Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем
 Скачать 25.93 Mb.
|
|
§ 5.7. Уравнения следящей системы Рассмотрим следящую систему, принципиальная схема которой изображена на рис. 5.18. Задающим устройством является командная ось КО, вращаемая извне по произвольному закону . Этот угол должен повторяться на управляемом объекте УО, ось которого является исполнительной осью ИО. Мощность, требуемая для вращения командной оси ничтожна, так как с командной осью сцеплен только движок потенциометра П. Мощность, которую может потреблять для своего вращения управляемый" объект, значительно выше и обеспечивается установкой двигателя Д соответствующей номинальной мощности. В этом, а также в дистанционности управления заключается смысл использования подобной следящей системы воспроизведения угла поворота. Сравнение углов поворота командной и исполнительной осей осуществляется при помощи двух потенциометров Пи П. Если углы поворота командной и исполнительной осей неравны, то возникает напряжение рассогласования u, которое поступает на вход первого электронного усилителя. Далее усиленный сигнал после прохождения через два электронных усилителя подводится к обмотке возбуждения генератора ОВГ, привод, которого не показан на схеме. Якорь генератора Г соединен с якорем двигателя Д, обмотка которого (ОВД) подключена к постоянному напряжению. 128 В результате при появлении рассогласования двигатель начинает вращаться в сторону уменьшения ошибки до согласования двух осей. Задающим воздействием здесь является угол поворота . В качестве возмущающего воздействия рассмотрим момент нагрузки М (t) на оси управляемого объекта. Для улучшения динамических качеств следящей системы в ней предусмотрена отрицательная обратная связь по напряжению тахогенератора (ТГ). Будем считать, что все звенья системы линейны, за исключением электромашинного усилителя (генератора, у которого электродвижущая сила е связана стоком возбуждения В нелинейной кривой намагничивания генератора. Однако и здесь при сравнительно небольших напряжениях якоря (примерно до половины номинального) можно зависимость между е ив считать также линейной. Таким образом, в рассматриваемой системе отпадает необходимость линеаризации и можно сразу приступить к составлению уравнений. Для этой цели разобьем систему на динамические звенья и найдем их передаточные функции. Чувствительный элемент. Напряжение на выходе первого потенциометра будет и на выходе второго - крутизна, или коэффициент передачи потенциометра. Напряжение на выходе чувствительного элемента равно разности (5.101) Это дает передаточную функцию чувствительного элемента (5.102) Электронные усилители. Считая усилители безынерционными, можно записать их передаточные функции в виде (5.103) (5.104) где k 2 и k 3 — коэффициенты усиления по напряжению первого и второго усилителей. Обмотка возбуждения генератора. Дифференциальное уравнение можно записать на основе второго закона Кирхгофа (5.105) где r в ив суммарные сопротивление и индуктивность цепи возбуждения с учетом выходного каскада усилителя. Приведем это уравнение к стандартному виду (5.106) где — постоянная времени цепи возбуждения. Отсюда находим передаточную функцию обмотки возбуждения (5.107) Генератор. Для прямолинейной части характеристики намагничивания можно положить (5.108) где k 5 — коэффициент пропорциональности между э.д.с. генератора и током возбуждения в линейной части характеристики. Отсюда получаем передаточную функцию генератора (5.109) Двигатель. Так как при фиксированном возбуждении двигатель имеет две степени свободы, то необходимо иметь для него два исходных дифференциальных уравнения. Первое уравнение может быть получено, если записать второй закон Кирхгофа для цепи якоря (5.110) Второе уравнение представляет собой закон равновесия моментов навалу двигателя (5.111) В этих уравнениях я и r я — индуктивность и сопротивление цепи якоря суммарные, — коэффициенты пропорциональности, J — приведенный коси двигателя суммарный момент инерции, — угловая скорость двигателя, Ф — поток возбуждения, М — момент нагрузки, приведенный к валу двигателя. Так как поток возбуждения двигателя Ф = const, то можно положить Вводя оператор дифференцирования и решая уравнения (5.110) и (5.111) совместно, получаем (5.112) Здесь введены две постоянные времени двигателя электромеханическая постоянная времени (5.113) и постоянная времени якорной цепи (5.114) Коэффициенты пропорциональности СЕ и СМ могут быть найдены из соотношений (5.114) где ном и я ном — номинальные значения напряжения и якорного тока двигателя, НОМ и — номинальный вращающий момент и скорость идеального холостого хода двигателя. Учитывая эти соотношения, электромеханическую постоянную времени можно представить в другом виде (5.115) где — номинальное сопротивление якоря двигателя, М кз - момент короткого замыкания двигателя (вращающий момент заторможенного двигателя. В формуле (5.155) перейдем к углу поворота двигателя а, который связан с угловой скоростью зависимостью (5.116) Из последнего выражения, сравнивая его с формулой (5.9), можно получить передаточную функцию двигателя, связывающую его угол поворота ас э. д. с. генератора (5.117) и передаточную функцию по возмущению, связывающую угол поворота ас моментом M, приложенным к его оси (5.118) Редуктор. Считая редуктор линейным безынерционным звеном, запишем его передаточную функцию в виде (5.119) где i > 1 — передаточное отношение редуктора. Тахогенератор. Передаточная функция тахогенератора, в соответствии с § 4.7, еоответствует идеальному дифференцирующему звену (5.120) где k s — коэффициент пропорциональности между э.д.с. генератора и скоростью его вращения. Все звенья рассматриваемой системы, кроме тахогенератора, включены последовательно. Это отображено на структурной схеме рис, 5.19. Тахо-генератор включен в цепь местной обратной связи. Размыкая главную цепь системы, как показано на рис. 5.16 (так, чтобы не нарушать включения местной обратной связи, получаем передаточную функцию разомкнутой системы (5.121) После подстановки выражений для передаточных функций звеньев получаем (5.121) Здесь введен общий коэффициент усиления цепи регулирования без учета действия местной обратной связи (5.123) и коэффициент усиления по цепи местной обратной связи (5.124) Выражение (5.122) можно переписать вином виде (5.125) где (5.126) Результирующий коэффициент усиления основной цепи с учетом действия местной обратной связи, называемый также добротностью по скорости, будет Найдем операторные выражения для регулируемой величины и ошибки по общим формулами. Для этого необходимо найти передаточную функцию по возмущению W f (р, связывающую угол поворота с возмущением М при разомкнутой главной цепи, но замкнутой цепи местной обратной связи. Из структурной схемы (рис. 5.19) при разомкнутой главной обратной связи и при разомкнутой местной обратной связи будет (5.128) где i — передаточное отношение редуктора. При замыкании местной обратной связи в соответствии с формулой (5.59) получаем (5.129) откуда искомая передаточная функция по возмущению где k оса и с определяются формулами (5.124) и (5.126). 132 Имея теперь значения передаточных функций , по общим формулами) находим операторное выражение для регулируемой величины Из (5.132) можно, в частности, получить установившуюся ошибку в неподвижном положении при (t) = const и ММ. Для этого необходимо в (5.175) положить р = 0: (5.133) Здесь введено понятие так называемой добротности по моменту (или крутизны по моменту, которая равна отношению приведенного коси двигателя момента нагрузки к возникающей при этом статической (моментной) ошибке (5.134) Из формулы (5.133) видно, что в неподвижном положении ошибка определяется только моментом нагрузки (возмущающим воздействием. Это означает, что рассматриваемая система обладает астатизмом относительно управляющего воздействия и статизмом относительно возмущающего воздействия М. Заметим, что в формулу (5.133) входит момент нагрузки, приведенный к валу двигателя. Поэтому в эту формулу не вошло передаточное отношение редуктора. Если перейти к моменту нагрузки оси управляемого объекта, тов знаменателе последнего выражения (5.133) появится в качестве множителя i. В соответствии с этим можно сформулировать другое понятие добротности по моменту, как отношение момента нагрузки на оси управляемого объекта к установившейся ошибке. При движении с постоянной скоростью = const и ММ из (5.132) получается установившаяся ошибка (5.135) Здесь можно ввести понятие добротности по скорости, которая является коэффициентом пропорциональности между скоростью движения следящей системы и возникающей при этом установившейся ошибкой (при отсутствии возмущения. В данном случае она равна общему коэффициенту усиления по разомкнутой цепи ГЛАВА 6. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ. § 6.1. Понятие об устойчивости систем регулирования Понятие устойчивости системы регулирования связано со способностью возвращаться в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Наглядно устойчивость равновесия иллюстрируется риса, на котором изображен шар, лежащий в некотором углублении. При всяком отклонении его от положения равновесия он будет стремиться возвратиться к нему точно (при отсутствии сил трения) или к некоторой конечной области, окружающей предшествующее положение равновесия (при наличии сил трения. Такое положение шара будет устойчивым. На рис. 6.1, б изображен другой случай, когда положение шара оказывается неустойчивым. Рис. 6.1, в соответствует случаю безразличного положения равновесия. Можно ввести понятия о невозмущенном состоянии равновесия, соответствующем точке А на риса, и возмущенном состоянии равновесия (точка А. После прекращения действия внешних сил шар возвратится в точку А или А. Условие устойчивости здесь можно сформулировать так система называется устойчивой, если из возмущенного состояния равновесия она перейдет в некоторую конечную область, окружающую невозмущенное состояние равновесия. Понятие устойчивости можно распространить и на случай движения некоторой системы. Пусть ее состояние определяется независимыми координатами x 1 (t), х (t), ..., х. Заданное движение системы определяется некоторым законом изменения координат х (t), х (t), . . ., х n0 (t). Аналогично случаю равновесия положения заданное движение можно назвать невозмущенным движением. Приложение внешних сил к рассматриваемой системе вызовет отклонение действительного движения от заданного x 1 (t) ≠ x 10 (t), х) ≠ хит. д. Это движение будет возмущенным. Заданное невозмущенное движение будет устойчивым, если в результате приложения внешних сил, которые затем снимаются, возмущенное движение по истечении некоторого времени войдет в заданную область Рассмотрим вопрос устойчивости более подробно. Пусть система регулирования описывается нелинейными дифференциальными уравнениями в форме Коши (6.1) Если при t = t 0 заданы начальные значениях то решение может быть представлено в виде ), где i = 1, 2, . . ., n. Пусть установившиеся процессы в системе характеризуются координатами . Введем также отклонения координат (i = 1, . . ., n), характеризующие отклонения процесса от установившегося. Систему уравнений (6.1) перепишем для отклонений где f i — некоторые нелинейные функции. Эти уравнения называются уравнениями возмущенного движения. Их тривиальные решения соответствуют невозмущенному движению, так как при этом Начальные значения отклонений носят название возмущений. Решение системы (6.2) для некоторых начальных отклонений представляет собой возмущенное движение. А. М. Ляпунов [82] дал следующее определение устойчивости. Невозмущенное движение (при ) называется устойчивым по отношению к переменным жг, если при всяком заданном положительном числе А, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число (Атак, что для всех возмущений , удовлетворяющих условию (6.3) возмущенное движение (6.2) будет для времени удовлетворять неравенству (6.4) Здесь , — некоторые весовые коэффициенты, необходимые для уравнивания физических размерностей величин Геометрическая интерпретация этого условия заключается в следующем. В пространстве координат ; достроим две сферы с радиусами и А. Система будет устойчивой, если при возмущениях, не выведших изображающую точку М ( ) из пределов сферы , возмущенное движение будет таково, что, начиная с некоторого времени , изображающая точка М ( ) будет в пределах сферы А. Если стечением времени изображающая точка стремится к началу координат, те. то система асимптотически устойчива. Несколько другое изложение этой теоремы будет дано ниже в § 16.1. Перейдем теперь к вопросу устойчивости линейных, а точнее, линеаризованных систем регулирования. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения линеаризованной системы автоматического регулирования, записанное для регулируемой величины у (t) при наличии управляющего воздействия g (t) и при равенстве нулю возмущающих воздействий (6.5) Коэффициенты а, . . ., аи представляют собой постоянные величины, а оператор Дифференциальное уравнение движения системы регулирования можно записать и для возмущающего воздействия. В этом случае левая часть (6.5) останется без изменения, а правая часть будет иметь иной вид. В общем виде дифференциальное уравнение, определяющее изменение регулируемой величины, может быть записано так, что в правой его части будет находиться некоторая функция времени f (t). Характер переходных процессов в системе определяется видом левой части дифференциального уравнения (6.5). Поэтому для определения качественной картины переходных процессов является практически безразличным, записать ли исходное дифференциальное уравнение для управляющего или возмущающего воздействия. Уравнение (6.5) может с равным успехом быть записано для ошибки регулирования х (t). При этом левая часть уравнения (6.5) полностью сохраняет свой вид. Процесс регулирования определяется решением дифференциального уравнения как сумма двух решений — частного решения неоднородного уравнения (6.5) с правой частью и общего решения уравнения (6.5) без правой части, тес правой частью, равной нулю (6.6) В случае y части (t) = const это будет установившееся значение. II ервое слагаемое (6.6) называют также вынужденным решением у в (t), а второе слагаемое — переходной составляющей y п (t). Тогда формула (6.6) может быть записана в виде Система будет называться устойчивой, если стечением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю . Найдем эту составляющую из (6.5). Для этой цели необходимо решить дифференциальное уравнение без правой части (6.7) Общее решение ищется в виде Дифференцируя это выражение n рази подставляя в (6.7), получаем после сокращения на общий множитель (6.8) Полученное алгебраическое уравнение называется характеристическим. Корни его будут определять характер переходного процесса в системе. Нетрудно