вопросы. вопросы надежности. 1 Анализ задач исследования надежности

• Название: 1 Анализ задач исследования надежности
• Анкор: вопросы
• Дата: 23.06.2020
• Размер: 0.65 Mb.
• Имя файла: вопросы надежности.docx
• Тип: Документы; #132174
• страница: 4 из 6

, (71)
где е - основание натурального логарифма;

λ - интенсивность отказов (параметр распределения).

Если, как обычно, λ<<0,1, то формула вероятности безотказной работы упрощается в результате разложения в ряд и принимает вид:
, (72)
Плотность распределения экспоненциального закона (рисунок 6) опи­сывается соотношением:
, (73)

Рисунок 6 График плотности экспоненциального распределения
Функция распределения выражается зависимостью:
, (74)

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое от­клонение этого закона соответственно равны:
, , (75)
10 Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения часто называют законом Гаусса. Этот закон занимает важное место, и наиболее часто используется на практике по сравнению с другими законами распределения. Основная особенность этого закона состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распреде­ления. В теории надежности его используют для описания постепенных отказов, когда распределение времени безотказной работы в начале име­ет низкую плотность, затем максимальную и далее плотность снижается, т.е. нормальным распределением описывают наработки на отказ элемен­тов и систем вследствие их износа и старения.

Распределение всегда подчиняется нормальному закону, если на из­менение случайной величины оказывают влияние многие, примерно рав­нозначные факторы.

Нормальный закон распределения описывается плотностью вероят­ности:
, (76)
где m и - параметры распределения, определяемые по результатам испытаний.

Кривая плотности распределения имеет вид колоколообразной фор­мы (рисунок 7).



а) б)

Рисунок 7 Кривая плотности вероятности (а) функции надежности (б) нормального распределения
Параметр m представляет собой среднее значение исследуемой слу­чайной величины

, (77)
параметр - среднее квадратическое отклонение исследуемой случайной величины, оцениваемое по формуле:
, (78)
Функция распределения имеет вид:
, (79)
Функция надежности противоположна функции распределения:
. (80)
Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц нормаль­ного распределения, при котором m = 0 и = 1. Для этого распределения функция плотности вероятности имеет одну переменную t и выражается зависимостью:
, (81)
Величина t является центрированной (так как m = 0) и нормирован­ной (так как = 1).

Функция распределения соответственно запишется в виде:
, (82)
Из этого уравнения следует, что F0(t)+ F0(-t)=1 или

При использовании таблицей 1 приложения следует в формулу (82) вместо t подставить значение:
, (83)
при этом , называют квантилью нормированного нормального распре­деления.

Нормальному распределению подчиняется наработка до отказа мно­гих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий.

Помимо задачи оценки вероятности безотказной работы за данное время или за данную наработку встречается обратная задача - определе­ние наработки, соответствующей заданной вероятности безотказной ра­боты.

Значения этой наработки (времени) определяют с помощью кванти­ли нормального распределения:
(84)

Значения квантилей в зависимости от требуемой вероятности

даны в таблице 1 приложения.

В работах по надежности часто вместо интегральной функции рас­пределения используют функцию Лапласа:
, (85)
Очевидно, что:
, (86)
Вероятности отказа и безотказной работы, выраженные через функ­цию Лапласа:
, (87)


Вероятность попадания случайной величины в интервал вы­числяют по формуле:
, (88)
Табличный интеграл Ф(t) равен площади кривой, заключенной ме­жду осью симметрии и ординатой, соответствующей значению t, и опре­деляет вероятность того, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t.
11 Закон распределения Вейбулла
Среди непрерывных распределений закон Вейбулла занимает одно из наиболее часто применяемых в оценке надежности технических сис­тем по результатам испытаний и эксплуатации. Это распределение Вейбулл использовал при описании разбросов усталостной прочности стали, пределов ее упругости, размеров частиц копоти и др. В последнее время закон распределения Вейбулла нашел применение при описании надежности сложных технических систем, а также при изучении разбросов в сроках службы изделий различного назначения. Его используют для оценки надежности деталей и узлов машин, а также для оценки надежности машин в процессе их приработки. Такое широкое использование данного закона объясняется тем, что он пред­ставляет собой двухпараметрическое распределение.

Плотность распределения описывается зависимостью:
, (89)
где α - параметр формы кривой распределения;

λ - параметр масштаба.

График плотности распределения дан на рисунке 8.

Экспоненциальное распределение является частным случаем рас­пределения Вейбулла при α = 1.

Функция распределения описывается соотношением:
, (90)


Рисунок 8 Плотность распределения Вейбулла для λ = 1
Функция надежности - величина, противоположная функции рас­пределения:
, (91)
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно равны:
,

(92)

где Г(α) - гамма-функция.

Гамма-функция для непрерывной величины описывается интегра­лом
, (93)
Для вычисления значений функции Г(n+α), где n — целое число, а α - дробное при 2 ≤ n≤ 6, рекомендуется применять формулу:
, (94)
При n > 6 значения Г(n + α) можно находить по формуле:
, (95)
, (96)

, (97)
Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон, обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α. Подбирая нужным образом параметры α и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значений опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является однопараметрическим (параметр λ).

Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но некото­рые длительное время не стареют, опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быстро падает. Функция надежно­сти для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с пара­метром α<1. Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изго­товлении и почти не имеет скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывается законом Вейбулла с па­раметром α>1. При α=3,3 распределение Вейбулла близко к нормаль­ному.
12 Логарифмически нормальный закон распределения

Логарифмически нормальное распределение является двухпараметрическим распределением случайной величины, логарифм которой рас­пределен по нормальному закону. Как распределение положительных величин, оно несколько точнее, чем нормальное. В теории надежности такое распределение используют для описания наработки на отказ дета­лей и узлов в период наступления усталости материала, а также процес­сов восстановления, износовых отказов, наработки на отказ подшипников качения и наработки между отказами сложных технических систем.

Плотность распределения описывается зависимостью:
, (98)
Параметры m и σ оценивают по результатам испытаний с помощью формул:
, (99)
где t_i - наработка до отказа i-го изделия;

n - число изделий, поставленных на испытания
, (100)
Функция распределения имеет вид:
, (101)
Или:
, (102)

Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального распределения в зависимости от значения квантили:

, (103)
Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение наработки на отказ соответственно равны:
; , (104)
Коэффициент вариации равен:
, (105)
При ν≤0,3 полагают, что ν=σ, при этом ошибка не более 1 %. Кри­вые плотности распределения изображены на рисунке 9.


Рисунок 9 Плотность логарифмически нормального распределения

для различных σ
13 Гамма-распределение

Гамма-распределение является двухпараметрическим распределени­ем, оно занимает важное место в математической статистике и теории надежности. Это распределение имеет ограничение с одной стороны (0
Если параметр формы кривой распределения α - целое число, то гамма-распределение описывает время, необходимое для появления α событий (отказов), при условии, что они независимы и появляются с по­стоянной интенсивностью λ.

В большинстве случаев это распределение описывает наработку системы с резервированием, отказов стареющих элементов, время вос­становления системы и т.д. При различных количественных значениях параметров гамма-распределение принимает самые разнообразные фор­мы, что и объясняет его широкое применение.

Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенст­вом, если λ > 0 и α > 0:
, (106)
где Г(α)=

Функция распределения:
, (107)

Функция надежности выражается формулой:
, (108)
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
; (109)

При α < 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответ­ствует периоду приработки изделия. При а > 1 интенсивность отказов возрастает, что характеризует период изнашивания и старения элементов.

При α = 1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным рас­пределением; при α > 10 гамма-распределение приближается к нормаль­ному закону. Если α принимает значения произвольных целых положи­тельных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга.

Если значение α кратно 1/2 и λ = 1/2, то гамма-распределение сов­падает с распределением хи-квадрат (χ²). Кривые плотности распреде­ления приведены на рисунке 10.


Рисунок 10 Кривые плотности гамма-распределения
Если случайные величины Т₁ и Т₂, ..., Т_n независимы и имеют нор­мальное распределение, причем математическое ожидание и дисперсия этих величин соответственно равны:
; , (110)
Функция распределения величины:
, (111)
носит название распределения χ² (хи-квадрат).

Плотность распределения χ² имеет вид:
, (112)
где n - число степеней свободы.

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
; , (113)
14 Распределение хи-квадрат случайной величины

Распределение χ² нашло применение при проверке статистических

гипотез о виде распределения случайной величины Т, а также в теории надежности - при определении доверительных границ.

Распределение хи-квадрат может быть определено как сумма квад­ратов n-независимых случайных величин с нулевым средним значением и единичным средним квадратическим отклонением. На рисунке 11 показа­ны формы кривых распределения.

Следует отметить, что при n = 1 кривая несимметрична, а при n = 6

уже приближается к симметричной. При n > 30 кривая χ² приближается к кривой нормального распределения.


Рисунок 11 Форма кривых χ² распределения для n = 1 и n = 6
15 Бета-рапределение случайной величины

В задачах математической статистики и теории надежности важное значение имеет бета-распределение, плотность вероятности которого задается формулой
, (114)
Математическое ожидание равно:
, (115)
Дисперсия выражается формулой:
, (116)

Графически плотность распределения изображена на рисунке 12.


Рисунок 12 Плотность бета-распределения
Если случайные величины ξ и η независимы, при этом величина ξ, распределена нормально с математическим ожиданием, равным нулю М[ξ]=0 и дисперсией, равной единице D[ξ] = 1, а величина η² имеет распределение χ² , то отношение ξ/η распределено по закону Стьюдента (Госсета) с плотностью вероятности вида:
, (117)
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
; , (118)
16 Закон равномерного распределения случайной величины

При решении практических задач часто встречаются случайные ве­личины, о которых известно, что их возможные значения лежат в некото­ром интервале, причем все значения случайной величины одинаково ве­роятны, т.е. обладают одной и той же вероятностью.

В качестве примера рассмотрим вертикально поставленное на оси симметричное колесо (рисунок 13), которое разгоняется и затем вследствие трения останавливается. Рассматривается случайная величина: φ - угол, который после остановки будет составлять с горизонтом фиксированный радиус колеса ОА. Очевидно, величина φ распределена с равномерной плотностью на участке (0, 2π).

Рассмотрим случайную величину Т, подчиненную закону равномер­ного распределения на участке от α до β (рисунок 14), и напишем для нее выражение плотности f(t).

Плотность распределения f(t) постоянна и равна с на отрезке (α, β); вне этого отрезка равна нулю: