Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
5. Консервативное звено. Консервативное звено является частным случаем колебательного при ξ = 0. Тогда передаточная функция (4.35) будет иметь вид 1 1 ) ( 2 2 2 2 + = + = q p k p T k p W (4.42) Консервативное звено представляет собой идеализированный случай, когда можно пренебречь влиянием рассеяния энергии в звене. Для изображенных на рис. 4.17 примеров мы получим консервативные звенья, если в случаях аи б) положить R = 0, в случаев) положить S = 0 ив случае г) положить F = 0. Временные характеристики соответствуют незатухающим колебаниям (табл. 4.2) с угловой частотой q. Частотные характеристики приведены в табл. 4.3. При частоте w = q модуль частотной передаточной функции обращается в бесконечность, а фаза делает скачок на 180°. Амплитудно-фазовая характеристика совпадает с вещественной осью. При 0 < w q — с отрицательной полуосью. Из уравнений гироскопа, приведенных в предыдущем параграфе, можно получить , 1 откуда передаточная функция для угла прецессии , 1 1 1 ) ( 2 В случае пренебрежения влиянием нутационных колебаний передаточная функция гироскопа будет равна Временные характеристики звена приведены в табл. 4.4, а частотные — в табл. 4.5. Амплитудная частотная характеристика показывает, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем меньше его частота. При w = 0 модуль частотной передаточной функции стремится к бесконечности, а при ∞ ⎯→ ⎯ w 0 ) ( → w A Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью мнимой оси. Построение л. ах. делается по выражению w k w L lg 20 ) ( = (4.45) Л. ах. представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дб/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза w ср = k. Л. ф. х. представляет собой прямую = ψ -90°, параллельную оси частот. 2. Интегрирующее звено с замедлением Звено описывается дифференциальным уравнением 1 2 2 kx dt dx T dt x d T = + (4.46) Передаточная функция звена ) 1 ( ) ( Tp p k p W + = (4.47) Примером такого звена является двигатель (риса, если в качестве выходной величины рассматривать не угловую скорость, а угол поворота, являющийся интегралом от угловой скорости. К такому же типу звена сводятся демпфер (рис. 4.21, б, серводвигатель (рис. 4.21, в, интегрирующий привод (рис. 4.21, г, если более точно рассматривать их уравнения движения, и др. Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух включенных последовательно звеньев — идеального интегрирующего и апериодического первого порядка. Для нахождения временных характеристик удобно передаточную функцию представить в виде алгебраической суммы что позволяет представить решение дифференциального уравнения (4.46) в виде суммы решений для идеального интегрирующего звена и апериодического звена первого порядка. Временные характеристики приведены в табл. 4.4, а частотные — в табл. 4.5. Л. ах. строится по выражению 2 2 1 lg 20 ) ( T w w k w L + = (4.48) Асимптотическая л. ах. представляет собой две прямые с отрицательными наклонами -20 дб/дек (при w<1/T) и -40 дб/дек (при w >1/T). 3. Изодромное звено. Звено описывается уравнением dt dx k kx dt dx 1 1 1 2 + = (4.49) Передаточная функция звена ( ) , 1 ) ( 1 p Tp k k p k p W + = + = (4.50) где T=k 1 /k — постоянная времени изодромного звена. Из этих выражений видно, что звено можно условно представить в виде совокупности двух звеньев, действующих параллельно идеального интегрирующего с коэффициентом передачи k и безынерционного с коэффициентом передачи Примеры изодромных звеньев изображены на рис. 4.22. Таким звеном может быть комбинация пружины с демпфером (рис. 4.22, б. В качестве входной величины здесь рассматривается прикладываемая сила F, а в качестве выходной — перемещение х точки а, в которой приложена сила. Это перемещение складывается из деформации пружины где с — жесткость пружины, и перемещения поршня где S — коэффициент скоростного сопротивления демпфера. Результирующее перемещение точки При использовании операционного усилителя (риса) изодромное звено может быть получено посредством применения Сцепив обратной связи. В системах управления часто находят применение изодромные звенья, построенные на базе интегрирующего привода (рис. 4.22, в. В этом случае входное напряжение поступает непосредственно на выход. Кроме того, это же напряжение поступает на вход интегрирующего привода. Угол поворота валика последнего, в соответствии с изложенным выше, пропорционален интегралу от входного напряжения u 1 . На выходном валике устанавливается какой-либо датчик (Д) представляющий собой линейный преобразователь угла поворота в напряжение, например потенциометр или линейный вращающийся трансформатор. Напряжение этого преобразователя u 3 суммируется с напряжением u 1 . Эта сумма и представляет собой выходное напряжение Рис Таким образом, для схемы, изображенной на рис. 4.22, в, ), ( 1 ) ( ) 1 1 ( ) ( 1 где Т коэффициент пропорциональности между скоростью изменения выходного напряжения датчика интегрирующего привода и напряжением на его входе. Коэффициент передачи идеального интегрирующего звена в этом случае равен k=1/T . Временные характеристики звена представлены в табл. 4.4, а частотные — в табл. 4.5. Л. ах. строится по выражению w T w k w L 2 Асимптотическая л. ах. представляет собой две прямые с отрицательным наклоном 20 дб/дек (при w <1/T) и параллельную оси частот (при w >1/T). Из рассмотрения л. ахи л. ф. х. видно, что в области малых частот (меньших, чем сопрягающая частота) звено ведет себя как идеальное интегрирующее и тем точнее, чем меньше частота. В области больших частот (больших, чем сопрягающая частота) звено ведет себя как безынерционное с коэффициентом передачи Свойство звена вводить интегрирующее действие в области малых частот используется для улучшения качественных показателей систем автоматического регулирования (см. главу 9). § 4.7. Дифференцирующие звенья 1. Идеальное дифференцирующее звено. Звено описывается уравнением dt dx k x 1 2 = (4-51) Передаточная функция звена kp p W = ) ( (4.52) Примеры идеальных дифференцирующих звеньев изображены на рис. 4.23. Единственным идеальным дифференцирующим звеном, которое точно описывается уравнением (4.51), является тахогенератор постоянного тока (риса, а если в качестве входной величины рассматривать угол поворота его ротора α , а в качестве выходной — э. д. с. якоря e. В тахогенераторе постоянного тока при неизменном потоке возбуждения э. д. св якоре пропорциональна скорости вращения Ω = k e . Скорость вращения есть производная повремени от угла поворота dt d α = Ω . Следовательно, В режиме, близком к холостому ходу (сопротивление нагрузки велико, можно считать, что напряжение якоря равно э. д. се. Тогда Приближенно в качестве идеального дифференцирующего звена может рассматриваться операционный усилитель в режиме дифференцирования (рис. 4.23, б. Временные характеристики приведены в табл. 4.6, а частотные — в табл. 4.7. 2. Дифференцирующее звено с замедлением. Звено описывается уравнением dt dx k x dt dx T 1 2 2 = + (4.53) Передаточная функция звена Tp kp p W + = 1 ) ( (4.54) Звено условно можно представить в виде двух включенных последовательно звеньев — идеального дифференцирующего и апериодического первого порядка. На рис. 4.24 изображены примеры дифференцирующих звеньев с замедлением. Наиболее часто употребляются электрические цепи (риса, б ив. В некоторых случаях используются дифференцирующие устройства, состоящие из гидравлического демпфера и пружины (рис. 4.24, г. Составим, например, уравнение для дифференцирующего конденсатора (риса. Ток в рассматриваемой цепи определяется уравнением ∫ = + 1 Переходя к изображениями решая это уравнение относительно тока, получаем ). ( 1 1 ) ( ) ( 1 Рис. Напряжение на выходе цепи ) ( 1 ) ( ) ( 1 где Т = С — постоянная времени цепи. Временные характеристики звена приведены в табл. 4.6, а частотные — в табл. 4.7. Амплитудная частотная характеристика имеет иной вид, чему идеального звена. Характеристики совпадают в области низких частот. В области высоких частот реальное звено пропускает сигнал хуже, чем идеальное звено. Коэффициент передачи стремится к значению k/T при ∞ → w . Для звеньев, представляющих собой С- или цепь (риса и б, k = Тина высоких частотах коэффициент передачи стремится к единице. Фазовые сдвиги, вносимые звеном, являются наибольшими при низких частотах. На высоких частотах фазовый сдвиг постепенно уменьшается, стремясь в пределе к нулю при ∞ → w . Здесь также видно, что это звено ведет себя подобно идеальному только в области низких частот. Л. ах. строится по выражению 2 2 1 lg 20 ) ( T w kw w L + = (4.55) Асимптотическая л. ах. может быть представлена в виде двух прямых. Одна из них имеет положительный наклон 20 дб/дек (при w < 1/T), а вторая—параллельна оси частот при w>1/T). § 4.8. Неустойчивые и неминимально-фазовые звенья Рассмотренные выше звенья позиционного типа относятся к устойчивым звеньям, или к звеньям с самовыравниванием. Под самовыравниванием понимается способность звена самопроизвольно приходить к новому установившемуся значению при ограниченном изменении входной величины или возмущающего воздействия. Термин самовыравнивание обычно применяется для звеньев, представляющих собой объекты регулирования. Существуют звенья, у которых ограниченное изменение входной величины или возмущающего воздействия не вызывает прихода звена к новому установившемуся состоянию, а выходная величина имеет тенденцию неограниченного возрастания во времени. К таким звеньям относятся, например, звенья интегрирующего типа. Они были рассмотрены выше. Существуют звенья, у которых этот процесс выражен еще заметнее. Это объясняется наличием положительных вещественных корней или комплексных корней с положительной вещественной частью в характеристическом уравнении (знаменателе передаточной функции, приравненном нулю, в результате чего звено будет относиться к категории неустойчивых звеньев. Вопрос устойчивости будет изложен подробно в главе 6. Рассмотрим в качестве примера звено, описываемое дифференциальным уравнением 1 2 2 kx x dt dx T = − (4-56) которому соответствует передаточная функция Tp k p W + − = 1 ) ( (4-57) Переходная функция такого звена представляет собой показательную функцию с положительным показателем степени ) ( 1 ) 1 ( ) ( t e k t h T t ⋅ − = (4-58) Эта функция изображена на рис. 4.25. Таким звеном может быть, например, двигатель любого типа (риса, если его механическая характеристика, те. зависимость вращающего момента от скорости вращения ) ( Ω = f M , имеет положительный наклон. На рис. 4.26 изображены разновидности механических характеристик двигателя. В случае, соответствующем кривой 1, двигатель представляет собой устойчивое апериодическое звено первого порядка, уравнения движения которого были рассмотрены в § 4.5. Это звено имеет положительное самовыравнивание. В случае, соответствующем кривой 2, когда вращающий момент не зависит от скорости вращения, уравнение движения двигателя, записанное для угловой скорости, приобретает вид где J — суммарный приведенный момент инерции навалу двигателям коэффициент пропорциональности между управляющим воздействием хи вращающим моментом. Здесь скорость двигателя связана с управляющим воздействием передаточной функцией, соответствующей интегрирующему звену Это звено не имеет самовыравнивания. В случае, соответствующем кривой 3, дифференциальное уравнение движения будет , 1 где k 1 — наклон механической характеристики в точке, линеаризация. Это уравнение приводится к следующему где производится где Т = J/k 1 — постоянная времени двигателя. Оно совпадает с выражением (4.56). Звено имеет отрицательное самовыравнивание. Признаком отрицательного самовыравнивания является отрицательный знак перед самой выходной величиной в левой части дифференциального уравнения (см, например, формулу (4.56)) или появление отрицательного знака у свободного члена знаменателя передаточной функции (см, например, формулу (4.57)). Существенной особенностью неустойчивых звеньев является наличие больших по сравнению с устойчивыми звеньями фазовых сдвигов. Так, для рассматриваемого апериодического звена с отрицательным самовыравниванием (неустойчивого) частотная передаточная функция на основании (4.57) будет равна Tjw k jw W + − = 1 ) ( (4.59) Модуль ее не отличается от модуля частотной передаточной функции устойчивого апериодического звена (табл. 4.3): 2 2 1 ) ( T w k w А + = Поэтому а. ч. хила. х. этих двух звеньев (устойчивого и неустойчивого) совпадают и по одной амплитудной характеристике нельзя определить. к какому звену она относится. Фазовый сдвиг, соответствующий неустойчивому апериодическому звену, arctgwT wT arctg + − = − − = 180 имеет большие абсолютные значения по сравнению с фазовым сдвигом устойчивого апериодического звена первого порядка (табл. 4.3): arctgwT − = ψ . В связи с этим неустойчивые звенья относятся к группе так называемых неминимально-фазовых звеньев, поскольку минимальные по абсолютному значению фазовые сдвиги при одинаковых амплитудных характеристиках будут у устойчивых звеньев. К неминимально-фазовым звеньям относятся также устойчивые звенья, имеющие в числителе передаточной функции (в правой части дифференциального уравнения) вещественные положительные корни или комплексные корни с положительной вещественной частью. Например, звено с передаточной функцией w T p T p W 2 1 1 относится к группе неминимально-фазовых звеньев. Действительно, по сравнению со звеном, имеющим передаточную функцию з 1 1 оно будет иметь большие по абсолютной величине фазовые сдвиги, так как 2 1 2 при одинаковом виде амплитудной частотной характеристики. Напомним, что к минимально-фазовым звеньям относятся такие, у которых корни числителя и знаменателя передаточной функции находятся в левой полуплоскости (см. § 4.3). К неустойчивым звеньям, кроме рассмотренного выше звена, относятся также следующие звенья с соответствующими передаточными функциями квазиконсервативное звено — ) 1 )( 1 ( 1 ) ( 2 2 Tp Tp k p T k p W + + − = + − = (4.60) квазиколебательное звено — 1 ) ( 2 2 − + = Tp p T k p W ξ (4.61) колебательное звено с отрицательным затуханием — 1 ) ( 2 2 + − = Tp p T k p W ξ (4.62) квазиколебательное звено с отрицательным затуханием — 1 ) ( 2 2 − − = Tp p T k p W ξ (4.63) неустойчивое интегрирующее звено- ) 1 ( ) ( Tp p k p W + − = (4.64) и ряд других звеньев. Наличие в автоматической системе неустойчивых звеньев вызывает некоторые особенности расчета, которые будут рассмотрены ниже (см. главу 6). § 4.9. Звенья с модулированным сигналом До сих пор рассматривались звенья, в которых сигнал был немодулированным. В автоматических системах часто используются звенья (чувствительные элементы, усилители, серводвигатели и т. п, у которых сигнал представляет собой переменное напряжение (или ток) некоторой частоты со, называемой несущей. В этом случае закон изменения сигнала во времени характеризуется изменением амплитуды или действующего значения этого напряжения, те. огибающей. На рис. 4.27 для иллюстрации приведены формы немодулированного и модулированного сигналов. Изменению знака сигнала соответствует изменение фазы несущей частоты w 0 на 180°. При расчете автоматических систем с модулированным сигналом могут возникать две задачи 1) нахождение такого звена, которое по своему воздействию на огибающую модулированного сигнала было бы эквивалентным какому-либо обычному звену, используемому в системах с немодулированным сигналом, например апериодическому первого порядка, дифференцирующему, интегрирующему ж т. п 2) определение воздействия звена с заданной передаточной функцией на огибающую модулированного сигнала, те. нахождение передаточной функции по огибающей. Рассмотрим первую задачу. Ниже без строгих доказательств показывается путь, позволяющий сформулировать требования к частотной передаточной функции звена, чтобы его воздействие на огибающую сигнала было определенными заранее заданным. Для уяснения этого пути обратимся к какому-либо-простейшему звену с немодулированным сигналом, например к апериодическому звену первого порядка. Для определенности в качестве такого звена возьмем цепь (рис. 4.13, д. Передаточная функция этого звена Tp p W + = 1 где T=RC. Представим себе, что динамические свойства рассматриваемого звена изучаются при помощи экспериментального снятия его амплитудной частотной характеристики. Для этой целина вход Сцепи нужно подавать напряжение от источника с переменной частотой, например от звукового генератора, и измерять отношение амплитуд выходного и входного напряжений. Характеристика снимается только для положительных частота затем дополняется симметричной ветвью в области отрицательных частот (рис. 4.28). По отношению к амплитудной частотной характеристике можно применить следующий формальный прием. Входное напряжение при снятии частотной характеристики представляет собой гармоническую функцию с угловой частотой сои амплитудой ах wt U u sin max 1 1 = (4.65) Используя понятие отрицательной частоты, можно представить эту функцию в виде алгебраической суммы сигнала, положительной частоты и сигнала отрицательной частоты ] ) sin( [sin 2 max 1 1 t w wt U u − − = (4.66) Эти сигналы называются боковыми частотами. Название произошло последующей причине. Если на вход звена поступает постоянный по величине сигнал, то его можно представить как сигнал нулевой частоты. В этом случае коэффициент передачи звена равен ординате пересечения амплитудной характеристикой оси ординат. В рассматриваемой. цепи этот коэффициент равен единице, те. Если теперь на вход звена подать сигнал, представляющий