заметить, что по своему виду левая часть (6.8) полностью совпадает с левой частью (6.5). Поэтому характеристическое уравнение получается приравниванием левой части (6.5) нулю (6.9) Однако здесь буква означает уже не символ дифференцирования, а некоторое комплексное число, которое является решением (корнем) характеристического уравнения. Так как в решении характеристического уравнения содержится п корней, то переходная составляющая может быть записана в виде (6.10) Сп — где — корни характеристического уравнения, С . постоянные интегрирования, определяемые изначальных условий. Корни характеристического уравнения определяются только видом левой части уравнения (6.5). Постоянные интегрирования определяются также и видом правой его части. Поэтому быстрота затухания и форма переходного процесса определяются как левой, таки правой частями исходного дифференциального уравнения. Однако поскольку в понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса (независимо от быстроты затухания и формы переходного процесса, то устойчивость линейной системы не зависит от вида правой части дифференциального уравнения (6.5) и определяется только характеристическим уравнением (6.9). Чтобы определить, устойчива система или нет, нет необходимости решать характеристическое уравнение и определять его корни. Выясним, какие свойства корней необходимы и достаточны для того, чтобы система была устойчивой. Корни могут быть вещественными, комплексными и чисто мнимыми. Рассмотрим эти случаи. 1. Вещественный корень. Пусть один из корней, например p 1 , является вещественным. Если он отрицательный ( ), то слагаемое, определяемое этим корнем в (6.10), будет представлять собой экспоненту . Очевидно, что при этот член будет затухать. При получится незатухающий, а расходящийся процесс риса. Комплексные корни. Комплексные корни бывают попарно сопряженными. При отрицательной вещественной части два корня, например р и р, будут иметь вид . В этом случае слагаемые, определяемые этими корнями в уравнении (6.8), могут быть представлены в виде где — новые постоянные интегрирования. Нетрудно видеть, что в этом случае получаются затухающие колебания, причем мнимая часть корня представляет собой круговую частоту затухающих колебаний, а — показатель затухания, определяющий затухание огибающей к кривой переходного процесса (рис. 6.2, б. При положительной вещественной части колебания будут незатухающими, а расходящимися (рис. 6.2, в. 3. Чисто мнимые корни. В этом случае . Слагаемое, определяемое этими корнями в (6.10), будет представлять собой незатухающие колебания, те. колебания с постоянной амплитудой Такой процесс изображен на рис. 6.2, г. Следовательно, для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Это относится как к вещественным, таки к комплексным корням. Если хотя бы один корень характеристического уравнения будет иметь положительную вещественную часть, то переходный процесс в целом будет расходиться, те. система окажется неустойчивой. Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины р (рис. 6.3). Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хотя бы один корень окажется справа от мнимой оси, то система будет неустойчивой. Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которую не должны переходить корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости. Превращение устойчивой системы в неустойчивую произойдет в том случае, если хотя бы один вещественный или пара комплексных корней перейдет из левой полуплоскости в правую. Границей перехода будет так называемая граница устойчивости системы. Система будет находиться на границе устойчивости при наличии 1) нулевого корня 2) пары чисто мнимых корней 3) бесконечного корня. Во всех трех случаях предполагается, что все остальные корни имеют отрицательные вещественные части. В первом случае вещественный корень попадает на границу устойчивости (ось мнимых) вначале координат, те. выполняется условие р k =0. Это означает, что в характеристическом уравнении (6.9) будет отсутствовать свободный члена. Дифференциальное уравнение (6.5) в этом случае может быть записано в виде и система будет устойчивой не относительно регулируемой величины у, а относительно ее скорости изменения ру. Величина же отклонения регулируемой величины может принимать произвольные значения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея ввиду ее безразличие к значению самой регулируемой величины. На границе устойчивости второго типа, которая называется колебательной границей устойчивости, два корня попадают на ось мнимых. Система в этом случае будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (рис. 6.2, г. Наконец, вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую, проходя через бесконечность. В этом случае соответствующее слагаемое в выражении (6.10) обращается в нуль, что соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. Это будет при а = 0. Граница устойчивости третьего типа встречается сравнительно редко, ив дальнейшем будут рассматриваться практически только первый и второй типы границы устойчивости. Как было сказано выше, ни одна реальная система автоматического регулирования не является строго линейной. Линейные характеристики звеньев и линейные дифференциальные уравнения получаются путем линеаризации реальных характеристики уравнений. При разложении вряд Тейлора удерживались линейные члены и отбрасывались члены высших порядков, которые для малых отклонений считались пренебрежимо малыми. Обоснование законности такой линеаризации содержится в теоремах Ляпунова. 1. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчивой, те. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость системы. 2. Если характеристическое уравнение линеаризованной системы имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, те. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой. 3. При наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной системы не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить вид переходного процесса, сделав систему устойчивой или неустойчивой. Опираясь в своих линейных расчетах на эти теоремы Ляпунова, необходимо всегда иметь ввиду, что они, во-первых, относятся к исследованию устойчивости в малом, те. в малой окрестности данного состояния равновесия, когда кривая СВ мало отличается от прямой С (см. рис. 3.2) и, соответственно, отбрасываемые в формуле члены малы. Во- вторых, все это относится только к описанному выше способу линеаризации уравнений— разложению нелинейных функций в степенные ряды, что геометрически соответствует замене кривой отрезком касательной, а не к какому-либо другому способу линеаризации. К сильно выраженным нелинейностям на больших участках, в том числе и к нелинейностям релейного типа, эти теоремы, вообще говоря, неприменимы. Для исследования устойчивости нелинейных систем общего вида имеются другие теоремы Ляпунова, так называемый прямой метод Ляпунова или, по старой терминологии, вторая метода Ляпунова, которые будут изложены ниже, в главе 17. Далеко не всегда бывает удобно вычислять корни характеристического уравнения. Поэтому желательно иметь такие критерии, с помощью которых можно было бы судить об устойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения, без вычисления корней. Эти критерии называются критериями устойчивости. Покажем, что необходимым (ноне достаточным) условием устойчивости системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. Это значит, что при положительности всех коэффициентов система может быть устойчивой, ноне исключена возможность неустойчивости системы. Если жене все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то система наверняка неустойчива и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется. Заметим, что вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, можно сделать все коэффициенты положительными, те. в этом случае выполнить указанное выше требование. Для доказательства сформулированного необходимого условия устойчивости будем вначале предполагать, что все корни вещественные. Представим левую часть характеристического уравнения (6.9) в виде произведения , где p 1 , . . ., р n — корни характеристического уравнения. При этом будем считать, что а > 0. Это всегда можно выполнить умножением уравнения на минус единицу. В устойчивой системе все корни должны быть отрицательными, те. и т. д. При этом получим Если теперь раскрыть скобки и вернуться к уравнению вида (6.9), то все коэффициенты уравнения получатся положительными, так как, перемножая и складывая положительные величины и т. д, нельзя получить отрицательных величин. При наличии в решении характеристического уравнения комплексных корней с отрицательной вещественной частью, например , результат не изменится, так как множители, соответствующие этим корням, будут иметь вид Очевидно, что появление такого множителя не может изменить вывод о положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Имея ввиду рассмотренное необходимое условие устойчивости, далее будем всегда предполагать, что все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Необходимое условие устойчивости становится достаточным только для уравнений первого и второго порядков. В этом случае система будет устойчивой при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, в чем нетрудно убедиться прямым нахождением корней уравнения. § 6.2. Критерий устойчивости Гурийца. Задача отыскания критерия устойчивости для систем, описываемых дифференциальными уравнениями любого порядка, была сформулирована Максвеллом в 1868 году. Эта задача была впервые решена в алгебраической форме Раусом в 1873 году для уравнений четвертой и пятой степени ив году — полностью. Поскольку критерий Рауса дан в форме алгоритма, определяющего последовательность математических операций, необходимых для решения задачи, использование его в практике является неудобным. Поэтому большее распространение получил алгебраический критерий устойчивости, сфор купированный в 1895 году математиком А. Гурвицем. Этот критерий был найден Гурвицем по просьбе словацкого профессора Стодолы, занимавшегося исследованием процесса регулирования турбин. Ниже критерий Гурвица приводится без доказательства. Для характеристического уравнения (6.9) составим квадратную матрицу (таблицу) коэффициентов, содержащую n строки столбцов (6.11) Эта таблица составляется следующим образом. По диагонали от левого верхнего до правого нижнего углов выписываются все коэффициенты по порядку от а до а n . Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. В случае отсутствия данного коэффициента, а также если индекс его меньше нуля или больше п, на месте его пишется нуль. Критерий устойчивости сводится к тому, что при а > 0 должны быть больше нуля все п определителей Гурвица, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов. Определители Гурвица составляются последующему правилу (см. (6.11)): (6.12) (6.13) (6.14) Последний определитель включает в себя всю матрицу. Но так как в последнем столбце матрицы все элементы, кроме нижнего, равны нулю, то последний определитель Гурвица выражается через предпоследний следующим образом (6.15) Однако в устойчивой системе предпоследний определитель тоже должен быть положительным. Поэтому условие положительности последнего определителя сводится к условию ат. е. к положительности свободного члена характеристического уравнения. Условия нахождения системы на границе устойчивости можно получить, приравнивая нулю последний определитель , при положительности всех остальных определителей. Как следует из (6.15), это условие распадается на два условия аи. Первое условие соответствует границе устойчивости первого типа апериодическая граница устойчивости) и второе — границе устойчивости второго типа колебательная граница устойчивости. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия устойчивости Гурвица, можно получить в виде частных случаев критерии устойчивости для системы первого, второго, третьего, четвертого и более высоких порядков. 1. Уравнение первого порядка Для этого уравнения критерий Гурвица дает те. коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными. 2. Уравнение второго порядка Для этого уравнения критерий Гурвица требует Последний определитель, как отмечалось выше, сводится к условию положительности последнего коэффициента а > 0. Таким образом, и для уравнения второго порядка необходимыми достаточным условием устойчивости является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения. 3. Уравнение третьего порядка Для этого уравнения получаем условия Третий (последний) определитель дает условие а > 0. Условие при а > 0, аи а > 0 может выполняться только при а > 0. Следовательно, для уравнения третьего порядка уже недостаточно положительности всех коэффициентов характеристического уравнения. Требуется еще выполнение определенного соотношения между коэффициентами 4. Уравнение четвертого порядка На основании критерия Гурвица можно получить, что для уравнения четвертого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, требуется выполнение условия 5. Уравнение пятого порядка Для уравнения пятого порядка, кроме положительности всех коэффициентов, должны выполняться еще два условия Как видно, уже для уравнения пятой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются достаточно громоздкими. Поэтому использование этого критерия практически ограничивается уравнениями четвертого порядка. Существенным недостатком критерия Гурвица является также то, что для уравнений высоких порядков в лучшем случае можно получить ответ о том, устойчива или неустойчива система автоматического регулирования. При этом в случае неустойчивой системы критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, чтобы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике. Для иллюстрации применения критерия Гурвица рассмотрим примерна определение устойчивости дистанционной следящей системы. Принципиальная и структурная схемы изображены на рис. 6.4. В качестве чувствительного элемента использованы два сельсина (СД и СП), включенные по трансформаторной схеме. Передаточная функция сельсинов равна коэффициенту передачи схемы где — ошибка, равная разности углов поворота командной и исполнительной осей. Передаточная функция усилителя где k 2 — коэффициент усиления и Ту — постоянная времени усилителя. Передаточная функция двигателя (Д где — коэффициент передачи двигателя по скорости, а Тм — электромеханическая постоянная времени двигателя совместно с оконечным каскадом усилителя. Передаточная функция редуктора (Р) равна его коэффициенту передачи, определяемому передаточным отношением Так как цепь регулирования состоит из включенных последовательно звеньев, то передаточная функция разомкнутой цепи будет равна произведению передаточных функций отдельных звеньев где — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи. Характеристическое уравнение 1 + W (р) = 0. После подстановки р) получаем В данном случае характеристическое уравнение имеет третий порядок. Нетрудно видеть, что условие положительности всех коэффициентов выполняется всегда, если выполнено условие К > 0, что будет при правильном согласовании направления вращения двигателя со знаком рассогласования. Дополнительное условие , накладываемое на коэффициенты характеристического уравнения, сводится при подстановке значений коэффициентов к неравенству которое и является условием устойчивости рассматриваемой системы. Из этого неравенства, в частности, можно заметить, что увеличение каждой постоянной времени сказывается отрицательно на устойчивости системы, так как при этом снижается предельное значение общего коэффициента усиления К, при котором система еще остается устойчивой. § 6.3. Критерий устойчивости Михайлова Рассмотрим отдельно левую часть характеристического уравнения (6.9), которая представляет собой характеристический полином (6.16) Подставим в этот полином чисто мнимое значение , где представляет собой угловую частоту колебаний, соответствующих чисто мнимому корню характеристического уравнения. При этом получим характеристический комплекс (6.17) где вещественная часть будет содержать четные степени со (6.18) а мнимая — нечетные степени : (6.19) Функции представляют собой модуль и фазу (аргумент) характеристического комплекса. Характеристический полином (6.16) не будет иметь корней в правой полуплоскости, если полное приращение фазы или аргумента при изменении от 0 до ∞ равно , где n — степень полинома р. Следовательно, система регулирования будет устойчивой. Если полное приращение аргумента окажется меньше , то система неустойчива. Докажем это. Если все коэффициенты заданы и задано определенное значение частоты , то величина изобразится на комплексной плоскости в виде точки с координатами X и У или в виде вектора, соединяющего эту точку с началом координат. Если же значение частоты со менять непрерывно от нуля до бесконечности, то вектор будет изменяться по величине и по направлению, описывая своим концом некоторую кривую (годограф, которая называется кривой Михайлова (рис. 6.5). Практически кривая Михайлова строится по точкам, причем задаются различные значения частоты и по формулами) вычисляются X ( ) и У ( ). Результаты расчетов сводятся в таблицу, по которой и строится затем кривая. Выясним связь между видом крж-вой Михайлова и знаками вещественных корней характеристического уравнения. Для этого определим, чему должен равняться угол поворота вектора при изменении от нуля до бесконечности. Для этого запишем характеристический полином в виде произведения сомножителей (6.20) где р, . . ., р n — корни характеристического уравнения. Характеристический вектор можно тогда представить в следующем виде (6.21) Каждая из скобок представляет собой комплексное число. Следовательно, представляет собой произведение n комплексных чисел. При перемножении аргументы комплексных чисел складываются. Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении от нуля до бесконечности будет равен сумме углов поворота отдельных сомножителей (6.21): (6.22) Определим каждое слагаемое (6.22) в отдельности. 1. Пусть какой-либо корень, например р является вещественными отрицательным, те. Сомножитель в выражении (6.21), определяемый этим корнем, будет тогда иметь вид Построим годограф этого вектора на комплексной плоскости при изменении от нуля до бесконечности (риса. При = 0 вещественная часть X = а, а мнимая У = 0. Этому соответствует точка А, лежащая на оси вещественных. При вектор будет изменяться так, что его вещественная часть будет по-прежнему равна , а мнимая часть (точка В на графике. При увеличении частоты до бесконечности конец вектора уходит в бесконечность, причем конец вектора все время остается на вертикальной прямой, проходящей через точку А, а вектор поворачивается против часовой стрелки. Результирующий угол поворота вектора. Пусть теперь корень р является вещественными положительным, те, причем . Тогда сомножитель в (6.21), определяемый этим корнем, будет иметь вид . Аналогичные построения (рис. 6.6, б) показывают, что результирующий угол поворота будет . Знак минус показывает, что вектор поворачивается почасовой стрелке. 3. Пусть два корня, например р и p 3 представляют собой комплексные сопряженные величины с отрицательной вещественной частью, тер. Сомножители в выражении (6.21), определяемые этими корнями, будут иметь вид При = 0 начальные положения двух векторов определяются точками Аи А (риса. Первый вектор повернут относительно оси вещественных почасовой стрелке на угол , второй вектор — на тот же угол против часовой стрелки. При увеличении от нуля до бесконечности концы обоих векторов уходят кверху в бесконечность и оба вектора в пределе сливаются с осью мнимых. Результирующий угол поворота первого вектора . Результирующий угол поворота второго вектора . Вектор, соответствующий произведению , повернется на угол 4. Пусть те же комплексные корни имеют положительную вещественную часть, те. . Проводя построения, аналогичные предыдущим (рис. 6.7, б, можно получить, что результирующий угол поворота вектора, соответствующего произведению двух сомножителей, будет Таким образом, если характеристическое уравнение будет иметь I корней с положительной вещественной частью, то, каковы бы ни были эти корни (вещественные или комплексные, им будет соответствовать сумма угловповоротов, равная . Всем же остальным n — l корням характеристического уравнения, имеющим отрицательные вещественные части, будет соответствовать сумма углов поворотов, равная (n — l) . В результате общий угол поворота вектора при изменении со от нуля до бесконечности, согласно формуле (6.22), будет (6.23) Этим выражением и определяется искомая связь между формой кривой Михайлова и знаками вещественных частей корней характеристического уравнения. В 1936 году А. В. Михайловым был сформулирован следующий критерий устойчивости для линейных систем любого порядка. Для устойчивости системы го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор , описывающий кривую Михайлова, при изменении от нуля до бесконечности имел угол поворота Эта формулировка непосредственно вытекает из (6.23). Для устойчивости системы необходимо, чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, те. должно быть l=0. Отсюда определяется требуемый результирующий угол поворота вектора. Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения п рис. 6.8). Число квадрантов, большее чем n, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость системы всегда связана стем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньшим чем (рис. 6.9). Сказанное выше позволяет сформулировать критерий Михайлова в несколько измененном виде. Для устойчивой системы кривая Михайлова проходит последовательно п квадрантов. Поэтому корни уравнений X ( ) = = 0 и У ( ) = 0 должны чередоваться. Так как кривая Михайлова всегда начинается сточки, расположенной на оси вещественных рис. 6.8), где мнимая часть обращается в нуль У ( 1 ) = У (0) = 0, то при постепенном увеличении частоты от нуля до бесконечности должна обратиться в нуль сначала вещественная часть X ( 2 ) — 0? затем мнимая У ( 3 ) = 0, затем опять вещественная X( 4 ) = 0 и т. д, причем 0 = < 2 < 3 < 4 < . . . . ... < n. По кривой Михайлова можно судить о том, сколько корней с положительными вещественными частями содержит характеристическое уравнение данной неустойчивой системы. Для нахождения искомого числа l должна использоваться зависимость (6.23). Если известны результирующий угол поворота вектора и степень характеристического уравнения n, тов уравнении (6.23) неизвестным будет только l. При подсчете результирующего угла поворота следует иметь ввиду, что при четной степени уравнения кривая Михайлова стремится к бесконечности параллельно оси X и при нечетной степени — параллельно оси У. Это видно из выражений (6.18) итак как при четной степени наивысшая степень будет стоять в выражении X, а. при нечетной — в выражении У. Так, например, для кривой, показанной на рис. 6.9 и соответствующей n = 3, результирующий угол поворота Отсюда имеем и число корней в правой полуплоскости l = 2. Наличие границы устойчивости всех трех типов может быть определено по 'кривой Михайлова следующим образом. В случае границы устойчивости первого типа (нулевой корень) отсутствует свободный член характеристического полинома аи кривая Михайлова идет изначала координат (риса. При границе устойчивости второго типа (колебательная граница устойчивости) левая часть характеристического уравнения, те. характеристический полином, обращается в нуль при подстановке : (6.24) откуда вытекают два равенства (6.25) Это значит, что точка на кривой Михайлова попадает в начало координат рис. 6.10, б. При этом величина есть частота незатухающих колебаний системы. Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, как показано на рис. 6.10, в. При этом коэффициента полинома (6.16) будет проходить через нулевое значение, меняя знак плюс на минус. Необходимо помнить, что все остальные корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части. Графически это выражается в том, что в первых двух случаях после малой деформации кривой Михайлова около начала координат (риса в третьем случае при малом a 0 > 0 кривая Михайлова должна удовлетворять критерию устойчивости. Применим критерий Михайлова для определения устойчивости рассмотренной в предыдущем параграфе следящей системы (рис. 6.4). Из полученного характеристического уравнения определяем характеристический полином и характеристический комплекс Вещественная и мнимая части Примерный вид кривой Михайлова для этого случая изображен на рис. 6.11. Найдем условие устойчивости из требования чередования корней Корень 2 находится из уравнения X ( ) = 0: Отсюда имеем первое условие устойчивости К >0. Корень 3 находится из уравнения У ( ) = 0: Подставляя эти значения в требуемое условие, получаем второе условие устойчивости системы которое, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица. § 6.4. Построение областей устойчивости. разбиение При расчете и проектировании системы автоматического регулирования иногда бывает необходимым исследовать влияние ее различных параметров на устойчивость. Для решения этой задачи служит построение областей устойчивости, те. определение таких областей значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построение областей устойчивости в плоскости одного параметра ив плоскости двух параметров. Ниже будет рассматриваться только построение областей устойчивости в плоскости двух параметров. Для построения таких областей на плоскости двух параметров Аи В необходимо нанести линии, соответствующие границе устойчивости. Тогда область, ограниченная этими линиями, будет представлять собой область устойчивости. Для того чтобы окончательно убедиться в этом, необходимо для любой точки, лежащей внутри полученной области, по какому-либо критерию проверить устойчивость. Если устойчивость для этой точки будет иметь место, то она будет выполняться и для всех других точек, лежащих в этой области. Для построения границ области устойчивости используются все три признака существующих типов границы устойчивости. Для границы устойчивости первого типа это будет равенство а n = 0. Для границы устойчивости третьего типа — равенство а 0. Для получения условия, соответствующего границе устойчивости второго типа колебательной, можно использовать различные критерии устойчивости. Для систем, описываемых уравнением не выше четвертого порядка, может применяться критерий Гурвица. В этом случае колебательной границе устойчивости соответствует равенство нулю предпоследнего определителя Гурвица: Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий Михайлова. Колебательной границе устойчивости в этом случае соответствует равенство нулю характеристического комплекса , те. прохождение кривой Михайлова через начало координат. Предположим, что два рассматриваемых параметра системы регулирования Аи В входят линейно в характеристический комплекс. Тогда для границы устойчивости колебательного типа уравнение распадается на два уравнения (6.26) Здесь величина ю дает значение чисто мнимого корня, те. частоту гармонических колебаний системы. Два последних выражения представляют собой параметрические уравнения границы устойчивости при соблюдении дополнительного условия отрицательности вещественных частей всех остальных корней, кроме чисто мнимых. Полная же совокупность всех кривых на плоскости параметров, разбивающая всю плоскость на области с определенным распределением корней, называется разбиением плоскости параметров. Обычно практическое значение имеет лишь часть кривых разбиения, соответствующая границе устойчивости. Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по правилу, которое будет приведено без доказательства. Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения со, надо штриховать ее с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных (6.26): (6.27) Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В — по оси ординат вверх. В качестве иллюстрации рассмотрим следящую систему, схема которой изображена на рис. 6.4. Для этой системы было получено характеристическое уравнение Предположим, что электромеханическая постоянная времени двигателя Тм является заданной величиной и требуется построить область устойчивости в плоскости двух параметров общего коэффициента усиления К и постоянной времени усилителя Ту. Характеристический комплекс Уравнения, определяющие границу устойчивости, Решая их совместно относительно параметров К и у, получим Задаваясь затем различными значениями ω в пределах от нуля до бесконечности, по этим формулам можно вычислить значения искомых параметров и составить табл. 6.1, одинаковую для положительных и отрицательных частот. По полученным данным строим кривую разбиения (рис. 6.12). Кривая имеет гиперболический вид с асимптотами при ω = 0 и Ту =0, при Для нанесения штриховки найдем знак определителя (6.27). Необходимые для этого частные производные будут при А = К и В = у Определитель получается равным Для отрицательных частот, т. в. при изменении частоты в пределах от дополученный определитель будет положительным. Поэтому при движении по полученной кривой снизу вверх (от до 0) необходимо штриховать область, лежащую слева от кривой. Для положительных частот, те. при изменении частоты в пределах от 0 дополученный определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой сверху вниз (от 0 до ) необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой. Снизу полученной кривой получится двойная штриховка. Область устойчивости практически уже сформировалась. Так как параметры К и Ту должны быть положительными, область устойчивости будет ограничиваться полученной кривой и положительными направлениями осей К и у. Это можно показать и на основе использования двух оставшихся условий устойчивости. Граница устойчивости первого типа будет получена, если приравнять нулю свободный члена, что дает условие К = 0. Это условие выполняется на оси ординат. Граница устойчивости третьего типа получается при а = 0, что дает условие Ту = 0. Это условие выполняется на оси абсцисс. Таким образом, область устойчивости в плоскости параметров К и Ту получена окончательно. Для любых значений К и у можно сразу ответить, устойчива или неустойчива система, смотря потому, попадает или не попадает точка, определяемая этими значениями параметров, в область устойчивости. § 6.5. Критерий устойчивости Найквиста В главе 5 было введено понятие передаточной функции разомкнутой системы. Эта функция может быть представлена в виде (6.28) причем степень числителя не может быть выше степени знаменателя, . При подстановке получается частотная передаточная функция разомкнутой системы (6.29) Частотная передаточная функция разомкнутой системы представляет собой комплексное число. На основании рассмотренных в главе 4 частотных характеристик смысл ее можно объяснить следующим образом (рис. 6.13). Представим себе систему регулирования в разомкнутом состоянии в виде некоторого звена с передаточной функцией р. Если на вход этого звена подавать сигнал ошибки в виде гармонических колебаний с амплитудой ахи частотой ω, тов установившемся режиме на выходе регулируемая величина будет изменяться также по гармоническому закону с амплитудой У mах той же частотой сои фазовым сдвигом . Модуль частотной передаточной функции представляет собой отношение амплитуд выходной и входной величина аргумент — сдвиг фаз . Если изменять частоту входного воздействия от и откладывать на комплексной плоскости точки, соответствующие получающимся комплексным числам, то геометрическое место этих точек образует амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы (рис. 6.14). Ветвь этой характеристики, соответствующая отрицательным частотам, является зеркальным отражением ветви, соответствующей положительным частотам, относительно вещественной оси. На амплитудно-фазовой характеристике для удобства могут отмечаться точки, соответствующие определенным частотам, например ω1, ω 2, ω3 и т.д. Вдоль кривой иногда рисуют стрелки, которые показывают направление возрастания частоты ω (рис. 6.14). В реальных системах всегда удовлетворяется условие m < n. Поэтому при частоте, стремящейся к бесконечности, модуль частотной передаточной функции стремится к нулю и точка с частотой попадает в начало координат. Сформулируем достаточные и необходимые требования к амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, при выполнении которых система автоматического регулирования в замкнутом состоянии будет устойчивой. Ограничим вначале задачу и будем рассматривать только такие передаточные функции (6.28), которые соответствуют статическим системам. Это значит, что знаменатель (6.28) не будет иметь в качестве множителя оператор р. Кроме того, будем пока рассматривать только устойчивые в разомкнутом состоянии системы. Это значит, что полюсы выражения (6.28), те. корни уравнения (6.30) лежат в левой полуплоскости. Введем в рассмотрение вспомогательную функцию (6.31) где числитель (6.32) представляет собой характеристический полином системы. Сделаем подстановку и найдем комплекс (6.33) Будем теперь изменять частоту от и изобразим получившуюся амплитудно-фазовую характеристику на комплексной плоскости (риса. Рассмотрим результирующий угол поворота вектора при изменении частоты от . Этот угол представляет собой изменение аргумента (6.33), который по правилу деления комплексных чисел равен разности аргументов числителя и знаменателя : Числитель (6.33) представляет собой характеристический комплекс. Если все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, то при изменении частоты от аргумент изменится на величину , где n — степень характеристического полинома. При построении кривой Михайлова результирующий угол поворота был равен, нотам частота изменялась от 0 до Знаменатель (6.33) представляет собой комплекс той же степени n, причем по предположению все корни (6.30) лежат в левой полуплоскости. Поэтому результирующий угол поворота вектора при изменении частоты отбудет равен Отсюда следует, что в рассматриваемом случае результирующий угол поворота вектора будет равен нулю . Это означает, что для устойчивой в замкнутом состоянии системы годограф вектора не должен охватывать начала координат (риса. Частотная передаточная функция отличается от вспомогательной функции на единицу. Поэтому можно строить амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы по выражению (6.29), что проще. Нов этом случае амплитудно- фазовая характеристика не должна охватывать точку с координатами (— 1, j0). Это является достаточными необходимым условием того, чтобы система была устойчивой в замкнутом состоянии (рис. 6.15, б. При определении устойчивости достаточно построить амплитудно-фазовую характеристику только для положительных частот, так как ее ветвь, соответствующая отрицательным частотам, может^быть легко получена зеркальным отображением относительно оси вещественных. На риса изображен случай так называемой абсолютно устойчивой системы. Этот термин означает, что система остается устойчивой при любом уменьшении коэффициента усиления разомкнутой цепи. Напомним, что передаточная функция разомкнутой статической системы может быть представлена в виде Нетрудно видеть, что уменьшение общего коэффициента усиления К приводит к уменьшению модуля (6.29), а это в случае, изображенном на риса, не может привести к охвату годографом точки (—1, j0). На рис. 6.16, б изображен случай так называемой условно устойчивой системы. Здесь система будет устойчивой при значении общего коэффициента усиления, лежащем в некоторых пределах. Как увеличение, таки уменьшение общего коэффициента усиления К может привести к охвату годографом точки (—1, j0), что будет соответствовать неустойчивости системы в замкнутом состоянии. На рис. 6.16, в изображен случай, когда система находится на границе устойчивости. Граница устойчивости будет колебательного типа. Это вытекает из того, что при некоторой частоте, при которой годограф пересекает точку (—1, О, имеет место равенство , что может быть записано в виде Последнее выражение представляет собой характеристическое уравнение, которое обращается в нуль при подстановке . Таким образом, чисто мнимый корень является решением характеристического уравнения. На рис. 6.16, г изображен случай неустойчивой системы. Обратимся теперь к передаточной функции разомкнутой системы, соответствующей астатизму первого порядка. В этом случае передаточная функция может быть изображена в виде Будем предполагать, что все корни знаменателя передаточной функции (кроме нулевого корня р = 0) лежат в левой полуплоскости, те. в разомкнутом состоянии система является нейтрально устойчивой. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке В этой точке модуль , а фаза делает скачок на 180°. Для получения определенности входе амплитудно-фазовой характеристики необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции Т (р) либо клевой, либо к правой полуплоскости корней (рис. 6.3). Первое является более удобным, так как при этом все корни знаменателя Т (р) будут расположены в левой полуплоскости. Для выполнения сказанного поступают следующим образом. При изменении частоты от происходит движение на плоскости корней вдоль оси мнимых снизу вверх (рис. 6.17). Вначале координат расположен нулевой корень. Обойдем этот корень по полуокружности бесконечно малого радиуса так, чтобы корень остался слева. При движении по этой полуокружности против часовой стрелки независимая переменная р меняется по закону где представляет собой радиус полуокружности, а — аргумент, меняющийся от . При этом передаточная функция Т (р) может быть представлена в виде где , а аргумент ( ) меняется в пределах от Таким образом, вовремя движения по полуокружности бесконечно малого радиуса передаточная функция может быть представлена в виде вектора бесконечно большой длины, поворачивающегося на комплексной плоскости почасовой стрелке на угол, равный , что соответствует полуокружности бесконечно большого радиуса. На рис. 6.18 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы с астатизмом первого порядка. Характеристика начинается вначале координат при и затем уходит в бесконечность при (верхняя ветвь. Далее характеристика дополняется полуокружностью бесконечно большого радиуса так, чтобы вектор повернулся почасовой стрелке на угол . Нижняя ветвь характеристики соответствует изменению частоты от 0 до Нетрудно видеть, что характеристика не охватывает точку (—1, j0), и система в замкнутом состоянии будет устойчивой. Амплитудно-фазовые характеристики для условно устойчивой системы, для случая колебательной границы устойчивости и случая неустойчивой системы будут похожими на изображенные на рис. 6.16, б, в и г кривые, затем исключением, что при характеристика будет уходить в бесконечность в соответствии с нижней ветвью характеристики, изображенной на рис. 6.18. Аналогичными рассуждениями можно показать, что для системы с астатизмом второго порядка, имеющей передаточную функцию вида при обходе двойного нулевого корня вначале координат (см. рис. 6.17) передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена вектором бесконечно большой длины, поворачивающимся почасовой стрелке на угол На рис. 6.19 изображена амплитудно-фазовая характеристика абсолютно устойчивой системы при наличии астатизма второго порядка. Также как и ранее, здесь можно получить условную устойчивость (рис. 6.19), колебательную границу устойчивости, если характеристика пройдет через точку (— 1, j0), и неустойчивость, если характеристика будет охватывать точку (—1, j0). Обобщая проведенные рассуждения, получаем, что для определения устойчивости системы с астатизмом любого порядка достаточно построить только одну ветвь амплитудно-фазовой характеристики, соответствующую положительным частотам, которая должна быть дополнена окружностью бесконечно большого радиуса. При этом для устойчивой в замкнутом состоянии системы эта ветвь вместе счастью окружности, заключенной между положительной полуосью вещественных и амплитудно-фазовой характеристикой, соответствующей положительным частотам, не должна охватывать точку (—1, j0) в соответствии с рис. 6.20. Из рис. 6.20 следует, что абсолютная устойчивость может быть получена при степени астатизма . При большей степени астатизма может быть получена только условная устойчивость. Обратимся теперь к более общему случаю, когда знаменатель передаточной функции разомкнутой системы с любой степенью астатизма содержит корни, лежащие в правой полуплоскости. Это соответствует неустойчивой в разомкнутом состоянии системе. Появление неустойчивости разомкнутой системы может вызываться двумя причинами. Во-первых, это может быть следствием наличия неустойчивых звеньев, подобных рассмотренным в § 4.8. Во-вторых, это может быть следствием потери устойчивости звеньев, охваченных положительными или отрицательными обратными связями (см, например, рис. 5.5). Наличие неустойчивости системы в разомкнутом состоянии не означает, что система будет неустойчивой в замкнутом состоянии. Она может быть как устойчивой, таки неустойчивой. Однако формулировка критерия устойчивости Найквиста при этом несколько меняется. Пусть знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (6.28) содержит l корней в правой полуплоскости и n-l корней — в левой. Тогда при изменении частоты от Для устойчивой в замкнутом состоянии системы результирующий угол поворота годографа вектора относительно точки ( — 1, j0) должен составить те. амплитудно-фазовая характеристика должна охватить точку ( — 1, j0) столько раз, сколько корней в правой полуплоскости содержит знаменатель передаточной функции разомкнутой системы. При этом необходимо, чтобы при изменении частоты от конец вектора поворачивался вокруг точки ( — 1, j0) на угол против часовой стрелки. Нетрудно видеть, что формулировка критерия Найквиста для случая, когда l = 0, вытекает отсюда как частный случай. Таким образом, при использовании критерия Найквиста, вообще говоря, необходимо убедиться в том, имеются ли в знаменателе передаточной функции разомкнутой системы корни, лежащие в правой полуплоскости, и сколько имеется таких корней. Если в системе имеются местные обратные связи, например, такого типа, как это изображено на рис. 5.7, то необходимо убедиться в том, что по цепи местной обратной связи не нарушена устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости по цепи местной обратной связи может быть сделана посредством использования любых критериев устойчивости, в том числе и посредством критерия Найквиста, который может применяться для разомкнутой местной обратной связи обычным путем построения для этой цели амплитудно-фазовой характеристики. В случае, если для местной обратной связи будет получено указание на ее неустойчивость, необходимо определить число корней, лежащих в правой полуплоскости. Следует заметить, что, хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай является нежелательными его надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. Это объясняется наличием некоторых нежелательных свойств, в частности появлением условной устойчивости, которая при имеющихся обычно в системе нелинейностях может в некоторых режимах привести к потере устойчивости и появлению автоколебаний. Поэтому, как правило, при расчете системы выбирают такие местные обратные связи, которые были бы устойчивыми при разомкнутой главной обратной связи. Знаменатель передаточной функции разомкнутой системы (6.28) может иметь чисто мнимые корни. Пусть, например, имеется один нулевой корень p 1 = 0, пара мнимых корней , а все остальные корни знаменателя Q (р) лежат в левой полуплоскости (рис. 6.21). Передаточную функцию разомкнутой системы в этом случае можно представить в виде Для устранения неопределенности при изменении частоты от можно использовать изложенный выше прием и отнести три корня, лежащих на мнимой оси, клевой полуплоскости, обойдя их справа по полуокружностям бесконечно малого радиуса. В этом случае на частотах модуль будет стремиться к бесконечности, а аргумент р) при прохождении этих частот должен претерпевать приращение —180°, те. разрывы а. ф. х. должны дополняться полуокружностью бесконечного радиуса в направлении почасовой стрелке. Это изображено на рис. 6.22. На риса показана а. ф. х. разомкнутой системы, устойчивой в замкнутом состоянии. А. ф. х. построена только для положительных частот. При частоте а. ф. х. уходит в бесконечность, асимптотически приближаясь к прямой, составляющей с осью вещественных угол, равный Далее а. ф. х. дополнена полуокружностью бесконечного радиуса, и при β > |