Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975. Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П.. 3 Примеры непрерывных автоматических систем

• Название: 3 Примеры непрерывных автоматических систем
• Анкор: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975.pdf
• Дата: 24.04.2017
• Размер: 25.93 Mb.
• Имя файла: Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П..pdf
• Тип: Документы; #2232
• страница: 6 из 57

§ 3.1. Линеаризация уравнений При составлении дифференциальных уравнений динамики любой автоматической системы последнюю разбивают на отдельные звенья и записывают уравнение каждого звена в отдельности. Уравнения всех звеньев образуют единую систему, которую можно преобразовать к одному уравнению путем исключения промежуточных переменных. Уравнение звена должно быть составлено так, чтобы оно выражало зависимость (в динамическом процессе) между теми величинами, которые в схеме исследуемой системы указаны на выходе и входе данного звена, те. между величинами, представляющими воздействие данного звена на последующее по схеме звено и воздействие предыдущего звена на данное. Динамическое уравнение отдельного звена составляется по правилам соответствующей технической науки (звено может представлять собой тепловой двигатель, электрическую машину, механическую передачу, электрическую цепь, ламповую схему и т. п. Звено может иметь иногда не одну входную величину, а несколько (например, при наличии дополнительных обратных связей. Кроме входной и выходной величин звена, которые выражают собой внутренние связи между звеньями данной системы, может учитываться также внешнее воздействие. Пусть, например, звено (риса) какой-нибудь автоматической системы имеет входные величины х, х, выходную — хи внешнее воздействие f, а динамическое уравнение звена имеет произвольный нелинейный вид
)
,
(
)
,
,
,
,
,
,
(
3 3
3 3
2 2
1
f
f
x
x
x
x
x
x
x
F
ϕ
=
(3.1) для примера взят определенный порядок входящих в уравнение производных х, х, f; вообще же здесь могут быть любые другие варианты. Допустим, что установившийся процесс в системе имеет место при некоторых постоянных значениях
0 1
1
x
x
=
,
0 2
2
x
x
=
,
0 3
3
x
x
=
,
0
f
f
=
. Тогда уравнение установившегося состояния для данного звена согласно (3.1) будет
)
0
,
(
)
0
,
0
,
0
,
,
0
,
,
(
0 0
3 0
2 0
1
f
x
x
x
F
ϕ
=
(3.2). В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные (в данном случае х, x
2
, х) изменяются так, что их отклонения от установившихся значений (х, х, x
30
) остаются все время достаточно малыми (рис. 3.1, б.

Обозначим указанные отклонения через
1
x
∆
,
2
x
∆
,
3
x
∆ . Тогда в динамическом процессе
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
∆
=
∆
=
∆
=
∆
+
=
∆
=
∆
+
=
∆
+
=
,
,
,
,
)
(
,
,
)
(
,
)
(
3 3
3 3
3 3
3 0
3 3
2 2
2 0
2 2
1 0
1 1
x
x
x
x
x
x
x
x
t
x
x
x
x
x
t
x
x
x
t
x
(3.3} Условие достаточной малости динамических отклонений переменных от некоторых установившихся значений для системы автоматического регулирование и следящих систем обычно выполняется. Этого требует сама идея работы замкнутой автоматической системы. Внешнее же воздействие f не зависит от работы автоматической системы, изменение его может быть произвольными поэтому правая часть уравнения (3.1) обычно линеаризации не подлежит (в отдельных случаях иона может быть линеаризована. Первый способ линеаризации Разложим функцию F, стоящую в левой части уравнения (3.1), вряд по степеням указанных выше малых отклонений, рассматривая все производные тоже как самостоятельные переменные. Тогда уравнение (3.1) примет вид
)
,
(
малости)
порядка высшего
(ччлен
)
0
,
0
,
0
,
,
0
,
,
(
0 3
0 3
3 0
3 3
0 3
3 0
3 2
0 2
2 0
2 1
0 1
0 3
0 2
0 1
f
f
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
x
F
ϕ
=
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
(3.4) где через
0 для краткости обозначена величина
1
dx
dF
, взятая прите. сперва берется в общем виде частная производная от функции F по х, после чего в нее вместо всех переменных подставляются их постоянные значения
0
...,
,
0
,
,
0 3
0 2
0 1
x
x
x
). Следовательно, все частные производные в полученном уравнении (3.4) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты. Они будут переменными во времени, если функция F содержит t в явном виде или если установившийся процесс в системе определяется переменными значениями
)
(
0 1
t
x
, )
(
0 2
t
x
, )
(
0 Члены высшего порядка малости, указанные в уравнении (3.4), состоят из произведений и степеней малых отклонений,
2
x
∆
, ... с коэффициентами в виде смешанных частных производных и частных производных второго и высших порядков от функции F по всем переменным. Вычтя из уравнения (3.4) почленно уравнение установившегося состояния (3.2) и отбросив члены высшего порядка малости, получим искомое линеаризованное уравнение динамики данного звена в виде
)
0
,
(
)
,
(
0 3
0 3
3 0
3 3
0 3
3 0
3 2
0 2
2 0
2 1
0 1
f
f
f
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
x
x
F
ϕ
ϕ
−
=
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
(3.5) Это дифференциальное уравнение, также как и (3.1), описывает тот же динамический процесс в том же звене автоматической системы. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем
1) это уравнение является более приближенным, ибо в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка

2) неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины х, х, ха их отклонения
1
x
∆
,
2
x
∆
,
3
x
∆ от некоторых установившихся значений
0 1
x ,
0 2
x
,
0 3
x ,
3) полученное уравнение является линейным относительно отклонений
1
x
∆
,
2
x
∆
,
2
x
∆
,
3
x
∆ , …
3
x
∆ , с постоянными коэффициентами
,
2 1
x
F
x
F
∂
∂
∂
∂
(или с переменными коэффициентами, если F содержит t в явном процесс определяется переменными виде, а также величинами
)
(
0 1
t
x
, )
(
0 2
t
x
,
)
(
0 3
t
x
(например в программном регулировании. Таким образом, цель получения линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного достигнута. Уравнение (3.5) называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Проделав тоже самое для всех звеньев системы, получим в результате линеаризованные уравнения процесса регулирования в отклонениях как называют еще, уравнения в вариациях. В дальнейшем можно будет проводить линеаризацию нелинейных уравнений непосредственно по аналогии с формулой (3.5), не производя предварительных выкладок. Приведем геометрическую трактовку этого способа линеаризации. Изобразим графически зависимость F от х при постоянных значениях всех остальных переменных
0 2
2
x
x
=
,
0 2
2
x
x
=
,
0 3
3
x
x
=
,
0 3
3 Пусть эта зависимость имеет вид кривой, представленной на риса. Отметим значение
0 и проведем в точке С касательную. Тогда
tga
x
F
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
0 1
, (3.6) где
a
— угол наклона касательной в точке С 1
x
,F
0
), для которой
0 1
1
x
x
=
)
0
,
0
,
0
,
,
0
,
,
(
0 3
0 2
0 1
0
x
x
x
F
F
F
=
=
(3.7) Заменах и сокращение члена (3.7), производившиеся раньше аналитически, здесь эквивалентны переносу начала координат в точку С (риса, в результате чего получается график рис. 3.2, б. Первый член линейного уравнения (3.5) согласно (3.6) означает, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена первоначальной кривой СВ на касательную к ней прямую С. Из графика рис. 3.2, б очевидно, что эта замена тем точнее, чем меньшие величины отклонения
1
x
∆
возникают в исследуемом динамическом процессе (основная предпосылка для линеаризации границы отклонений
1
x
∆
, для которых допустима линеаризация, тем шире, чем ближе кривая СВ к прямой С.

Последним обстоятельством и определяются практически в каждой задаче те границы, внутри которых отклонения можно считать достаточно малыми. В ряде задач отличие от линейности, показанное на рис. 3.2, б, бывает столь незначительным, что даже в сравнительно большом диапазоне отклонений
1
x
∆
можно считать систему линейной. В случае же ярко выраженной нелинейной зависимости линеаризация будет справедлива лишь на соответствующем более узком участке отклонений
1
x
∆
. Линеаризация может быть совершенно недопустимой при скачкообразных зависимостях (релейные характеристики, сухое трение. Такого рода зависимости называются существенно нелинейными. Важно отметить следующее. Если по указанным причинам не может быть подвергнуто линеаризации уравнение только одного звена системы или даже только часть функции F для данного звена, то производят линеаризацию всех остальных нелинейных зависимостей, оставляя только одну или несколько существенно нелинейных. Второй способ линеаризации. Из приведенной геометрической иллюстрации вытекает другой способ линеаризации уравнений системы автоматического регулирования, который весьма часто применяется на практике. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствующей точке кривой. Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными. В последующих главах разделов II и III будут использоваться линеаризованные уравнения динамических звеньев. Однако для упрощения записи значок
∆ перед переменными
)
(
1
t
x
, )
(
2
t
x
,
)
(
3
t
x
и т. д. будет опускаться в предположении, что эти переменные представляют собой малые отклонения от некоторого установившегося состояния и линеаризация уравнений уже проделана.
§ 3.2. О записи линеаризованных уравнений звеньев В теории автоматического регулирования в настоящее время принято записывать дифференциальные уравнения звеньев в двух стандартных формах. Первая форма записи. Дифференциальные уравнения записываются так, чтобы выходная величина и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены — в правой части. Кроме того, принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом единица. Чтобы привести линеаризованное уравнение (3.5) к такому виду, введем обозначения
).
0
,
(
)
,
(
)
(
,
,
,
,
1
,
,
,
0 1
0 3
0 3
3 3
0 3
0 3
2 2
0 3
0 3
1 0
3 1
0 3
0 2
1 0
3 0
2 2
0 3
0 1
1
f
f
f
t
f
x
F
x
F
T
x
F
x
F
T
x
F
x
F
T
x
F
k
x
F
x
F
k
x
F
x
F
k
x
F
x
F
k
ϕ
ϕ
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
÷
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
(3.8) Тогда уравнение (3.5) примет вид
)
(
1 4
2 3
2 2
1 1
3 3
1 3
2 2
3 3
3
t
f
k
x
k
x
k
x
k
x
x
T
x
T
x
T
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
+
∆
+
∆
+
∆
. (3.9) В случае, если нелинейная функция F не содержит величины ха содержит только ее производные, те. если

