вопросы. вопросы надежности. 1 Анализ задач исследования надежности

• Название: 1 Анализ задач исследования надежности
• Анкор: вопросы
• Дата: 23.06.2020
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: вопросы надежности.docx
• Тип: Документы; #132174
• страница: 2 из 6

, (1)

где N_Р - число работоспособных изделий к концу времени t испытаний

или эксплуатации;

N - число изделий, поставленных на испытания или эксплуатацию;

n(t) - число изделий, отказавших к концу времени t испы­таний или эксплуатации.

Так как безотказная работа и отказ - взаимно противоположные со­бытия, то оценку вероятности отказа определяют по формуле
, (2)
Распределение отказов во времени характеризуется функцией плот­ности распределения f(t) наработки до отказа. Статистическая оценка плотности распределения имеет вид:
, (3)
где Δn(t) - приращение числа отказавших изделий за время Δt.

Вероятность отказов и безотказной работы в функции плотно­сти распределения выразятся зависимостями:
, (4)
, (5)

Интенсивность отказов в статистической трактовке определяется соотношением:
, (6)

В вероятностном смысле интенсивность отказов выразится зависи­мостью:
, (7)
Отсюда вероятность безотказной работы после преобразований определится по формуле:
, (8)
Это соотношение является одним из основных уравнений теории надежности.
20 Показатели безотказности

В рассматриваемых способах оценки вероятности безотказной рабо­ты до первого отказа отказы не различаются по тяжести их последствий. В большинстве случаев при проектировании изделий необходимо уста­новить критерий отказа изделия: по экономическим последствиям вос­становления его работоспособности, исчерпанию ресурса и другим ха­рактеристикам.

Критерием отказа называют признак или совокупность признаков неработоспособного состояния объекта, установленных в нормативно-технической или конструкторской документации.

Средняя наработка на отказ - это отношение наработки восстанав­ливаемого объекта к математическому ожиданию числа отказов в течение этой наработки.

Статистическую оценку среднего значения наработки на отказ вычисляют как отношение суммарной наработки за рассматривае­мый период испытаний или эксплуатации объектов к суммарному числу отказов этих объектов за тот же период:
, (8)
Средняя наработка до отказа - это математическое ожидание на­работки объекта до первого отказа.

Среднюю наработку до отказа определяют по формулам: для непрерывной функции надежности
, (9)
для дискретной функции надежности:
, (10)
, (11)
где N_pi - число работоспособных объектов на интервале наработки t_i+1-t_i,

N - общее число объектов, поставленных на испытания или в эксплуатацию;

Δt_i=t_i+1-t_i,

К - общее число рассматриваемых интерва­лов наработки эмпирической функции надежности.

Средняя наработка между отказами - это математическое ожида­ние наработки объекта от окончания восстановления его работоспособ­ного состояния после отказа до возникновения следующего отказа.

Статистическую оценку среднего значения наработки между от­казами вычисляют как отношение суммарной наработки объекта между отказами за рассматриваемый период испытаний или эксплуатации к числу отказов этого(их) объекта(ов) за тот же период:
, (12)
Статистическую оценку параметра потока отказов вычисляют как отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произ­вольно малую его наработку к значению этой наработки
, (13)
где Δm - среднее число отказов восстанавливаемого объекта на интерва­ле ΔT наработки;

T-рассматриваемый период наработки.
Перечисленные показатели безотказности в зависимости от целей исследования определяют на различных стадиях работы объекта. Так, наработку на отказ в период приработки объекта определяют для выяв­ления ранних отказов с целью принятия необходимых мер по совершен­ствованию конструкции и технологии изготовления, исключающих при­чины появления подобных отказов при серийном производстве этих объ­ектов.

21Функции распределения и основные свойства
Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, мо­гут быть вызваны неблагоприятным сочетанием различных факторов -рассеянием действующих нагрузок, отклонением от номинального значе­ния физических характеристик материалов, неблагоприятным сочетанием допусков в местах сопряжения и т.п. Поэтому в расчетах надежности различные параметры рассматриваются как случайные величины, кото­рые могут принимать то или иное значение, неизвестное заранее.

Различают случайные величины прерывного (дискретного) и непре­рывного типов. Условимся случайные величины в дальнейшем обозна­чать большими буквами, а их возможные значения - соответствующими малыми. Для каждого числа х в диапазоне изменения случайной величи­ны X существует определенная вероятность Р(Х<х) того, что X не пре­вышает значения х. Вероятность этого события называют функцией рас­пределения:
, (14)
Функция распределения - универсальная характеристика, так как она является функцией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция F(x) относится к неубывающим функциям - она монотонно возрастает при непрерывных процессах и ступенчато возрастает при дискретных процессах (рисунок 1).



Рисунок 1 - Функция распределения:

а - для непрерывных процессов; б - для дискретных процессов

Основными свойствами функции распределения являются:

1. 
   Функция изменяется от 0 до 1
   

, (15)

2. 
   На минус бесконечности функция равна нулю
   

, (16)

3. 
   На плюс бесконечности функция равна единице
   

, (17)
22 Плотность распределения и основные свойства

Производная от функции распределения по текущей переменной на­зывается плотностью распределения, которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории надежности величину f(x) называют плотностью ве­роятности:
, (18)
Основные свойства плотности распределения:

Плотность распределения есть неотрицательная функция своего аргумента:
, (19)
Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения
равен единице:
, (20)
Плотность распределения существует только для непрерывных
случайных величин. Графическое изображение показано на рисунке 2.


Рисунок 2 Плотность распределения
23 Математическое ожидание, дисперсия
В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее употребительными являются ма­тематическое ожидание (среднее значение), мода и медиана (характери­зуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент ва­риации (характеризуют рассеяние случайной величины). Значения харак­теристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, на­зывают статистическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирования надежности.

Для дискретных случайных величин математическое ожидание Мх равно сумме произведения всех возможных значений X на вероятности этих значений:
, (21)
Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегралом в бесконечных пределах от произведения непре­рывно изменяющихся возможных значений случайной величины на плотность распределения
, (22)
Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано со средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значение величины х приближается к математическому ожиданию и называется оценкой среднего значения:
, (23)
где n - общее число опытов;

х_i - текущее значение случайной величины.

Дисперсией (D_X) случайной величины называют математическое ожи­дание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожида­ния.

Для дискретной случайной величины дисперсия равна:

, (24)
Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется из выражения
, (25)
Оценка дисперсии случайной величины:
, (26)
Дисперсия случайной величины является характеристикой рассея­ния - разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Размерность дисперсии соответствует квадрату размерности случайной величины. Для наглядности в качестве характери­стики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадратическое отклонение σ_Х, которое определяет­ся как корень квадратный из дисперсии:
, (27)
Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины исполь­зуют коэффициент вариации, который равен:
, (28)
24 Мода, медиана, квантиль

Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значе­ние или то ее значение, при котором плотность вероятности максималь­на.

Медиана характеризует расположение центра группирования слу­чайной величины. Площадь под графиком функции плотности распреде­ления делится медианой пополам.

Квантиль - значение случайной величины, соответствующее задан­ной вероятности. Квантиль, соответствующую вероятности 0,5, называют медианой.

Аналогично предыдущим характеристикам понятия моды и медиа­ны даны в статистической трактовке. Для симметричного модального (т.е. имеющего один максимум) распределения математическое ожида­ние, мода и медиана совпадают.
25 Показатели безотказности и ремонтопригодности

Любая система характеризуется безотказностью и ремонтопригод­ностью.

В качестве основной характеристики безотказности системы служит функция надежности, которая представляет собой вероятность безотказной работы в течение некоторого времени t.

Пусть система состоит из n элементов, функции надежности которых обозначим через p₁(t), p₂(t), ..., p_n(t). Так как элементы, входящие в состав системы, являются независимыми, то вероятность безотказной работы сис­темы определяется как произведение вероятностей составляющих ее элемен­тов:
, (29)
В частном случае, когда функции надежности составляющих эле­ментов имеют экспоненциальное распределение с постоянными интенсивностями отказов, функция надежности системы определяется по фор­муле:
, (30)
Одной из важнейших характеристик безотказности системы является среднее время жизни, которое вычисляют, используя выражение
, (31)
Для случая экспоненциального распределения среднее время жизни системы равно:

, (32)

Среднее время жизни системы или наработку на отказ по результа­там статистических данных вычисляют по формуле:
, (33)
где Т - суммарная наработка системы, полученная по результатам испы­таний или эксплуатации;

m - суммарное число отказов, зафиксированное в процессе испытаний или эксплуатации.

В качестве основной характеристики ремонтопригодности служит среднее время восстановления системы, которое находят из соотноше­ния вида:
, (34)
где F_B(t) - функция распределения времени восстановления.

Среднее время восстановления системы по результатам испытаний или эксплуатации определяют из зависимости:
, (35)
где m_i - число отказов i-го элемента;

t_Bi- время восстановления i-го отка­за.
26 Комплексные показатели и их характеристика

Любая система характеризуется комплексными показателями на­дежности, такими, как коэффициенты: готовности К_Г, технического ис­пользования К_Т.И и оперативной готовности К_О.Г.

Коэффициент оперативной готовности характеризует надежность системы, необходимость применения которой возникает в произвольный момент времени (кроме планируемых периодов, в течение которых при­менение системы по назначению не предусматривается). Значение коэф­фициента оперативной готовности определяют из выражения:
, (36)


27 Среднее время восстановления и вероятность восстановления

В теории надежности для изделий машиностроения чаще всего ис­пользуют два показателя ремонтопригодности - среднее время восста­новления и вероятность восстановления.

Среднее время восстановления - математическое ожидание времени восстановления объекта. Статистическую оценку этого параметра опре­деляют по формуле:
, (37)
где Т_Вk - время восстановления k - го отказа объекта;

m - число отказов объекта за заданный срок испытаний или эксплуатации.

Вероятность восстановления работоспособного состояния - это вероятность того, что объект будет восстановлен в заданное время t_в. Для большинства изделий машиностроения вероятность восстановления под­чиняется закону Пуассона:
, (38)
где λ_В - интенсивность восстановления,

m - число восстановлений (отказов).
28 Комплексные показатели надежности

К комплексным показателям относятся коэффициенты: готовности, технического использования и оперативной готовности.

Коэффициент готовности (К_Г) - вероятность того, что объект ока­жется работоспособным в произвольный момент времени, кроме плани­руемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается. По К_Г судят о надежности объекта на определен­ном интервале эксплуатации, поэтому при нормировании этого показате­ля необходимо в нормативно-технической документации (НТД) указы­вать интервал эксплуатации объекта, на котором следует оценивать К_Г. Среднее статистическое значение К_Г определяют по формуле
, (39)
где t_i - суммарная наработка i-го объекта в заданном интервале эксплуа­тации;

τ_i- - суммарное время восстановления i-го объекта за тот же пери­од эксплуатации;

N - число наблюдаемых объектов в заданном интервале эксплуатации.

Если на заданном интервале эксплуатации определены среднее зна­чение наработки на отказ и среднее время восстановления объекта после отказа, то:

, (40)
где Т_СР - среднее значение наработки на отказ,

Т_В - среднее время вос­становления объекта после отказа.

Коэффициент технического использования - отношение математи­ческого ожидания наработки Т объекта за некоторый период эксплуата­ции к сумме математических ожиданий наработки, продолжительности технических обслуживании τ _ТО, плановых ремонтов τ_Р и внеплановых восстановлений τ_В за тот же период эксплуатации.

Рассчитывают К_ТИ по формуле:
, (41)
Коэффициент оперативной готовности — вероятность того, что объект окажется работоспособным в произвольный момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента, объект будет работать безотказно в течение заданного интервала времени.

Численное значение коэффициента оперативной готовности опреде­ляют из выражения