1. Цели освоения дисциплины Математический анализ Целями освоения дисциплины Математический анализ
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
4. Бесконечные, счетные и несчетные множества. Конечные и бесконечные множества. Добавление элемента к конечному множеству. Счетные множества, простейшие свойства. Счетность множества рациональных чисел. Существование несчетных множеств. Множества мощности континуум. 5. Теоремы о множествах. Теорема Кантора-Коши о вложенных отрезках , лемма Бореля-Лебега о конечном покрытии. Окрестность точки, предельные точки множества. Лемма Гейне-Бореля. 6. Числовая последовательность и ее предел. Различные определения предела последовательности, единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Арифметические операции над пределами, предельный переход в неравенства. Фундаментальная последовательность. Монотонная последовательность, критерий сходимости. Подпоследовательность и ее предел, выделение сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности. Неравенство Бернулли. