1. Цели освоения дисциплины Математический анализ Целями освоения дисциплины Математический анализ

• Название: 1. Цели освоения дисциплины Математический анализ Целями освоения дисциплины Математический анализ
• Дата: 30.09.2022
• Размер: 1.75 Mb.
• Имя файла: matematicheskiy_analiz.pdf
• Тип: Документы; #706642
• страница: 3 из 4

Контрольные вопросы готовятся к каждому разделу. Примерный
перечень вопросов по дисциплине
.
1. Существование верхней и нижней грани ограниченного множества,
2. Различные определения сходящейся последовательности, ограниченность сходящейся последовательности.
3. Монотонные последовательности, критерий сходимости монотонной последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
4. Неравенство Бернулли, число “e”, вычисление пределов, связанных с числом “e”.
5. Предел функции в точке, различные определения предела в точке, свойства предела, связанные с арифметическими операциями.
6. Предельный переход в неравенствах.
7. Непрерывные функции в точке и их свойства, непрерывность элементарных функций.
8. Точки разрыва и их классификация.
9.Функции непрерывные на отрезке и их свойства. Равномерно непрерывные функции на множестве.
10. Обратная функция и ее непрерывность. Замечательные пределы
11. Дифференцируемые функции. Производная и дифференциал. Свойства производной, связанные с арифметическими операциями.
12 Теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
13. Производные и дифференциалы высших порядков, формулы Лейбница
14. Формула Тейлора, различные формы остаточного члена (форма Коши, Лагранжа,
Пеано).
15. Монотонность функции в точке и на отрезке, необходимые и достаточные условия.
16. Экстремумы функции, необходимое и достаточные условия.
17. Асимптоты и их нахождение.
18. Выпуклые и вогнутые функции, необходимые и достаточные условия выпуклости.
19. Правила Лопиталя, их применение к вычислению пределов
20. Исследование функции и построение графика.
21. Интеграл Римана, необходимое условие R-интегрируемости.
22. Обобщенный интеграл Римана, формула Ньютона-Лейбница
23..Критерий Коши R*-интегрируемости
24. Ступенчатые функции, их интегрируемость
25. R*-интегрируемость непрерывной и монотонной функции.
26. Теоремы о среднем для обобщенного интеграла Римана,.
27. Обобщенный интеграл Римана как несобственный. Теорема Хейка.
28. Обобщенный интеграл Римана на бесконечном промежутке. Признаки Абеля и
Дирихле сходимости несобственных интегралов .
29. Числовые ряд ы, сходимость, необходимое условие, критерий Коши.
30. Признаки сходимости рядов с положительными членами. Признаки сравнения, Коши,
Даламбера, интегральный.
31. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признаки условной сходимости: Дирихле,
Лейбница.
32. Перестановка членов абсолютно и условно сходящихся рядов. Теорема Римана.
33 Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
34. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей и рядов.
35.Степенной ряд, радиус сходимости, интервал сходимости.
36. Почленное интегрирование и дифференцирование степенного ряда в интервале сходимости
37. Степенной ряд как ряд тейлора.
38. разложение элементарных функций в степенные ряды.
39. Приближенное вычисление суммы числового и степенного ряда.
40.Внешняя мера множества на прямой.

41. Нуль-множества и нуль-функции, интегрирование нуль-функций.
42. Классификация первообразных, общая теорема об интегрируемости производной.
43. Интеграл с переменным верхним пределом, его непрерывность и дифференцируемость.
43.Абсолютно интегрируемые функции, пространство абсолютно интегрируемых вункций как линейное нормированное пространство.
44. Предельный переход под знаком интеграла (теоремы Леви, Фату и Лебега)
45. Приближение абсолютно интегрируемых функций ступенчатыми и непрерывными.
Теорема Римана-Лебега.
46. m-мерное арифметическое пространство
m
R , расстояние, норма и скалярное произведение в
m
R , топология в
m
R .
47. Сходящиеся и фундаментальные последовательности в
m
R , их свойства, критерий
Коши.
48. Теорема Больцано-Вейерштрасса в
m
R .
49. Компактные множества в
m
R .
50. Функции в
m
R , предел и непрерывность функции в точке, повторный предел функции в точке.
51. Свойства функций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве в
m
R .
52. Отображения из
m
R в
n
R , непрерывность сложного отображения.
53. Дифференцируемость скалярной функции многих переменных, частные производные.
Дифференциал функции.
54. Производная по направлению, градиент и его геометрический смысл.
55. Касательная плоскость к графику функции, уравнение касательной плоскости.
56. Непрерывность дифференцируемой функции.
57. Производная сложной функции.
58. Частные производные высших порядков, смешанные частные производные. Теорема о независимости смешанных частных производных от порядка дифференцирования.
59 Дифференциал высшего порядка, его выражение через частные производные.
60. Формула Тейлора для функций многих переменных, различные формы остаточного члена в формуле Тейлора.
61. Локальный экстремум функции многих переменных, необходимое условие.
62 Дифференциал второго порядка как квадратичная форма. Достаточное условие экстремума функции многих переменных в терминах второго дифференциала.
63. Якобиан отображения из
m
R в
m
R , Якобиан композиции отображений.
64. Теоремы существования и дифференцируемости неявной функции.
65. Условный экстремум, стационарные точки, необходимое условие.
66 Метод множителей Лагранжа, необходимое условие условного экстремума, достаточное условие условного экстремума.
67. Мера Жордана, множества, измеримые по Жордану
68. Интеграл Римана от функции многих переменных по прямоугольнику, интегрируемость непрерывной функции.
69. Повторный интеграл. Сведение двойного интеграла к повторному.
70. Замена переменных в кратном интеграле Римана.
71. Интегралы, зависящие от параметра. Переход к пределу, непрерывность, инегрируемость и дифференцируемость интегралов, зависящих от параметра.
72. Гамма-функция, бета-функция, их свойства.
73. Функций ограниченной вариации и их свойства.
74. Представление функции ограниченной вариации в виде разности двух монотонных функций.
75. Интеграл Римана-Стилтьеса, условия существования.
76. Интегрируемость в смысле Римана-Стилтьеса непрерывной на отрезке функции по функции ограниченной вариации.
77. Непрерывная кривая и ее длина.