собой гармоническую функцию, то реакцию звена на такой сигнал можно получить, рассматривая реакцию звена на две частоты, расположенные симметрично относительно исходной нулевой частоты. Эти две частоты и являются боковыми по отношению к исходной частоте. При наличии амплитудной частотной характеристики (рис. 4.28) постоянная времени звена может быть определена по эффекту подавления боковых частот по сравнению с исходной нулевой частотой. Из выражения для амплитудной частотной характеристики апериодического звена первого порядка (см. табл. 4.3) в общем случае, когда 1 ≠ k , 2 следует, что на нулевой частоте коэффициент передачи звена по амплитуде равен k, а при w= 1/T этот коэффициент равен k k k T A 707 0 2 На основании этого соотношения по амплитудной характеристике можно легко найти постоянную времени. Для этой целина высоте 0,707k проводится горизонтальная линия до пересечения с амплитудной характеристикой. Абсциссы точек пересечения будут равны 1/T в области положительных частот ив области отрицательных частот. Расстояние между точками пересечения часто называют полосой пропускания звена п Постоянная времени может быть вычислена по полосе пропускания п (4.67) Обратимся теперь к звену с модулированным сигналом. Предположим, что динамические свойства некоторого звена изучаются при помощи частотных характеристик (рис. 4.29). Постоянному сигналу на входе такого звена соответствует напряжение t w U u 0 max 1 1 cos = (4.68) где w 0 — несущая угловая частота. Допустим теперь, что сигнал (огибающая) изменяется по гармоническому закону с угловой частотой Ω . Это значит, что по гармоническому закону должна изменяться амплитуда в выражении (4.68), и модулированный сигнал может быть представлен в виде t w t U t w t U u 0 max 1 0 1 cos sin cos ) ( Ω = = (4.69) где t U t U Ω = sin ) ( max 1 — гармонический закон изменения огибающей (сигнала. Это выражение может быть преобразовано к виду ] ) sin( ) [sin( 2 0 0 max 1 1 t w t w U u Ω − − Ω + = (4.70) Таким образом, модулированный сигнал (4.69) может быть заменен двумя гармоническими сигналами с частотами, равными сумме и разности несущей частоты и частоты огибающей Ω + = 0 1 w w и Ω − = 0 2 w w . Эти гармонические сигналы являются боковыми частотами. Выясним теперь, какой должна быть амплитудная частотная характеристика звена, чтобы по отношению к модулированному сигналу звено представляло собой, например, апериодическое звено первого порядка. Очевидно, что характеристика должна быть такой же самой, как характеристика апериодического звена с немодулированным сигналом, но она должна быть симметричной относительно несущей частоты w 0 (рис. 4.29). Тогда боковые частоты будут подавляться рассматриваемым звеном также, как они подавляются звеном с немодулированным сигналом (рис. 4.28). Постоянную времени звена с модулированным сигналом, если оно представляет собой для огибающей апериодическое звено первого порядка, можно определить по той частоте огибающей, при которой боковые частоты подавляются враз. Для этого, аналогично предыдущему, на амплитудной частотной характеристике звена (рис. 4.29) должно быть сделано следующее построение. Необходимо определить коэффициент передачи звена k на несущей частоте, что соответствует постоянному входному сигналу (4.68) или частоте огибающей 0 = Ω . Затем на высоте 0,707k проводится горизонтальная прямая до пересечения с частотной характеристикой и определяется полоса пропускания п . Постоянная времени определяется на основании (4.67) и равна п w T ∆ = 2 Рассмотренная выше методика позволяет сформулировать правило, устанавливающее требования к амплитудной частотной характеристике звена с модулированным сигналом для того, чтобы его воздействие на огибающую было таким же, каким является воздействие обычного звена заданного типа на немодулированный сигнал. Это правило сводится к следующему. Амплитудная частотная характеристика звена с модулированным сигналом должна быть такой же, как амплитудная частотная характеристика звена с немодулированным сигналом, но эта характеристика должна быть симметричной не относительно оси ордината относительно несущей частоты. Звено с немодулированным сигналом может рассматриваться при этом как частный случай звена с модулированным сигналом при несущей частоте w 0 = 0. Для того чтобы избежать ошибок в связи с наличием неминимально-фазовых звеньев, сформулированное выше правило для амплитудных характеристик должно быть дополнено аналогичным правилом для фазовых частотных характеристик. Если известно, что все рассматриваемые звенья относятся к категории минимально-фазовых звеньев, то привлечение фазовых характеристик не является необходимыми можно ограничиться использованием только амплитудных характеристик. Таким образом, в общем случае, если обозначить эквивалентную частотную передаточную функцию по огибающей это для частотной передаточной функции звена с модулированным сигналом W(jw) должно выполняться условие ) ( ( ) ( ) ( 0 0 w w j W j W jw W э w w э − = Ω = − = Ω (4.71) Так, например, если необходимо, чтобы по своему действию на огибающую модулированного сигнала звено соответствовало апериодическому звену первого порядка с эквивалентной частотной передаточной функцией это оно должно иметь частотную передаточную функцию Приблизительно такую передаточную функцию имеют, в частности. резонансные усилители, настроенные на несущую частоту w 0 , причем постоянная времени Т определяется полосой пропускания усилителя в соответствии с (4.67). Проиллюстрируем применение изложенного правила на другом примере. Возьмем рассмотренную ранее дифференцирующую RС-цепь (риса. Эта цепь годится для дифференцирования немодулированного сигнала. Если на ее вход подать модулированный сигнал, то дифференцирования не получится. Действительно, рассмотрим входной сигнал t w t U u 0 1 1 cos ) ( = , где U 1 