0 0
3
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
F
, в формулах (3.8) необходимо заменить
0 на
0 3
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
x
F
. В результате получится уравнение
)
(
1 4
2 3
2 2
1 1
3 3
1 3
2 2
t
f
k
x
k
x
k
x
k
x
x
T
x
T
+
∆
+
∆
+
∆
=
∆
+
∆
+
∆
(3.10) где
,
0 3
0 3
2 2
0 3
0 Уравнения (3.9) и (3.10) удобнее записывать в символической форме, введя алгебраизированный оператор дифференцирования
dt
d
p
=
. Тогда уравнение (3.9) примет вида уравнение (3.10) -
)
(
)
(
)
1
(
1 4
2 3
2 1
1 3
1 2
2 2
t
f
k
x
p
k
k
x
k
x
p
T
p
T
+
∆
+
+
∆
=
∆
+
+
. (3.12) Эти записи надо рассматривать только как сокращенную форму более полных записей (3.9) и (3.10). Стандартные формы записи уравнений звеньев автоматических систем (3.9) и (3.10) или их сокращенные виды (3.11) и (3.12) можно использовать как для размерных отклонений реальных величин на входе и выходе звена, таки для любых безразмерных относительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. При записи уравнений в стандартной форме коэффициенты k
1
, k
2
, k
3
, k
4
называются коэффициентами передачи, а Т, Т, Т — постоянными времени данного звена. В случае звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, для коэффициентов передачи используются также следующие термины
1) коэффициент усиления — для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель
2) передаточное число — для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. д.

Термин коэффициент передачи можно пояснить следующим образом. Если подать на вход звена только постоянное значение
0 1
x
∆ (рис. 3.3, б) и найти установившееся значение выходной величины
0 3
x
∆ (рис. 3.3, в, то из (3.9) получим 1
1 0
3
x
k
x
∆
=
∆
. Таким образом, коэффициент k
1
показывает отношение выходной величины звена к входной в установившемся режиме. Следовательно, коэффициент передачи определяет собой наклон (с учетом масштабов по осям) линейной статической характеристики звена (риса. Заметим, что нелинейную характеристику звена часто называют характеристикой с переменным по входной величине коэффициентом передачи. Из (3.9) очевидно, что
1 3
1
х
величины
ь входной
размерност
х
ввеличин
ь выходной
размерност
k
ь
размерност
∆
∆
=
В размерность коэффициента передачи может входить также время t. Так, из уравнения (3.9) следует, что
2 3
3
х
ь размерность t
размерност
х
ь
размерност
k
ь
размерност
∆
×
∆
=
а из уравнения (3.10) следует, что для такого звена ь t
размерност
х
ь
размерност
х
ь
размерност
k
ь
размерност
×
∆
∆
=
1 Постоянные времени T
1
T
2
и Т, как следует из уравнений (3.9) и (имеют размерность времени. Вторая форма записи Считая условно оператор дифференцирования
dt
d
p
=
алгебраической величиной, решим уравнение (3.11) относительно выходной величины
1
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
3 3
3 2
2 2
1 1
4 3
3 3
2 2
2 1
2 3
2 3
3 3
2 2
2 1
1 1
3
p
T
p
T
p
T
t
f
k
p
T
p
T
p
T
t
x
p
k
k
p
T
p
T
p
T
t
x
k
x
+
+
+
+
+
+
+
∆
+
+
+
+
+
∆
=
∆
(3.13) Выражения
3.16 1
)
(
3.15
,
1
)
(
3.14
,
1
)
(
3 3
3 2
2 2
1 4
3 3
3 3
2 2
2 1
3 2
2 3
3 3
2 2
2 1
1 называются в теории регулирования передаточными функциями. Уравнение (3.13) можно представить в виде
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
2 1
1 3
t
f
p
W
t
x
p
W
t
x
p
W
x
f
∆
+
∆
+
∆
=
∆
(3.17) Выражения (3.13) и (3.17) представляют собой символическую запись дифференциального уравнения (3.9). Передаточные функции, формулы для которых устанавливаются выражениями (3.14)
— (3.16), вводятся для сокращения записи дифференциальных уравнений и также представляют собой символическую запись дифференциальных уравнений. Более строго передаточная функция определяется через изображения Лапласа или
Карсона — Хевисайда (см. главу 7). Если ввести изображения, например по Лапласу, входных и выходных величин звена
[
]
[
]
[
]
[
]
,
)
(
)
(
F
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
1 1
3 3
2 2
1 1
t
f
L
s
t
x
L
s
X
t
x
L
s
X
t
x
L
s
X
=
∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆

где s = с + jw — комплексная величина, то передаточную функцию (3.14) можно строго определить как отношение изображений выходной и входной величин звена
,
1
)
(
)
(
)
(
3 3
3 2
2 2
1 1
1 3
1
s
T
s
T
s
T
k
s
X
s
X
s
W
+
+
+
=
∆
∆
=
(3.18) при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях на звено
0
)
(
2
=
∆
s
X
,
0
)
(
1
=
s
F
. Аналогичным образом можно определить передаточные функции
(3.15) и (3.16). Поэтому вместо дифференциального уравнения (3.17), куда входят функции, времени
)
(
1
t
x
∆
,
)
(
2
t
x
∆
,
)
(
3
t
x
∆
, можно написать при нулевых начальных условиях уравнение для изображений в виде, совпадающем по форме с (3.17):
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
2 1
1 3
s
F
s
W
s
X
s
W
s
X
s
W
s
X
f
∆
+
∆
+
∆
=
∆
(3.19) или в развернутом виде
1
)
(
1
)
(
)
(
1
)
(
)
(
3 3
3 2
2 2
1 1
4 3
3 3
2 2
2 1
2 3
2 3
3 3
2 2
2 1
1 1
3
s
T
s
T
s
T
s
F
k
s
T
s
T
s
T
t
X
s
k
k
s
T
s
T
s
T
s
X
k
s
X
+
+
+
+
+
+
+
∆
+
+
+
+
+
∆
=
∆
(3.20) В двух последних выражениях фигурируют не функции времени, а их изображения
),
(
1
s
X
∆
),
(
2
s
X
∆
),
(
3
s
X
∆
и
),
(
1
s
F
∆
где s = с + jw — комплексная величина. В изображениях Лапласа и Карсона — Хевисайда комплексная величина часто обозначается той же буквой р, что и оператор дифференцирования, причем р = с + jw. В этом случае уравнение (3.19) будет иметь вид
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
2 1
1 3
p
F
p
W
p
X
p
W
p
X
p
W
p
X
f
∆
+
∆
+
∆
=
∆
(3.21) Здесь, как ив уравнении (3.19), фигурируют изображения функций
),
(
1
p
X
∆
),
(
2
p
X
∆
),
(
3
p
X
∆
и В дальнейшем будет употребляться символ дифференцирования
dt
d
p
=
для символической записи дифференциальных уравнений, куда входят функции времени
)
(
1
t
x
,
)
(
2
t
x
и т. д, и комплексная величина р = с + jw для записи уравнений с изображениями функций времени по Лапласу или Карсону — Хевисайду
),
(
1
p
X
∆
)
(
2
p
X
∆
и т. д. Запись передаточных функций звена, в томи в другом случае сливается в одну и т. д. Однако в передаточных функциях буква р будет означать символ дифференцирования
dt
d
p
=
или комплексную величину р = св зависимости оттого, рассматриваются ли функции времени или их изображения. Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем. Так, например, звено, изображенное на рис. 3.1, после линеаризации, которая была проделана в предыдущем параграфе, можно представить в виде структурной

схемы, показанной на рис. 3.4. Передаточные функции звеньев или отдельных участков схемы позволяют легко получить общее уравнение всей системы в виде (3.13) или (3.20), а в дальнейшем в случае необходимости перейти к исходному дифференциальному уравнению вида (3.9). Подобным же образом могут быть получены передаточные функции и структурные схемы и для других дифференциальных уравнений звеньев, например для рассмотренного выше уравнения (3.10). Подробнее этот вопрос изложен в §
5.4.

ГЛАВА 4 ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
§ 4.1. Общие понятия Как уже было сказано, для расчета различных систем автоматического регулирования они обычно разбиваются на динамические звенья. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое определенным дифференциальным уравнением. В соответствии с этим классификация звеньев производится именно по виду дифференциального уравнения. Одними тем же уравнением могут описываться весьма разнообразные устройства (механические, гидравлические, электрические и т. д. Для теории автоматического регулирования это будет один и тот же тип звена. Конкретные же элементы автоматических систем, их теория, конструкция и расчеты излагаются в соответствующих учебниках и руководствах. Обозначим входную величину звена через ха выходную через х (рис. 4.1). Возмущение, действующее на звено, в соответствии с изложенным выше обозначим f(t). Статическая характеристика любого звена может быть изображена прямой линией рис. 4.2), так как пока будут рассматриваться линейные или, точнее, линеаризованные системы. В звеньях позиционного, или статического, типа линейной зависимостью х = связаны выходная и входная величины в установившемся режиме (риса. Коэффициент пропорциональности k между выходной и входной величинами представляет собой коэффициент передачи звена. В звеньях интегрирующего типа линейной зависимостью -
1 2
kx
dt
dx =
связаны производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме (рис.
4.2,6). В этом случае для установившегося режима будет справедливым равенство
∫
=
dt
x
k
x
1 2
, откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k в этом случае также является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность сек. В звеньях дифференцирующего типа линейной зависимостью
dt
dx
k
x
1 2
=
связаны в установившемся режиме выходная величина и производная входной (рис. 4.2, в, откуда и произошло название этого типа звеньев. Коэффициент пропорциональности k; является коэффициентом передачи звена. Если входная и выходная величины имеют одинаковую размерность, то коэффициенту передачи соответствует размерность сек. Классификация звеньев, как уже отмечалось, производится по виду дифференциального уравнения или, что тоже, по виду передаточной функции звена. Предположим, что звено, изображенное на рис. 4.1, описывается дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме
)
(
3 1
2 1
1 2
2 1
2 2
2 2
2
t
f
k
dt
dx
k
x
k
x
dt
dx
T
dt
x
d
T
+
+
=
+
+

При нулевых начальных условиях, те. в том случае, если для t <0 входная и выходная величины, а также их производные тождественно равны нулю, и при отсутствии внешнего возмущения (f(t)=0) может быть найдена передаточная функция звена как отношение изображений по Лапласу (или Карсону) выходной и входной величин
2 2
2 1
3 1
2 2
2 1
2 1
1 2
1
)
1
(
1
)
(
)
(
)
(
p
T
p
T
p
T
k
p
T
p
T
p
k
k
p
X
p
X
p
W
+
+
+
=
+
+
+
=
=
(4.1) где k
1
— коэффициент передачи звена, T
3
=k
2
/k
1
- постоянная времени. При известной передаточной функции выходная величина (точнее ее изображение по Лапласу или по Карсону) может находиться из выражения
).
(
)
(
)
(
1 Аналогичным образом может быть найдена передаточная функция звена по возмущению, если положить при нулевых начальных условиях входное воздействие равным нулю (х 0). Тогда искомая передаточная функция будет равна отношению изображений выходной величины и внешнего возмущения
2 2
2 1
3 2
1
)
(
)
(
)
(
p
T
p
T
k
p
F
p
X
p
W
F
+
+
=
=
(4.2) В дальнейшем изложении для характеристики звена будет использоваться в основном передаточная функция, так как именно она дает связь между входной и выходной величинами, что необходимо знать при использовании того или иного звена в автоматической системе. В соответствии с этим в табл. 4.1 приведены передаточные функции десяти разновидностей так называемых типовых динамических звеньев. Под типовым звеном понимается такое звено, которое описывается дифференциальным уравнением не выше второго порядка. Характеристики типовых звеньев рассматриваются более подробно ниже. В табл. 4.1 не приводятся сведения о большой группе так называемых корректирующих звеньев, используемых для улучшения динамических качеств автоматических систем. Эти звенья будут рассмотрены в главе 10.

§ 4.2. Временные характеристики Динамические свойства звена могут быть определены по его переходной функции и функции веса Переходная функция, или переходная характеристика, h (t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равной единице (рис. 4.3). Такое входное воздействие называется ступенчатой единичной функцией и обозначается x
1
(t)=1(t), что соответствует х = 0 при t<0 и x
1
=1 при t >0. Предполагается, что единица имеет туже размерность, что и физическая величина на входе звена. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию х, выходная величина будет равна х = N1 (t). Более строго переходную функцию можно определить как отношение выходной величины звена х (t) к высоте ступенчатого скачках) на его входе, те. При этом размерность h(t) соответствует размерности передаточной функции звена.

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду сводятся мгновенное изменение нагрузки электрического генератора, мгновенное возрастание нагрузки навалу двигателя, мгновенный поворот входного валика следящей системы и т. п. Умножение какой-либо функции времени хна ступенчатую единичную функцию
1 (t) означает, что функция времени х (t) будет существовать только при t>= 0, при t < 0 она обращается в нуль. Это иллюстрируется рис. 4.4. Функции веса w(t) представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход рис. 4.5). Единичная импульсная функция, или дельта- функция, представляет собой производную от ступенчатой единичной функции
)
(
'
1
)
(
t
t
=
δ
. Дельта-функция тождественно равна нулю повсюду, кроме точки t= 0, где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта-функции заключается в том, что
∫
+∞
∞
−
= 1
)
( dt
t
δ
(4.3) те. она имеет единичную площадь. Из последнего выражения следует, что размерность единичной дельта-функции равна сек.
Дельта-функция может быть представлена как предел некоторого выражения, например Нетрудно установить связь между переходной функцией и функцией веса. Рассмотрим входное воздействие звена в виде конечного по высоте и ширине импульса с площадью N
ε = 1, прикладываемого при t = 0 (рис. 4.6). Такой импульс может быть заменен двумя ступенчатыми функциями N1 (t) и — N1 (t -
ε ), прикладываемыми ко входу звена со сдвигом во времени
ε . Тогда выходная величина звена будет равна
)]
(
)
(
[
)
(
2
ε
−
−
=
t
h
t
h
N
t
x
(4.4) Будем теперь увеличивать высоту импульса N, одновременно уменьшая его ширину
ε , но так, чтобы все время площадь импульса равнялась единице, те. Помножив и поделив правую часть равенства (4.4) на ε и перейдя к пределу, получим. функцию веса
dt
t
dh
t
h
t
h
N
t
w
)
(
)]
(
)
(
[
lim
)
(
=
−
−
=
ε
ε
ε
(4.5) Таким образом, функция веса может быть получена дифференцированием повремени переходной функции.

В случае, если на вход звена поступает неединичная импульсная функциях, на выходе звена получится х = G
ω (t). Более строго функцию веса можно определить как отношение выходной величины звена х) к площади поданного на его вход импульсах, тех. При этом размерность w(t) соответствует размерности передаточной функции звена, деленной на время. Импульсная функция также представляет собой распространенный вид входного воздействия в автоматических системах. К такому виду можно свести например, кратковременный удар нагрузки навалу двигателя, кратковременный ток короткого замыкания генератора, отключаемый плавкими предохранителями, и т. п. В действительности реальные импульсные воздействия на автоматическую систему всегда будут конечными по величине и продолжительности. Однако в случае, если их продолжительность весьма мала по сравнению с временем переходного процесса звена или автоматической системы, то с большой степенью точности реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым масштабирующим коэффициентом, что позволяет оценить переходный процесс по виду функции веса. Функция веса звена связана сего передаточной функцией преобразованием Лапласа, а именно передаточная функция есть изображение функции веса и связана с ней интегральным преобразованием
∫
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
w
p
W
pt
(4.6) В свою очередь переходная функция звена связана сего передаточной функцией преобразованием Карсона, те. имеет место интегральное преобразование
∫
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
h
p
p
W
pt
(4.7) Для входного воздействия произвольного типа, прикладываемого в момент t= 0, переходный процесс на выходе звена при нулевых начальных условиях может быть определенна основании интеграла Дюамеля — Карсона по переходной функции
∫
∞
−
+
=
0 1
1 2
,
)
(
)
(
)
(
)
0
(
)
(
τ
τ
τ
d
t
h
x
t
h
x
t
x
(4.8) или по функции веса
∫
∞
−
=
0 1
2
,
)
(
)
(
)
(
τ
τ
τ
d
t
w
x
t
x

еде
τ — вспомогательное время интегрирования, изменяющееся в пределах от нуля до рассматриваемого текущего момента времени t. Более подробно методика нахождения переходного процесса при произвольном входном воздействии будет рассмотрена в главе 7.
§ 4.3. Частотная передаточная функция и частотные характеристики Важнейшей характеристикой динамического звена является его частотная передаточная функция Для получения ее рассмотрим динамическое звено (рис. 4.1) в случае, когда возмущение f(t) = 0, а на входе имеется гармоническое воздействие х
1
=X
1M
соs wt, где Х — амплитуда, а w — угловая частота этого воздействия. На выходе линейного звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, нов общем случае сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол. Таким образом, для выходной величины можно записать
).
cos(
2 Воспользуемся формулой Эйлера и представим входную и выходную величины в виде суммы экспоненциальных функций
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
+
=
+
=
+
=
+
=
+
−
+
−
".
'
]
[
2
,
"
'
]
[
2 2
2
)
(
)
(
2 2
1 1
1 1
x
x
e
e
X
x
x
x
e
e
X
x
wt
j
wt
j
M
jwt
jwt
M
ψ
ψ
(4.10) В линейной системе на основании принципа суперпозиции можно рассмотреть отдельно прохождение составляющих '
1
x
и "
1
x
. Кроме того, можно легко показать, что достаточно рассмотреть прохождение только составляющей '
1
x
, которая в выходной величине дает составляющую '
2
x
. Соотношение между составляющими "и "получается таким же, как между 'и '
2
x
. Поэтому в дальнейшем рассмотрении воспользуемся символической записью со wt =
jwt
e . Тогда
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
=
+
,
)
(
2 2
1 1
ψ
wt
j
M
jwt
M
e
X
x
e
X
x
(4.11) Символичность этой сокращенной записи заключается в отбрасывании составляющих с множителем
jwt
e . Для нахождения соотношения между входной и выходной гармоническими величинами звена воспользуемся его дифференциальным уравнением в виде
dt
dx
k
x
k
x
dt
dx
T
dt
x
d
T
1 2
1 1
2 2
1 2
2 2
2 Из выражений 4.11 определим производные
)
(
,
,
)
(
2 2
2 2
2
)
(
2 2
1 Подставив значения входной и выходной величин и их производных в исходное дифференциальное уравнение, получим
( )
,
1 2
1 1
)
(
2
)
(
2 1
)
(
2 2
2 откуда после сокращения на общий множитель
jwt
e найдем

)
(
)
(
1 2
2 2
1 2
1 1
2
jw
W
jw
T
jw
T
jw
k
k
e
X
X
j
M
M
=
+
+
+
=
ψ
(4.12) Это выражение называется частотной передаточной функцией звена Таким образом, частотная передаточная функция W(jw) представляет собой комплексное число, модуль которого равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент — сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной
)
(
arg
,
)
(
)
(
mod
1 2
ϕ
=
=
=
jw
W
X
X
jw
W
jw
W
M
M
(4.13) В более общей формулировке для входного сигнала любого вида частотную передаточную функцию можно представить как отношение изображений Фурье частотных изображений) выходной и входной величин
jw
p
p
W
jw
X
iw
X
jw
W
=
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
(4.14) что непосредственно вытекает из формулы (4.1) при переходе от изображения Лапласа к изображению Фурье следовательно, частотная передаточная функция легко получается из обычной передаточной функции подстановкой р = jw. Частотная передаточная функция звена есть изображение Фурье его функции веса, те. имеет место интегральное преобразование
∫
∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
w
jw
W
jwt
(4.15) Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде
),
(
)
(
)
(
)
(
w
jV
w
U
e
w
A
jw
W
j
+
=
=
ψ
(4.16) где А (w) — модуль частотной передаточной функции,
)
(w
ψ
— аргумент или фаза, U
(w) и V (w) — вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции. Модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя. Для рассмотренного выше примера (4.12), аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя и знаменателя. Для (4.12) имеем
2 2
2 1
1 Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряженную знаменателю, и затем произвести разделение на вещественную и мнимую части. Для (4.12)
)
1
(
)
1
(
)
(
,
)
1
(
)
1
(
)
(
2 2
1 2
2 2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 2
2 2
2 1
2 2
2 Для наглядного представления частотных свойств звена используются так называемые частотные характеристики.
Амплитудно-фазовая частотная характеристика (а. ф. х) строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф, соответствующих частотной передаточной функции
)
(
)
(
)
(
w
jV
jw
U
jw
W
+
=
при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис. 4.7). По оси абсцисс откладывается вещественная часть
)
(
Re
)
(
jw
W
w
U
=
и по оси ординат — мнимая часть Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка. Полученные точки

соединяются затем плавной кривой. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты
2 1
, w
w
и т. д.
А. ф. х. может быть построена как для положительных, таки для отрицательных частот. При замене в частотной передаточной функции +w на —w получится сопряженная комплексная величина. Поэтому а. ф. х. для отрицательных частот может быть построена как зеркальное изображение относительно вещественной оси а. ф. х. для положительных частот. На риса. ф. х. для отрицательных частот показана пунктирной линией. Отметим, в чем заключается смысл положительных и отрицательных частот. При помощи преобразования Фурье функция времени x(t) преобразуется в функцию частоты Х. Это означает, что функция времени представляется в виде бесконечной суммы бесконечно малых по величине векторов, вращающихся на комплексной плоскости с различными угловыми скоростями (частотами) w. Эта сумма определяется формулой обратного преобразования Фурье
,
)
(
2 где с — абсцисса абсолютной сходимости. Так как функция времени является вещественной, то каждому элементарному вектору
dw
e
jw
X
jwt
)
(
, вращающемуся против часовой стрелки (w >0), должен соответствовать элементарный сопряженный вектор
dw
e
jw
X
jwt
−
− )
(
, вращающийся почасовой стрелке (w< 0). В этом случае сумма таких векторов в любой момент времени будет всегда вещественной. Поэтому интегрирование в формуле обратного преобразования Фурье должно вестись по всем частотам от —
∞ до + ∞ . Примером представления функции времени в виде суммы сопряженных векторов, вращающихся в разные стороны, может служить изображение гармонических функций по формулам Эйлера, например (4.10). Таким образом, положительные и отрицательные частоты имеют определенный смысл, так как они соответствуют положительными отрицательным угловым скоростям вращения векторов на комплексной плоскости. В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот. Однако при использовании всего диапазона частот от —
∞ до + ∞ многие формулы получают более удобный и симметричный вид. Длина вектора, проведенного изначала координат в точку а. ф. х, соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый

против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Таким образом, а. ф. х. дает возможность наглядно представить для каждой частоты входного воздействия звена отношение амплитуд выходной и входной величин и сдвиг фаз между ними. Построение а. ф. х. по вещественной и мнимой частям частотной передаточной функции, как правило, является трудоемкой работой, так как умножение частотной передаточной функции на комплексную величину, сопряженную ее знаменателю, повышает в два раза степень частоты в знаменателе. Обычно гораздо проще строить а. ф. х, используя полярные координаты, те. вычисляя непосредственно модуль и фазу. Зная модуль и фазу, можно легко построить соответствующую точку на комплексной плоскости. В случае необходимости при известных модуле и фазе легко вычислить вещественную и мнимую части умножением модуля на направляющий косинус между вектором и соответствующей осью. Вместо а. ф. х. можно построить отдельно амплитудную частотную характеристику а. ч. хи фазовую частотную характеристику (ф. ч. х. Это построение показано на рис.
4.8. Амплитудная частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка пропускания делается по отношению амплитуд выходной и входной величин. Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах. Как следует из сказанного выше, модуль частотной передаточной функции представляет собой четную функцию частоты, а фаза — нечетную функцию частоты. Поэтому по результатам вычисления модуля и фазы для положительных частот можно сразу построить а. ч. хи ф. ч. х. для всего диапазона частот —
∞ < w < + ∞ . Можно построить также отдельно вещественную и мнимую частотные характеристики по функциями (со. Это построение показано на рис. 4.9. Как следует из сказанного выше, вещественная характеристика представляет собой четную функцию частоты, а мнимая характеристика — нечетную функцию частоты.
Минимально-фазовые звенья и системы. В случае, если корни числителя и знаменателя передаточной функции W (р) звена лежат в левой полуплоскости (при этом корни числителя и знаменателя частотной передаточной функции W (jw) лежат в верхней полуплоскости, такое звено называется минимально- фазовым. Как будет показано ниже см. § 4.8), этим звеньям присущи меньшие по абсолютной величине фазовые сдвиги по сравнению со звеньями, у которых это условие не выполняется. Можно показать [121], что для минимально-фазовых звеньев существуют следующие зависимости

⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
−
=
−
−
=
∫
∫
∫
∞
+
∞
−
∞
+
∞
−
+∞
∞
−
λ
λ
λ
π
π
π
d
cth
d
dL
w
U
du
w
u
w
U
w
V
du
w
u
w
V
w
U
2
ln
1
)
(
,
)
(
1
)
(
,
)
(
1
)
(
(4.17) где L(u) =ln A(u),
w
u
ln
=
λ
, а u — переменная интегрирования. Приведенные зависимости являются чрезвычайно важными, так как показывают, что частотная передаточная функция минимально-фазового звена или системы полностью определяется заданием ее вещественной части U (w), или мнимой части V (w), или модуля А (w). Это позволяет упростить задачи анализа и синтеза минимально-фазовых систем, ограничиваясь, например, рассмотрением их вещественных или амплитудных частотных характеристик.
§ 4.4. Логарифмические частотные характеристики Прологарифмируем выражение частотной передаточной функции (4.16):
).
(
)
(
ln
)
(
ln
w
j
w
A
jw
W
ψ
+
=
(4.18) Как видно из этого выражения, логарифм частотной передаточной функции равен комплексному выражению, вещественной частью которого является логарифм модуля, а мнимой — фаза. Для практических целей удобнее пользоваться десятичными логарифмами и строить отдельно логарифмическую амплитудную частотную характеристику (л. ахи логарифмическую фазовую частотную характеристику (л. ф. х. Для построения л. ах. находится величина
L(w) = 20 ln | W (jw) | = 20 А (w). (4.19) Эта величина выражается в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности враз бела — враз бела — враз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела. Если бы А (w) было отношением мощностей, то перед логарифмом в правой части (4.19) должен был бы стоять множитель
10. Так как А (w) представляет собой отношение не мощностей, а выходной и входной величин (перемещений, скоростей, напряжений, токов и т. п, то увеличение этого отношения в десять раз будет соответствовать увеличению отношения мощностей в сто раз, что соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (4.19) стоит множитель 20.

Один децибел соответствует изменению амплитуды враз, те. представляет сравнительно малую величину. Необходимость логарифмировать модуль частотной передаточной функции (4.19) приводит к тому, что, строго говоря, л. ах. может быть построена только для тех звеньев, у которых передаточная функция представляет собой безразмерную величину. Это возможно при одинаковых размерностях входной и выходной величин звена. В дальнейшем изложении будет подразумеваться именно этот случай. Однако л. ах. может условно строиться и для тех звеньев, у которых передаточная функция имеет какую-либо размерность. В этом случае некоторая исходная величина, соответствующая размерности передаточной функции, принимается за единицу например, 1 гсм/град, 1 сек , 1 в/рад и т. пи под значением А (w) понимается отношение модуля частотной передаточной функции к этой исходной единице. Это же замечание относится и к угловой частоте w, которая имеет размерность секи которую приходится логарифмировать в соответствии с изложенным. Для построения л. ахи л. ф. х. используется стандартная сетка (рис. 4.10). По оси абсцисс откладывается угловая частота в логарифмическом масштабе, те. наносятся отметки, соответствующие lgw, а около отметок пишется само значение частоты w в рад/сек. Для этой цели может использоваться специальная полулогарифмическая бумага. Однако удобнее использовать обычную миллиметровую бумагу, но масштаб по оси абсцисс наносить при помощи какой-либо шкалы счетной логарифмической линейки. По оси ординат откладывается модуль в децибелах (дб). Для этой целина ней наносится равномерный масштаб. Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб, что соответствует значению модуля Атак как логарифм единицы равен нулю. Ось ординат может пересекать ось абсцисс (ось частот) в произвольном месте. Следует учесть, что точка w = 0 лежит на оси частот слева в бесконечности, так как lg0 =
—
∞ . Поэтому ось ординат проводят так, чтобы справа от нее можно было показать весь ход л. ах. Как будет показано ниже для этой цели необходимо провести ось ординат левее самой малой сопрягающей частоты л. ах Для построения л. ф. х. используется та же ось абсцисс (ось частот. По оси ординат откладывается фаза в градусах в линейном масштабе. Для практических расчетов, как это будет ясно ниже, удобно совместить точку нуля децибел сточкой, где фаза равна —180°. Отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный — вниз. Иногда по оси абсцисс указывается не сама частота, а ее десятичный логарифм (рис.
4.11). Единица приращения логарифма соответствует одной декаде, те. удесятерению частоты. Применяется также деление шкалы на октавы. Одна октава соответствует удвоению частоты. Так как lg 2 = 0,303, то одна октава соответствует 0,303 декады. Использование на оси абсцисс декад и октав значительно менее удобно, так как при этом оцифровка шкалы получается в единицах частоты, а в единицах логарифма частоты, что в сильной степени снижает преимущества применения логарифмических частотных характеристик. Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Это особенно проявляется в тех случаях, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей. Тогда результирующая л. ах. может быть найдена суммированием ординат л. ах, соответствующих отдельным сомножителям. Часто не требуется даже такого суммирования и результирующая л. ах. может быть приближенно построена в виде так называемой асимптотической л. ах, представляющей собой совокупность отрезков прямых линий с наклонами, кратными величине 20 дб/дек. Это будет показано ниже при рассмотрении конкретных звеньев. Для иллюстрации простоты построения л. ах. рассмотрим несколько важных примеров.
1. Пусть модуль частотной передаточной функции равен постоянному числу А (w) = k
0
; тогда Л. ах. представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс (прямая 1 на рис.
4.10).
2. Рассмотрим случай, когда А (w) = k/w. Тогда
L(w)=20lg (k
1
/w)=20lg k
1
-20lg w. Нетрудно видеть, что это — прямая линия, проходящая через точку с координатами w = 1 секи и имеющая отрицательный наклон 20 дб/дек, так как каждое удесятерение частоты вызовет увеличение lgw на одну единицу, те. уменьшение L(w) на
20 дб (прямая 2 на рис. 4.10). Наклон 20 дб/дек приблизительно равен наклону 6 дб/окт точнее, 6,06 дб/окт, так как lg 2= 0,303). Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти, положив L(w) = 0 или, соответственно, А) = 1. Отсюда получаем так называемую частоту срезала. х, равную в данном случае w ср
= k
1
. Очевидно, что размерность коэффициента k
1
должна быть сек.
3. Аналогичным образом можно показать, что в случае А) =k
2
/w
2 л. ах. представляет собой прямую с отрицательным наклоном 40 дб/дек (прямая 3 на рис. 4.10). Вообще для А) =k n
/w n
л. ах. представляет собой прямую с отрицательным наклоном n20 д6/дек или n6 дб/окт. Эта прямая может быть построена по одной какой-либо точке,

например по точке w = 1 секи или по частоте среза w ср
=
n
n
k
. Очевидно, что размерность коэффициента k n
должна быть сек.
4. Рассмотрим случай, когда А. Тогда lg
20
lg
20
lg
20
)
(
3 Нетрудно видеть, что это — прямая линия, проходящая через точку w = 1 секи и имеющая положительный наклон 20 дб/дек. Эта прямая может быть построена также по частоте среза w ср
= 1/k
3
полученной приравниванием А) = 1 (прямая
4 на рис. 4.10). Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда А (w) =k m
w m
, л. ах. представляет собой прямую линию с положительным наклоном m20 дб/дек = m6 дб/окт. Эта прямая также может быть построена по одной какой-либо точке, например по точке w= 1 секи или по частоте среза
m
m
ср
k
w
1
=
Иногда при расчете автоматических систем употребляются логарифмические
амплитудно-фазовые характеристики (л. а. ф. х. В соответствии с выражением (4.18) они строятся в координатах модуль в децибелах — фаза (рис. 4.12) или модуль в децибелах — запас по фазе. Под запасом по фазе понимается величина
ψ
µ
+
= Эта величина также показана на рис. 4.12. Обычно пределы изменения фазы принимаются от 0 до — 180°, что соответствует изменению запаса по фазе от 180° до 0. В том случае, если часть кривой не умещается на используемой сетке вследствие больших фазовых сдвигов ( |
ψ
| > 180°), строится зеркальное изображение л. а. ф. х, что показано на рис. 4.12 пунктиром. На л. а. ф. х. для ориентировки могут наноситься точки, соответствующие определенным частотам. В этом случае около этих точек указывается частота в рад/сек.
§ 4.5. Позиционные звенья Характеристики позиционных звеньев сведены в табл. 4.2 и 4.3, помещенные на стр.
78 — 81.