78. Регулярная поверхность и ориентированная регулярная поверхность в трехмерном пространстве.
79. Площадь поверхности, ее инвариантность относительно параметризации и ориентации.
80. Криволинейный интеграл I типа, его независимость от параметризации и ориентации кривой. Определение и вычисление.
81. Криволинейный интеграл II типа, его независимость от параметризации кривой и зависимость от ориентации кривой. Вычисление криволинейного интеграла.
82. Интеграл по замкнутому контуру, формула Грина. Механический смысл криволинейного интеграла.
83. Поверхностный интеграла I типа, его независимость от параметризации и ориентации поверхности, определение и вычисление.
84. Поверхностный интеграла II типа, его независимость от параметризации поверхности и смена знака при смене ориентации поверхности, определение и вычисление.
85. Формулы Стокса и Гаусса-Остроградского.
86. Дивергенция и ротор тор как инварианты векторного поля.
87. Потенциальное векторное поле, критерий потенциальности поля.
88. Пространство L
2 и его полнота
89. Ортогональные функции, ортогональные и ортонормированные системы в L
2
, их линейная независимость.
90. Теорема о наименьшем уклонении. Неравенство Бесселя и сходимость ряда из квадратов коэффициентов Фурье.
91. Замкнутость и полнота ортогональных систем, эквивалентность этих понятий в пространстве L
2 92. Тригонометрическая система функций, ее ортогональность и полнота.
93 Тригонометрические ряды Фурье для суммируемых на отрезке функций.
94. Представление частных сумм тригонометрического ряда интегралом Дирихле.
Средние Фейера, теорема Фейера. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции тригонометрическими
95. Теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции и алгебраическими полиномами.
96. Теорема Римана-Лебега о коэффициентах Фурье.
97. Теорема Римана о локализации.
98. Признаки Липшица, Дирихле и Жордана сходимости тригонометрического ряда.
Равномерная сходимость тригонометрического ряда для гладких функций.
99. Комплексная форма тригонометрического ряда и его коэффициентов.
Тригонометрический ряд для произвольного отрезка вещественной оси.
100. Преобразование Фурье, обратное преобразование Фурье, формулы Фурье.
101. Интеграл Фурье для четных и нечетных функций, косинус-преобразование и синус- преобразование Фурье.
Контрольная работа №1
1 вариант.
1. Найти
N









n
n
n
n 1
)
1
(
sup
2. Найти предел
n
n
n
n
n
4 3
lim
3




3. Найти предел
!
3 4
lim
n
n
n
n




4. Найти предел
n
n
n
n





 


3
lim
5. Найти предел
2 3
2 6
lim
n
n
n
n
n




2 вариант.
1. Найти









N
n
n
n
n
:
11
)
1
(
inf
2. Найти предел
)!
2
(
4
lim
n
n
n


3. Найти предел
n
n
n
n









2 2
1
lim
4. Найти предел
3 2
12
lim
n
n
n
n



5. Найти предел
11 3
4
lim
3




n
n
n
Контрольная работа №2
1 вариант.
1. Найти предел
1 4
3
lim
2 1



x
x
x
2. Найти предел
2
sin sin lim
5 3
2 0
x
x
x
x

3. Найти предел









1
lim
1 2
x
x
e
x
4. Найти предел
3 1
2
lim
3




x
x
x
5. Найти предел
2 3
3 1
1
lim
x
x
x








 
2 вариант.
1. Найти предел
3 2
2 3
lim
2 3
1





x
x
x
x
x

2. Найти предел
2
sin lim
2 2
0
x
arctg
x
x

3. Найти предел
1 2
sin lim
6 0


x
x
e
x
4. Найти предел











x
x
x
x
x
lim
5. Найти предел
x
x
x
x
x
x
sin
2
sin
0
sin lim








Контрольная работа №3
1 вариант.
1. Найти интеграл


x
x
dx
)
1
(
2. Найти интеграл


dx
xe
x
3. Найти интеграл



dx
x
x
2 1
4. Найти интеграл




dx
x
x
x
x
6 5
1 2
3 3
5. Найти интеграл


x
x
dx
sin
)
cos
2
(
6. Найти интеграл



2 1
2 1
2 1 x
dx
2 вариант.
1. Найти интеграл

2 1
sin
x
dx
x
2. Найти интеграл

dx
x
arctg
3. Найти интеграл



dx
x
x
x
2 5
4. Найти интеграл


dx
x
1 1
4 5. Найти интеграл


x
x
xdx
3 3
cos sin sin

6. Найти интеграл


2 0
|
1
|
dx
x
Контрольная работа №4
1 вариант.
1. Исследовать на сходимость ряд



1 8
2
n
n
n
2. Исследовать на сходимость ряд


1 2
)!
2
(
)
!
(
n
n
n
3. Исследовать на сходимость ряд
 

1 2
sin
)
1
(
n
n
n
n
4. Исследовать на сходимость ряд
 


1 1
0 2
1
n
n
dx
x
x
5. Исследовать на сходимость ряд




1 3
n
n
e
2 вариант.
1. Исследовать на сходимость ряд


1 1
n
n
n
2. Исследовать на сходимость ряд


1
!
3
n
n
n
n
n
3. Исследовать на сходимость ряд





2
)
1
(
1
)
1
(
n
n
n
n
4. Исследовать на сходимость ряд
 


1 0 3
1
sin
n
n
dx
x
x

5. Исследовать на сходимость ряд


1
!
n
n
n
n
Контрольная работа №5
1 вариант.
1. Найти двойной предел
x
xy
a
y
x
sin lim
0


2.
Доказать, что функция







2
x
y
f
x
z
n
удовлетворяет уравнению
xz
y
z
y
x
z
x






2

3. Найти
y
x
z



2
, если
0
)
,
(
2 2
2





z
y
x
z
y
x
F
4. Преобразовать к полярным координатам уравнение
)
'
1
(
2
)
'
(
2 2
y
xy
y
xy



5. Исследовать на экстремум
2 2
1
y
x
z



2 вариант.
1. Найти двойной предел
2 2
)
(
lim
2 2
0
y
x
a
y
x
y
x



2. Доказать, что функция


2 2
y
x
yf
z


удовлетворяет уравнению
xz
y
z
xy
x
z
y






2 3. Найти
2 2
x
z


, если
0
)
,
(

yz
xz
F
4. Преобразовать выражение
2 2

















y
z
x
z
, полагая
)
(
2 1
,
2 2
v
u
y
uv
x



,
5. Исследовать на экстремум
)
(
2 2
2 2
)
(
y
x
e
y
x
z




Контрольная работа №6
1 вариант.
1. Изменить порядок интегрирования





x
x
dy
y
x
f
dx
2 1
4 2
6 2
)
,
(
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью
,
2 2
y
x
z


2 2
2
,
,
2 2
x
y
x
y
y
x
z




3. Вычислить интеграл



1 1
x
xy
q
p
y
x
dy
dx
4. Выразить через Эйлеровы интегралы

2 0
7 3
cos sin

xdx
x
2 вариант.
1. Изменить порядок интегрирования


x
e
dy
y
x
f
dx
ln
0 1
)
,
(
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями
,
,
xy
z
y
x
z



0
,
,
1




y
o
x
y
x

2.Вычислить интеграл



2 2
)
(
2 2
y
x
p
y
x
dy
dx
4. Выразить через Эйлеровы интегралы



0
dx
e
x
n
x
m
План самостоятельной работы.
1 семестр. Метод сечений Дедекинда построения действительных чисел.
Натуральные числа как мощности конечных множеств. Остаток формулы Тейлора в форме Шлемильха-Роша. Формула Тейлора для степенной функции. Неравенство Йенсена и его приложения. Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных.
Методы анализа в геометрии.
2 семестр. Методы вычисления неопределенных интегралов. Интегрирование рациональных выражений. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Подстановки
Эйлера. Геометрическая трактовка подстановок Эйлера. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательные функции. Эллиптические интегралы.
Приближенное вычисление интегралов . Методы прямоугольников и трапеций.
Применение определенного интеграла при вычислении механических и физических величин. Двойные числовые ряды, повторные ряды, их сходимость. Вычисления логарифмов и корней с помощью рядов. Суммирование расходящихся числовых рядов.
Метод средних арифметических. Регулярные методы суммирования.