально- устойчивого в разомкнутом состоянии одного изолированного канала не будет охватывать точек комплексной плоскости, соответствующих Колебательная граница устойчивости будет иметь место, если выполняется одно из равенств Из (6.41) нетрудно видеть, что при а = 0 обе точки стягиваются в одну точку , что соответствует обычной формулировке критерия Найквиста. Другой метод расчета устойчивости заключается в том, что вводятся в рассмотрение комплексные величины (6.42) Матричная зависимость (6.38) дает два равенства (6.43) Умножая второе равенство на / и складывая, получаем для комплексных величин (6.44) Здесь введена эквивалентная передаточная функция разомкнутой двумерной системы (6.45) Для дальнейшего расчета может использоваться критерий Найквиста в своей обычной формулировке. Однако при построении а. ф. х. частотной передаточной функции она оказывается повернутой по сравнению с исходной а. ф. х. величины почасовой стрелке на угол . Это соответствует введению дополнительного фазового сдвига, что приближает а. ф. х. к точке (—1, j0) и снижает запас устойчивости (риса. Кроме того, оказывается враз больше , что также способствует снижению запаса устойчивости. При а поворота. ф. х. будет против часовой стрелки и к точке (—1, j0) будет приближаться верхняя ветвь а. ф. х, соответствующая отрицательным частотам (рис. 6.30, б. Это также соответствует снижению запаса устойчивости. Заметим, что ив случае перехода к комплексным величинам у их можно произвести расчет по а. ф. х. исходной одноканальной системы . В этом случае колебательная граница устойчивости будет при выполнении условия (6.46) Условие (6.46) сводится к равенству (6.47) что согласуется с первым методом расчета устойчивости. Рассмотренные методы позволяют упростить определение устойчивости двумерной системы по сравнению с использованием результирующего характеристического уравнения (6.39), так как требуют рассмотрения передаточной функции одного изолированного канала. ГЛАВА ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ § 7.1. Общие соображения Дифференциальное уравнение обыкновенной линейной системы автоматического регулирования, записанное для ошибки регулирования, согласно (5.2) имеет вид (7.1) где — алгебраизированный оператор дифференцирования, g(t) — задающее воздействие и f(t) — возмущающее воздействие. Решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (7.1) будет (7.2) где х п (t) — общее решение однородного уравнения , имеющее вид (7.3) причем С, . . ., С — произвольные постоянные, определяемые изначальных условий процесса, ар, р n — корни характеристического уравнения р) = 0. Выражение (7.3) записано для случая отсутствия нулевых и кратных корней. Частное, или вынужденное решение x в (t) определяется правой частью уравнения (7.1), и оно соответствует некоторому установившемуся режиму в системе, который будет существовать после затуханиях п (t). Полным решением (7.2) описывается процесс регулирования в линейной системе общий случай возмущенного движения системы. Первая часть этого решения хп (?) в виде (7.3) представляет собой собственное движение системы, наложенное на частное решение хй (?). Исходное дифференциальное уравнение системы может быть записано также для регулируемой величины . В системах стабилизации g(t) = 0 и поэтому y(t) = — х (t). Необходимо обратить внимание наследующее важное обстоятельство. Частное решение х в (t) складывается из отдельных слагаемых, отвечающих отдельным членам правой части дифференциального уравнения (7.1). Если действует несколько возмущающих воздействий, тов решении будет соответственно и несколько слагаемых. При этом каждое слагаемое частного решениях в (t) может определяться по отдельности для каждого возмущающего или задающего воздействия независимо от других, а затем их можно складывать. В этом состоит так называемый принцип суперпозиции. Следовательно, если имеется дифференциальное уравнение , то частное решение, определяющее установившийся процесс в системе, будет иметь три слагаемых, каждое из которых определяется частным решением одного из уравнений Несколько иначе обстоит дело с определением переходной составляющей. В решении для переходной составляющей (7.3) произвольные постоянные С, С должны вычисляться по начальным условиям обязательно с использованием полного выражения решения (7.2), те. при исследовании переходных процессов в системах автоматического регулирования всегда надо оговаривать соответствующие внешние условия — задавать g(t) и f(t). |