Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
1. Пропорциональное регулирование В случае пропорционального регулирования выражение (5.7) для простейшей безынерционной цепи регулирования (см. рис. 5.1) приобретает вид ) ( ) ( ) ( ) ( 1 t x k t x p W t u рег = = (5.33) Передаточная функция ) ( p W рег может иметь более сложный вид, например ) ( ) ( ) ( 1 p B p A k p W рег = где Ар) и В(р) — некоторые полиномы от оператора р. Однако существенным здесь является то обстоятельство, что цепь регулирования представляет собой позиционное (статическое) звено и при 0 → p передаточная функция 1 ) ( k p W рег → , где 1 k — коэффициент передачи цепи регулирования. В связи с изложенным здесь и далее ради облегчения анализа рассматривается упрощенное выражение (5.33), которое является справедливым, по крайней мере, для медленных изменений величины х. Передаточная функция разомкнутой системы ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 0 p W k p W p W p W рег = = В установившемся состоянии передаточная функция стремится к значению K k k p W p = = → 0 1 0 ) ( lim (5.34} Эта величина называется общим коэффициентом усиления разомкнутой системы. Коэффициент усиления является безразмерной величиной, также как и передаточная функция разомкнутой системы. Это вытекает из соотношения (5.11). Коэффициент усиления разомкнутой цепи (рис. 5.1) физически представляет (собой отношение установившегося значения регулируемой величины к постоянному значению ошибки х = х, если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом рассматривать как некоторый усилитель, на входе которого действует сигнал в виде ошибки хана выходе — усиленный сигналу. Таким образом, для коэффициента усиления можно записать 0 x y K уст = Для установившегося состояния замкнутой системы при постоянном задающем воздействии g=g 0 формулы (5.16) может быть получено следующее соотношение K x K g x fуус уст + + + = 1 1 0 (5.35) где уст — установившаяся (статическая) ошибка, а fуус x — установившееся значение ошибки от возмущающих воздействий в объекте без регулирования. Таким образом, пропорциональное регулирование позволяет уменьшить установившиеся ошибки в объекте в К раз. Регулирование в этом случае получается статическим, так как при любом конечном значении коэффициента усиления цепи установившаяся ошибка будет отличной от нуля. Передаточная функция разомкнутой системы (5.10) для этого случая может быть представлена в виде n n m m n n n m m m p C p C p B p B K p c p c c p b p b b p Q p R p W 0 1 0 1 0 1 0 1 1 ) 1 ( ) ( ) ( ) ( + + + + + + = + + + + + + = = − − − − (5.36) где n m c b K = 2. Интегральное регулирование При интегральном регулировании осуществляется пропорциональная зависимость между скоростью изменения регулирующего воздействия и ошибкой x k dt du 2 = (5.37) при этом регулирующее воздействие получается пропорциональным интегралу от ошибки повремени) В операторной форме это можно записать в виде x p k x p W u рег 2 ) ( = = (5.39) Интегральное регулирование может быть осуществлено при помощи каких-либо интегрирующих звеньев, которые были рассмотрены в главе 4. Аналогично изложенному выше (при рассмотрении пропорционального регулирования) передаточная функция цепи регулирования может иметь более сложный вид, например ) ( ) ( ) ( 2 p B p A p k p W рег = Однако существенным здесь является то, что цепь регулирования представляет собой или имеет в своем составе интегрирующее звено. Поэтому выражение (5.39) будет справедливым по крайней мере для медленных изменений ошибки х. Передаточная функция разомкнутой системы регулирования ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 p W p k p W p W p W рег = = (5.40) В установившемся состоянии (р = 0) передаточная функция стремится бесконечности ∞ → ) ( p W . В результате первая составляющая ошибки (5.16) при g = g 0 = const обращается в нуль. Вторая составляющая, определяемая наличием возмущающих воздействий, может не обращаться в нуль, так как в установившемся состоянии числитель ее может также стремиться к бесконечности. Поэтому должен быть найден предел выражения при f=f 0 =const: ) ( 1 ) ( lim 0 уст (5.41) который может быть как равным нулю, таки отличным от нуля. Таким образом, при интегральном регулировании получается система, астатическая по отношению к задающему воздействию. Она может быть при этом как статической, таки астатической по отношению к возмущающим воздействиям. Передаточная функция разомкнутой системы для случая интегрального регулирования может быть представлена в виде ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 0 2 0 1 − − − + + + + + + = n n m m p C p C p p B p B K p W ϑ (5.42) где к — коэффициент усиления разомкнутой системы. Физически он представляет собой отношение установившейся скорости изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибке х = х = св разомкнутой системе (рис. 5.1): уст (5.43) если цепь регулирования совместно с регулируемым объектом представить себе в виде некоторого усилителя с входной величиной хи выходной у. Коэффициент К, часто называют добротностью по скорости системы регулирования. В дальнейшем, при рассмотрении вопросов точности, будет показано, что он равен отношению постоянной скорости изменения задающего воздействия к установившейся ошибке уст (5.44) что и определило подобное название. Регулирование может осуществляться и по второму интегралу от ошибки повремени) или x p k x p W u рег 2 3 ) ( = = (5.46) В этом случае передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид . ) 1 ( ) 1 ( ) ( 2 0 3 2 0 1 − − − + + + + + + = n n m m p C p C p p B p B K p W ξ (5.47) где к коэффициент усиления разомкнутой системы, представляющий собой отношение установившегося ускорения изменения регулируемой величины к постоянной по величине ошибке х = х = const в разомкнутой системе (рис. 5.1): 0 2 2 x dt y d K уст ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ϑ В этом случае установившееся значение (р = 0) передаточной функции ∞ → ) ( Система также будет обладать астатизмом относительно задающего воздействия. Однако это будет уже астатизм второго порядка. Ошибка, определяемая задающим воздействием в (5.16), будет равна нулю не только при g = const, но и при изменении задающего воздействия с постоянной скоростью const dt dg Аналогичным образом можно получить астатизм третьего и выше порядков, вводя регулирование по третьему и высшим интегралам, те. осуществляя регулирование по закону x p k x p W u r рег = = ) ( (5.49) где r — порядок астатизма. Случай пропорционального регулирования (5.30) можно рассматривать как частный случай астатизма при r= 0. Повышение порядка астатизма приводит к увеличению установившейся точности системы регулирования, но одновременно делает систему более-замедленной в действии, те. снижает ее быстродействие, а также приводит к ухудшению устойчивости. Последнее будет показано ниже в главе, посвященной устойчивости. Для иллюстрации появления замедленности действия систем с интегральным регулированием рассмотрим рис. 5.2. Предположим, что ошибка в системе регулирования начинает возрастать по линейному закону ха. В системе пропорционального регулирования по такому же закону начнет создаваться регулирующее воздействие u=k 1 x=k 1 at . В системе интегрального регулирования регулирующее воздействие будет создаваться по закону 2 2 2 2 at k xdt k u = = ∫ . При t = О в этом случаев системе интегрального регулирования не только регулирующее воздействие равно нулю, но равна нулю также и его первая производная, что обусловливает весьма медленный рост u впервые моменты времени. В системе пропорционального регулирования рост u впервые моменты времени происходит более интенсивно, так как наличие ошибки сразу дает появление регулирующего воздействия, в то время как в системе интегрального регулирования должно пройти некоторое время, пока не накопится интеграл Рис. Если перейти к регулированию по второму интегралу, то снижение быстродействия станет еще более заметным. 3. Изодромное регулирование. При изодромном регулировании осуществляется регулирование по пропорциональному и интегральному законам x p k p k x p k x k u 2 1 2 1 + = + = (5.50) В этом случае ∞ → ) ( p W при р = 0 и регулирование оказывается астатическим относительно задающего воздействия. Изодромное регулирование может осуществляться при помощи использования двух параллельных ветвей вцепи регулирования или при помощи установки изодромных звеньев, рассмотренных в главе 4. Изодромное регулирование сочетает в себе высокую точность интегрального регулирования (астатизм) с большим быстродействием пропорционального регулирования. Впервые моменты времени при появлении ошибки система изодромного регулирования работает как система пропорционального регулирования. Это определяется первым слагаемым в правой части закона (5.50). В дальнейшем система начинает работать как система интегрального регулирования, так как стечением времени преобладающее значение начинает приобретать второе слагаемое (5.50). 4. Регулирование по производным. При регулировании по первой производной от ошибки осуществляется зависимость px k dt dx k u 4 4 = = (5.51) Регулирование по производной не имеет самостоятельного значения, так как в установившемся состоянии производная от ошибки равна нулю и регулирование прекращается. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так как такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к росту или уменьшению ошибки. При осуществлении регулирования по закону px k x k u 4 1 + = (5.52) в системе образуется регулирующее воздействие даже в том случае, когда х = 0, но Так, например, в рассмотренном выше случае (рис. 5.2) при ха регулирующее воздействие, определяемое вторым слагаемым в правой части (5.52), возникает уже при t=0. В результате введение регулирования по производной от ошибки увеличивает скорость реакции системы регулирования, повышает ее быстродействие, что приводит к снижению ошибок в динамике. В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные более высоких порядков — вторая, третья и т. д. Это еще больше улучшает динамические качества системы автоматического регулирования. Однако в настоящее время техническая реализация производных выше второго порядка встречает значительные трудности. В общем случае закон регулирования может иметь сложный вид и содержать кроме члена, пропорционального ошибке, также интегралы (для улучшения точности) и производные для улучшения динамических свойств) от ошибки. Так, например, часто используется изодромное регулирование с введением первой производной x p k p k k u ) ( 4 2 1 + + = (5.53) Таким образом, передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем общем виде ) 1 ( ) 1 ( ) ( 0 3 0 1 r n r n r m m r p C p C p p B p B K p W − − − − + + + + + + = (5.54) где к коэффициент усиления разомкнутой системы, r — степень астатизма. Для последующего использования при анализе и синтезе передаточную функцию разомкнутой системы удобно представлять в виде произведения сомножителей типа (1+Тр): ∏ ∏ − = = + + = r n i r m j r Tip p Tjp K p W 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) ( (5.55) Если знаменатель или числитель (5.54) содержит комплексные корни тов) появятся сомножители вида 2 2 2 2 1 которые характерны, например, для звеньев колебательного типа. Формула (5.55) особенно удобна при использовании логарифмических частотных характеристик, так как 1 − i T и 1 − j T соответствуют сопрягающим частотам асимптотической л. ах, которая при известных i T и j T может быть построена без вычислительной работы. § 5.4. Использование структурных схем и графов Составление основных уравнений системы автоматического регулирования (5.15) и (5.16) во многих случаях может быть значительно облегчено использованием понятия динамических звеньев. Динамические звенья были подробно рассмотрены в главе 4. Часто систему автоматического регулирования можно рассматривать как комбинацию динамических звеньев с определенными типовыми или не типовыми передаточными функциями. Изображение системы регулирования в виде совокупности динамических звеньев с указанием связей между ними носит название структурной схемы. Структурная схема может быть составлена на основе известных уравнений системы, и, наоборот, уравнения системы могут быть получены из структурной схемы. Однако первая задача может иметь различные варианты решения (различные структурные схемы, тогда как вторая задача имеет всегда единственное решение. Элементы структурных схем приведены в табл. 5.1. Рассмотрим вначале простейшие сочетания звеньев. Последовательное соединение звеньев. Такое соединение показано на рис. 5.3. Нетрудно показать, что результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев )..... ( ) ( ) ( 2 1 p W p W p W p = (5.56) или ).... ( ) ( ) ( )..... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 3 2 1 p Q p Q p Q p R p R p R p Q p R p W p p p = = (5.57) Следует подчеркнуть, что это справедливо только в том случае, если соединение выхода предыдущего звена со входом последующего не меняет исходных уравнений каждого звена и, следовательно, его передаточной функции. В подобной последовательной цепи звеньев сигнал проходит только водном направлении, иона называется детектирующей цепью. Если присоединении двух звеньев наблюдается влияние одного звена на другое, в результате которого меняются исходные уравнения какого-либо звена, то такое соединение двух звеньев должно рассматриваться новое самостоятельное звено со своей передаточной функцией. Параллельное соединение звеньев. Такое соединение звеньев изображено на рис. 5.4. Так как сигналы на выходе всех звеньев складываются, то результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 1 3 2 1 + + + = + + + = p Q p R p Q p R p Q p R p W p W p W p W p (5.58) Здесь остаются справедливыми замечания, сделанные выше относительно-взаимного влияния звеньев. Обратные связи. Такое соединение звеньев изображено на рис. 5.5. Обратная связь может быть положительной, если сигнал х, снимаемый с выхода второго звена, суммируется с сигналом x 1 на входе, и отрицательной, если х вычитается. Для определения результирующей передаточной функции такой комбинации звеньев запишем следующие очевидные соотношения 2 2 3 3 1 где знак плюс относится к положительной, а знак минус — к отрицательной обратной связи. Решая эти уравнения совместно относительно х, можно найти результирующую передаточную функцию ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 1 |