представляет собой закон изменения амплитуды во времени, те. огибающую или сам передаваемый сигнал. Продифференцируем это выражение, считая для простоты, что дифференцирующая цепь идеальна ) sin( ) ( cos ) ( 0 1 0 0 1 1 t w t U w t w dt t dU dt du − = (4.72) В результате получилось два слагаемых. Первое слагаемое является полезным, так как содержит требуемую производную от огибающей, а второе — вредным, так как оно представляет собой ложный сигнал, который может в сотни и тысячи раз превышать по уровню полезный сигнал. Амплитудная частотная характеристика дифференцирующей Сцепи дифференцирующего звена с замедлением) изображена в табл. 4.7. Для получения дифференцирования огибающей модулированного сигнала необходимо осуществить такую цепь, у которой амплитудная характеристика была бы подобна изображенной в табл. 4.7 и была бы при этом расположена симметрично относительно несущей частоты. Такая характеристика изображена на риса Из рассмотрения характеристики следует, что звено не должно пропускать несущую частоту. Это должно быть понятными физически, так как несущая частота в чистом виде, те. отсутствие боковых частот, будет при постоянном сигнале на входе (см. (4.68)). В этом случае производная сигнала (по огибающей) будет равна нулю и на выходе звена не должно быть никакого сигнала. При изменении сигнала по какому-либо закону, например в соответствии с выражением (4.69), появятся боковые частоты, которые будут пропускаться звеном тем сильнее, чем дальше они отстоят от несущей частоты, те. чем больше частота огибающей. Таким образом, звено будет обладать дифференцирующими свойствами по отношению к огибающей модулированного сигнала. Амплитудная частотная характеристика, изображенная на риса, может реализоваться различным образом. Такая характеристика может быть получена, например, от резонансной параллельной Сцепи, Т-образной цепи и т. п, настроенных на несущую частоту (рис. 4.30, б ив. Обратимся теперь ко второй указанной выше задаче. При известной частотной передаточной функции звена W(jw) определим эквивалентную частотную передаточную функцию э для огибающей модулированного сигнала. Для этого вспомним, что частотная передаточная функция звена (4.17) представляет собой комплексное число, модуль которого А равен отношению амплитуд выходной и входной величина аргумент ψ — сдвигу фаз при гармоническом входном сигнале в установившемся режиме. Если на входе звена действует величина wt X t x sin ) ( max 1 1 = , тона выходе будет ] cos ) ( sin ) ( [ ) sin( ) ( ) sin( ) ( max 1 max 1 max 2 2 wt w V wt w U X wt w A X wt X t x + = + = + = ψ ψ (4.73) Для получения частотной передаточной функции по огибающей э звена с модулированным сигналом обратимся к гармоническому сигналу по огибающей (4.69). Разложим его на боковые частоты Ω + 0 w ив соответствии с выражением (4.70). Тогда, используя зависимость (4.73) получим ] ) sin( ) ( ) sin( ) ( ) cos( ) ( ) sin( ) ( [ 2 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 max 1 2 t w w V t w w U t w w V t w w U U t u Ω − Ω − − − Ω − Ω − − Ω + Ω + + Ω + Ω + = (4 . 74) где U(w) и V(w) — вещественная и мнимая части частотной передаточной функции W(jw). Путем разложения синусов и косинусов сумм и разностей углов это выражение преобразуется к виду t w t w V w V t w U w U U t w t w V w V t w U w U U t u 0 0 0 0 0 max 1 0 0 0 0 0 max 1 2 sin sin 2 ) ( ) ( sin 2 ) ( ) ( cos cos 2 ) ( ) ( sin 2 ) ( ) ( ) ( ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ω Ω − + Ω + + Ω Ω − − Ω + + + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ω Ω − − Ω + + Ω Ω − + Ω + = (4.75) Остановимся теперь на двух важных частных случаях. 1. Рассмотрим случай симметричной относительно несущей частоты частотной передаточной функции, что определяется равенством )] ( [ * )] ( [ 0 0 Ω − = Ω + w j W w j W , где звездочкой отмечена сопряженная комплексная величина. Из этого равенства вытекают два других ) ( ) ( 0 0 Ω − = Ω + w U w U и ) ( ) ( 0 Тогда формула (4.75) существенно упрощается и может быть записана в виде t w t w V t w U U t u 0 0 0 max 1 2 cos ] cos ) ( sin ) ( [ ) ( Ω Ω + + Ω Ω + = (4.76) Рассматривая огибающую, те. отбрасывая множитель t w 0 cos , и сравнивая выражения (4.76) и (4.73), убеждаемся, что эквивалентная частотная передаточная функция для огибающей э может быть получена из частотной передаточной функции звена W(jw) подстановкой w = w 0 + Ω : )) ( ( ) ( ) ( 0 э (4.77) что согласуется с полученной ранее формулой (4.71). Так, например, если звено типа резонансного усилителя имеет частотную передаточную функцию то передаточная функция для огибающей будет э Переход к обычной передаточной функции может быть сделан заменой p j = Ω . В результате из (4.77) получаем э (4.78) 2. Рассмотрим теперь другой важный случай, когда передаточная функция W(jw) не является симметричной, но слагаемое в формуле (4.75), определяемое множителем sinw 0 t, отсеивается в последующих звеньях каким-либо фазочувствительным устройством, например фазовым дискриминатором. Тогда это слагаемое может быть отброшено и формула (4.74) упрощается t w t w V w V t w U w U U t u 0 0 0 0 0 max 1 2 cos cos 2 ) ( ) ( sin 2 ) ( ) ( ) ( ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ω Ω − − Ω + + Ω Ω − + Ω + = (4.79) Так как функция четная, а V(w) — нечетная, выражение может быть представлено в следующем виде t w t w V w V t w U w U U t u 0 0 0 0 0 max 1 2 cos cos 2 ) ( ) ( sin 2 ) ( ) ( ) ( ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ Ω Ω − + Ω + + Ω Ω − + Ω + = (4.80) В этом случае эквивалентная частотная передаточная функция для огибающей может быть определена из выражения 2 )] ( [ )] ( [ ) ( 0 э (4.81) Аналогичный результат может быть получен, если фазочувствительное устройство пропускает сигнал фиксированной фазы, например ) cos( ) ( 0 ϕ + t w t U , где const = ϕ . Тогда вместо выражения (4.81) получается 2 )] ( [ )] ( [ ) ( 0 э (4.82) Переход к обычной передаточной функции ) ( э делается, как и выше, заменой Формулы (4.81) и (4.82) позволяют просто находить передаточную функцию по огибающей. Однако к ним следует относиться с осторожностью. Сформулированное выше условие применимости этих формул заключалось в том, что можно было отбросить слагаемое в (4.75), пропорциональное sinw 0 t, и оставить слагаемое, пропорциональное cosw 0 t или в общем случае ) cos( 0 ϕ + w . Однако для этого еще недостаточно, чтобы последующее фазочувствительное устройство в принципе могло отсеивать слагаемое с множителем sinw 0 t. Необходимо, чтобы это можно было реализовать технически, для чего нужна относительная малость слагаемого с sinw 0 t по сравнению со слагаемым с cosw 0 t. Только в этих условиях при имеющейся всегда нестабильности фазочувствительного устройства может быть уверенно, выделено слагаемое с множителем cosw 0 t. В качестве примера, иллюстрирующего случай, когда формула (4.81) практически неприменима, рассмотрим опять дифференцирующую RС-цепь (риса. Примем для простоты, что ее частотная передаточная функция соответствует идеальному дифференцирующему звену kjw jw W = ) ( . Тогда, в соответствии с формулой (4.81), частотная передаточная функция для огибающей будет э 0 Это выражение показывает, что звено обладает дифференцирующими свойствами и для огибающей. Действительно, если обратиться к формуле (4.72), то видно, что при устранении слагаемого с множителем sinw 0 t звено будет обладать дифференцирующими свойствами. Однако, как уже указывалось выше при анализе выражения (4.72), его второе (вредное) слагаемое может в сотни и тысячи раз превышать первое (полезное) слагаемое. Выделить первое слагаемое и отсеять второе практически не, удается. Поэтому обычная дифференцирующая RС-цепь не может применяться для дифференцирования огибающей. Пользоваться формулами (4.81) и (4.82) можно тем уверенней, чем большую симметрию относительно несущей частоты будет иметь частотная передаточная функция звена W(jw). При полной симметрии слагаемое с множителем sinw 0 t в выражении (4.75) будет отсутствовать и формула (4.81) вырождается в формулу (4.77). В рассмотренном примере дифференцирующей Сцепи частотная передаточная функция обладает сильной несимметрией относительно несущей частоты, что и привело к отрицательному результату. В табл. 4.8 приведены приближенные значения передаточных функций для некоторых звеньев с модулированным сигналом, используемых в практике и сводящихся для огибающей к апериодическому звену первого порядка. Параметры передаточных функций определены для фиксированной фазы последующего фазочувствительного устройства const = ϕ . Эта фаза может устанавливаться равной нулю ( 0 = ϕ ), те. устройство фазируется с входным сигналом звена (4.69). Фазочувствителъное устройство может фазироваться также с выходным сигналом звена при постоянном входном сигнале вида (4.68). В этом случае const = = 0 ϕ ϕ , где 0 ϕ — фазовый сдвиг несущей частоты при входном сигнале t w U u 0 max 1 1 cos = . При симметричной относительно несущей частоты частотной передаточной функции соблюдается условие 0 На рис. 4.31 изображена для иллюстрации переходная характеристика звена с модулированным сигналом, эквивалентная для огибающей апериодическому звену первого порядка. ГЛАВА 5 СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ § 5.1. Общий метод составления исходных уравнений Системы автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не меньше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы. При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо прежде всего выявить физический закон, определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления, закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры, закон равновесия моментов (объекты регулирования скорости или угла поворота, закон равновесия электродвижущих сил (электрические цепи) и другие основные законы физики. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы. Например, для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может быть записан в следующем виде Т В M M dt d J − = Ω где J и Ω — приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя, в — вращающий момент двигателя, т — тормозной момент внешних сил (момент нагрузки. После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение. Для приведенного выше примера необходимо установить, от каких величин зависят и какими выражениями определяются вращающий момент двигателя М в и тормозной момент М т на его валу. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной или он изменяется в функции какой-либо переменной (например, в функции угла поворота двигателя. Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравнений в соответствии с главой 3, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно линеаризация допустима, если отсутствуют разрывные, неоднозначные или резко изгибающиеся характеристики и уравнения справедливы в течение всего интервала времени регулирования. В результате линеаризации получается совокупность дифференциальных уравнений, описывающих движение рассматриваемой системы. Введя алгебраизированный оператор дифференцирования dt d p = , эту совокупность можно представить в виде ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = + + + = + + + = + + + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 t f x p a x p a x p a t f x p a x p a x p a t f x p a x p a x p a k kk k k k k k k (5.1) где x 1 , х, . . ., х — обобщенные координаты системы, в том числе и регулируемая величина у (t) и ошибках, а. f 1 (t),f 2 (t), ...,f k (t) — функции времени, представляющие собой задающие и возмущающие воздействия. В дальнейшем без потери общности рассуждений будем считать, что к системе приложены только два воздействия — задающее воздействие g(t) и возмущающее воздействие f(t). Например, можно полонить, что f 1 (t) = g(t), а f 2 (t)=f(t). Кроме того, в (5.1) введены некоторые полиномы от оператора р. Совокупность (5.1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты. Обычно она решается либо относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения, те. ошибки х, либо относительно регулируемой величины у. Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t f p N t g p Q t x p D + = (5.2) Полином р степени n от оператора dt d p = характеризует свободное движение регулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом и может быть представлен в виде n n n n a p a p a p a p D + + + + = − − 1 1 1 0 ) ( (5.3) где а, . . ., а в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты. Полином р той же степени n n n n c p c p c p c p Q + + + + = − − 1 1 1 0 ) ( (5.4) где с, . . ., с — постоянные коэффициенты, определяют влияние задающего воздействия g(t) на характер изменения ошибки х. Под задающим воздействием g(t) здесь понимается требуемый закон изменения регулируемой величины у. Выражение р неравно нулю только в случае программного регулирования ив следящих системах. В системах автоматической стабилизации g(t)= со. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы g(t)=0, что упрощает выражение (5.2). Полином р определяет влияние возмущающего воздействия f(t) на характер изменения ошибки х. В уравнении (5.2) учтено одно возмущение f(t), действующее на систему регулирования. В принципе таких возмущений может быть несколько. Однако вследствие линейности действует принцип суперпозиции и достаточно рассмотреть методику учета только одного возмущения при наличии нескольких возмущений необходимо лишь просуммировать результат. Если для какого-либо возмущающего воздействия 0 ) ( ≠ t f к полином N k (p) = 0, то говорят, что система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия. Равным образом в системах программного регулирования ив следящих системах равенство р) = 0 означает, что система является инвариантной относительно задающего воздействия. Из (5.2) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием задающего воздействия g(t). Вторая составляющая определяется наличием возмущающего воздействия (в общем случае возмущающих воздействий или начальных условий. В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко второй составляющей, те. определяется только наличием возмущающих воздействий. При решении системы дифференциальных уравнений относительно регулируемой величины у) получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования. Это уравнение может быть получено в результате подстановки выражения для ошибки х x(t)=g(t)-y(t) в уравнение (5.2): ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( p Q p D t R t f p N t g p Q t y p D − = − = (5.5) Степень этого полинома n m ≤ : m m m m b p b p b p b p R + + + + = − − 1 1 1 0 ) ( Как уже говорилось выше, в системах автоматической стабилизации при g(t) = со можно при соответствующем выборе начала отсчета получить g(t) = 0, что упрощает выражение (5.5). При заданных функциях времени в правых частях дифференциальных уравнений (5.2) и (5.5) эти уравнения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, те. может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени х из (5.2) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором у) из (5.5). Уравнения (5.1) могут быть также представлены в форме Коши, те. в виде совокупности n уравнений первого порядка, где n — порядок полинома р ∑ ∑ = = = + = k i i ij n i i ij j n j f b x a x 1 1 ) ,...., 1 ( (5.6) Здесь x i (i=1, . . ., n), в отличие от (5.1), представляют собой так называемые фазовые координаты системы, f i (i=1, . . ., k)— задающие и возмущающие воздействия, а коэффициенты ij a и ij b суть вещественные числа. Если в (5.6) ввести алгебраизированный оператор и обозначить j j px x = , то эта совокупность уравнений может быть разрешена относительно любой из фазовых координат х 5.2. Передаточные функции систем автоматического регулирования Записанные выше дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования (5.2) и (5.5) могут быть получены также на основании понятия передаточной функции, которое было введено в главе 3. Рассмотрим рис. 5.1, где изображена система автоматического регулирования по замкнутому циклу. Предположим вначале, что чувствительный элемент (ЧЭ) отсоединен от регулируемого объекта (РО, и рассмотрим так называемую разомкнутую систему автоматического регулирования. Управляющее (или регулирующее) воздействие, которое прикладывает исполнительный элемент (ИЭ) к регулируемому объекту, определяется выражением ) ( ) ( ) ( t x p W t u рег = (5.7) де х — рассогласование на выходе чувствительного элемента, передаточная функция цепи регулирования. Регулируемая величина может быть найдена из выражения ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 t f p W t u p W t y f − = (5.8) где ) ( 0 p W — передаточная функция регулируемого объекта по регулирующему воздействию, ) ( p W f — передаточная функция регулируемого объекта по возмущающему воздействию f(t). Как и ранее, предполагается, что на объект регулирования (или на систему регулирования) действует одно возмущающее воздействие f(t). При наличии нескольких возмущений на основании принципа суперпозиции необходимо будет просуммировать члены вида ) ( ) ( t f p W k k , где и ) ( t f p W k k — возмущение и соответствующая ему передаточная функция по возмущению. Подставляя (5.7) в (5.8), получаем ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t f p W t x p W t y f − = (5.9) Здесь введена так называемая передаточная функция разомкнутой системы ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 p Q p R p W p W p W рег = = (5.10) где р) и р представляют собой некоторые полиномы от р. Передаточную функцию, разомкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины и ошибки при нулевых начальных условиях и возмущающих воздействиях, равных нулю ) ( ) ( ) ( p X p Y p W = (5.11) где р = с +jw — комплексная величина. Применительно к функциям времени, которые использовались в формулах (5.7) — (5.9), передаточная функция разомкнутой системы дает возможность в символической или операторной форме записать дифференциальное уравнение, связывающее регулируемую величину ус ошибкой х в разомкнутой системе ) ( ) ( ) ( t x p W t y = (5.12) где dt d p = — алгебраизированный оператор дифференцирования. Учитывая (5.10), формулу (5.12) можно также записать в виде ) ( ) ( ) ( ) ( t x p R t y p Q = (5.13) Передаточная функция разомкнутой системы имеет весьма большое значение в теории автоматического регулирования, так как многие методы анализа и синтеза основаны на использовании именно этой функции. Рассмотрим теперь замкнутую систему, те. предположим, что чувствительный элемент соединен с регулируемым объектом. При этом можно записать так называемое уравнение замыкания ) ( ) ( ) ( t y t g t x − = (5.14) Решая (5.9) и (5.14) совместно, получаем для регулируемой величины ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( t f p W p W t g p W p W t y f + + + = (5.15) и для ошибки ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( t f p W p W p W t g t x f + − + = (5.16) Выражение Ф (5.17) называется передаточной функцией замкнутой системы или главным оператором. Передаточная функция замкнутой системы дает связь между регулируемой величиной и задающим воздействием при равенстве нулю возмущающих воздействий Ф (5.18) Выражение ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 ) ( p Q p R p R p W p Ф p Ф x + = + = − = называют передаточной функцией замкнутой системы по ошибке. Оно дает связь между ошибкой и задающим воздействием в замкнутой системе при равенстве нулю возмущающих воздействий Ф (5-20) Как и ранее, формулы (5.15), (5.16), (5.18) и (5.20) представляют собой символическую операторную) запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточную функцию замкнутой системы можно определить как отношение изображений регулируемой величины У(р) и управляющего воздействия р при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений Фа передаточную функцию по ошибке — как отношение изображений ошибки X (р и управляющего воздействия р Ф (5.22) также при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущении. Из формул (5.15) и (5.16) видно, что введение автоматического регулирования уменьшает отклонение регулируемой величины под действием возмущающих воздействий в [1 + р раз по сравнению с отклонением в разомкнутой системе (5.9), когда цепь регулирования разорвана и автоматическое регулирование отсутствует. Передаточная функция разомкнутой системы, может быть представлена в виде дробно- рациональной функции от оператора р. В результате сравнения формул (5.2) и (5.16), а также (5.5) и (5.15) видно, что полиномы р) и р в выражении (5.10) совпадают с аналогичными полиномами в дифференциальных уравнениях, приведенных в предыдущем параграфе. Полином ) ( ) ( ) ( p Q p R p D + = (5.23) называется характеристическим. Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы 0 ) ( ) ( ) ( = + = p Q p R p D (5.24) Оно может быть записано в более удобной форме, которая непосредственно получается из (5.15) или (5.16): 0 ) ( 1 = + p W (5.25) так как характеристическое уравнение системы есть знаменатель операторного, решения, приравненный нулю. Из рассмотренного видно, что знание передаточной функции разомкнутой системы позволяет найти выражение для ошибки и регулируемой величины в функции задающего и возмущающих воздействий, а также характеристическое уравнение системы. Передаточная функция разомкнутой системы может находиться непосредственно по структурной схеме и передаточным функциям входящих в нее звеньев (см. ниже, § 5.4) или по какому-либо соотношению, связывающему передаточную функцию разомкнутой системы с другими функциями по передаточной функции замкнутой системы (5.17) ) ( 1 ) ( ) ( p Ф p Ф p Ф − = (5.26) по передаточной функции для ошибки (5.19) ) ( ) ( 1 ) ( p Ф p Ф p Ф x x − = (5.27) по дифференциальному уравнению для ошибки (5.2) или по дифференциальному уравнению для регулируемой величины (5.5) Ф (5-28) § 5.3. Законы регулирования Под законом регулирования или — в более общем случае — законом управления понимается алгоритм или функциональная зависимость, в соответствии с которыми управляющее устройство формирует управляющее воздействие u(t). Эта зависимость может быть представлена в виде ) , , ( ) ( f g x F t u = (5.29) где F — некоторая, в общем случае нелинейная, функция от ошибки х задающего воздействия g и возмущающего воздействия f, а также от их производных и интегралов повремени. Формула (5.29) обычно может быть записана следующим образом ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 f F g F x F t u + + = (5.30) Первое слагаемое (5.30) соответствует регулированию по отклонению (принцип Ползунова — Уатта), второе и третье — регулированию по внешнему воздействию (принцип Понселе). Здесь мы рассмотрим только линейные законы, когда управляющее устройство вырабатывает величину u(t) в функции ошибки в соответствии с линейной формой ) ( 5 4 2 3 2 1 + + + + + + = ∫∫ ∫ x k x k xdt k xdt k x k t u (5.31) или в операторной записи ) ( 2 5 4 2 3 2 1 + + + + + + = x p k px k x p k x p k x k t u (5.32) Регулирование по внешнему воздействию будет рассмотрено в § 9.2. Предположим вначале, что регулируемый объект представляет собой звено статического типа. Это означает, что в установившемся состоянии между регулируемой величиной и управляющим воздействием существует пропорциональная зависимость, вытекающая из (5.8) при равенстве нулю возмущающих воздействий уст уст u k y 0 = где ) 0 ( 0 0 W k = — коэффициент передачи объекта. |