вопросы. вопросы надежности. 1 Анализ задач исследования надежности

• Название: 1 Анализ задач исследования надежности
• Анкор: вопросы
• Дата: 23.06.2020
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: вопросы надежности.docx
• Тип: Документы; #132174
• страница: 5 из 6

, (119)



Рисунок 13 Вертикально поставленное симметричное колесо


Рисунок 14 Плотность распределения для равномерного закона
Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна едини-­
це, т.е. с( β-α )=1, то с = .

Тогда плотность распределения имеет вид:
, (120)
Формула (120) выражает закон равномерного распределения плот­ности на участке (α, β).

Функция распределения для равномерного закона (рисунок 15) опре­деляется соотношением вида:
, (121)



Рисунок 15 Функция распределения для равномерного закона
Определим числовые характеристики случайной величины Т, под­чиненной закону равномерной плотности на участке от α до β. Математическое ожидание величины Т равно:
, (122)
Дисперсия определяется по формуле:
, (123)

откуда среднее квадратичное отклонение равно:
, (124)
Вероятность попадания случайной величины Т, распределенной по закону равномерной плотности, на участок (α, β) определяется по соот­ношению вида (рисунок 16)
, (125)


Рисунок 16 График закона равномерной плотности при попадании случайной величины на участок (a, b)

17 Закон Пуассона случайной величины

Во многих задачах практики часто приходится встречаться со слу­чайными величинами, которые в процессе испытаний принимают целые неотрицательные числа 0, 1, 2,..., m, причем последовательность этих чи­сел теоретически неограничена. Случайная величина X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой
, (126)
где а - некоторая положительная величина, называемая параметром за­кона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины X, распределенной по зако­ну Пуассона, имеет вид:

xm	0	1	2	…	m	…
Pm				…		…

Графически многоугольник распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, для различных значений а пред­ставлен на рисунке 17.


Рисунок 17 Распределение по закону Пуассона
Математическое ожидание
, (127)
Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как ма­тематическое ожидание случайной величины X.

Дисперсия случайной величины для закона Пуассона также равна параметру
, (128)
Это свойство распределения Пуассона часто применяется на прак­тике для решения вопроса: правдоподобна ли гипотеза о том, что случай­ная величина Х распределена по закону Пуассона.

Одним из наиболее важных дискретных распределений является би­номиальное. Это двухпараметрическое распределение с параметрами n и р нашло практическое применение при оценке надежности изделий, рабо­тающих в циклическом режиме, где n - любое натуральное число, а р — любое вещественное число от 0 до 1. Важно отметить, что и должно быть либо фиксированным в начале испытаний, либо независимым от резуль­татов каждого испытания.

Если проводят n независимых испытаний с вероятностью q отказа и вероятностью р успеха в каждом из них, то вероятность появления m от­казов подчиняется биномиальному распределению и определяется по формуле:
, (129)
где p=1-q



Соответственно вероятность появления k успехов вычисляют, ис­пользуя соотношение:
, (130)



Математическое ожидание числа отказов равно
, (131)
а числа успехов соответственно:
, (132)
Дисперсия числа отказов (успехов) одинакова и равна
, (133)
18 Закон биномиального распределения случайной величины

Закон биномиального распределения нашел широкое применение в технике при оценке надежности изделий, работающих в циклическом режиме, а также в вопросах теории стрельбы из артиллерийских орудий.

Для оценки вероятности появления случайного события не менее m' раз используют соотношение:
, (134)
где р - вероятность появления случайного события в одном испытании (опыте),

q = 1 - р - вероятность непоявления случайного события в од­ном испытании (опыте).

В случае большого числа опытов и соответственно большого числа появлений интересующего нас события биномиальное распределение приближается к нормальному и тогда вместо формулы (134) можно вос­пользоваться соотношением:
, (135)
где Ф(U_P) - функция нормального распределения берется из приложения.
- квантиль функции нормального распределения
В практических вопросах теории надежности часто встречаются за­дачи, связанные с выбраковкой деталей из больших партий. Пусть прово­дится случайная выборка объемом n изделий, причем известно, что объем партии проводимой выборки составляет N изделий, в которой содержится М бракованных изделий. Ставится задача найти вероятность того, что в выборке объемом n изделий окажется m дефектных. Особенно вызывает интерес, когда М значительно меньше N, а также n мало по сравнению с N. В этом случае m может принимать целые неотрицательные числа 0, 1, 2,..., min (M, n).

Для гипергеометрического распределения вероятность появления рассматриваемого события (в нашем случае появления m дефектных из­делий в выборке) определяются по формуле:
, (136)
Математическое ожидание числа дефектных изделий равно:
, (137)
Дисперсия числа дефектных изделий находится из выражения вида:
, (138)
Дискретная функция распределения описывается соотношением:
, (139)
В соотношении (139) биномиальные коэффициенты вычисляют ис­пользуя выражения:



19 Задачи исследования при проектировании технической системы
Для ряда изделий и сооружений проблема обеспечения надежности решается без использования методов теории надежности. Промышлен­ные и жилые здания, мосты, плотины и другие сооружения проектируют­ся с учетом эксплуатационных нагрузок и изменений во времени свойств конструкционных материалов. Установленные для различных видов со­оружений нормы прочности и другие строительные и проектные нормы обеспечивают практическое отсутствие отказов в течение всего срока службы.

При проектировании технической системы в основу иссле­дований ставятся следующие задачи:

- задача обоснования требований по надежности к системе и ее ос­новным составным частям. Выбор путей их достижения с учетом ограни­чений, связанных с научно-техническими достижениями и ресурсами,
выделяемыми на создание системы.

- задача синтеза требуемой надежности системы в рамках приня­тых концепций построения системы с учетом упомянутых выше ограни­чений.

- задача анализа надежности системы и ее основных составных частей с помощью расчетных оценок показателей надежности для раз­личных вариантов технических решений по обеспечению надежности
системы.

- задачи распределения выделенных ресурсов на обеспечение на­дежности, реализуемых при создании, эксплуатации и применении сис­темы по назначению. К их числу относят задачи обоснования программ
обеспечения надежности, программ испытаний, выбора эффективных средств контроля качества изделия, поддержания надежности системы в процессе эксплуатации и др.

Все перечисленные задачи могут успешно решаться при использо­вании различных количественных методов исследования надежности, которыми располагает теория надежности. Необходимо помнить, что теория надежности - наука экспериментальная, которая базируется на результатах испытаний или эксплуатации ранее созданной техники, поэтому количественный анализ надежности не исключает возможность ошибок, однако нельзя пренебрегать и количественной оценкой надеж­ности при обосновании проектных решений.
20 Проектный расчет вероятностной функции надежности систем с

последовательным соединением элементов

Последовательным, в смысле надежности, называют такое соедине­ние элементов в системе, при котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы.

Большинство механических, электромеханических, гидромеханиче­ских, оптико-механических и других средств представляют собой системы с последовательным соединением элемен­тов. Высокий уровень надежности таких систем достигается за счет ис­пользования надежных элементов, правильного назначения периодично­сти технического обслуживания, обеспечения быстрого восстановления или замены отказавших элементов в процессе эксплуатации.

К последовательному соединению элементов относятся также некото­рые резервные элементы, когда отказ резервного элемента приводит к от­казу системы. На практике это происходит, например, в электронной аппа­ратуре при коротком замыкании, в гидравлической и пневматической сис­темах при разрыве трубопроводов и выходе из строя клапанов и т.п.

Последовательные системы могут состоять из невосстанавливаемых и восстанавливаемых элементов.

Для системы, состоящей из n последовательно соединенных невос­станавливаемых элементов, случайная наработка до отказа системы рав­на минимальному значению случайных наработок ее элементов. Если элементы являются независимыми и известны вероятности безотказной работы каждого элемента за заданное время t₀, то вероятность безотказ­ной работы системы за заданное время t₀ будет равна:
, (165)
21Резервирование элементов

Одним из способов повышения надежности систем является резерви­рование элементов, которое широко используется на стадии проектирова­ния. Система с параллельным соединением элементов построена таким образом, что отказ ее происходит лишь в случае отказа всех элементов, т.е. система исправна, если исправен хотя бы один элемент. При разработке технических систем в зависимости от выполняемой задачи применяют на­груженное (горячее) и ненагруженное (холодное) резервирование.

Горячее резервирование применяют тогда, когда не допускается пере­рыва времени на переключение отказавшего элемента на резервный с це­лью выполнения задачи в установленное время. Чаще всего горячему ре­зервированию подвергаются отдельные элементы или отдельные каналы.

Холодное резервирование применяют тогда, когда требуется увели­чение ресурса работы элемента и допускается время на переключение отказавшего элемента на резервный.
22 Параллельное резервирование
Существуют технические системы с частично параллельным резер­вированием. Это такие системы, которые оказываются работоспособны­ми в случае отказа нескольких элементов.

Если система представляет собой ряд нагруженных параллельно со­единенных n элементов, изображенных на рисунке 19, то вероятность отказа системы равна:

, (180)
При условии одинаковой ненадежности элементов выражение при­нимает вид:
, (181)
где n - число параллельно соединенных элементов.

Рисунок 19 Структурная схема надежности системы с параллельным соединением элементов
Тогда вероятность безотказной работы системы будет соответствен­но равна:
, (182)
При :
, (183)
Формула (181) проста и удобна в практическом применении. Если, например, известна вероятность отказа элемента q(t) и требуется опре­делить такое число резервных элементов, при котором ненадежность Q_n(t) не будет превосходить заданной величины Q(t), т.е.

, (184)

Тогда из неравенства (184) получим:
, (185)
Если же, наоборот, задавшись числом резервных элементов, опреде­лять какой должна быть надежность каждого из них, то получим:
, (186)
Среднее время безотказной работы резервной группы из n элементов при равнонадежных элементах:
, (187)
В случае ненагруженного (холодного) резерва среднее время ре­зервной группы равно:
, (188)
где - среднее время жизни k-го элемента.

В частности, если все элементы равнонадежны, то:
, (189)
Тогда надежность систем при холодном резервировании определит­ся соответственно по формуле:
, (190)
Если в системе (рисунок 20) элементов не дублированы, a b элементов дублированы, то надежность системы:

, (191)

, (192)
, (193)


Рисунок 20 Частично зарезервированная система
23 Резервирование с замещением

При резервировании замещением резервные элементы включаются только при отказе основных элементов (рисунок 21,22,23,24). Это включение может производиться автоматически или вручную.



Рисунок 21 - Дублированная система с постоянным резервом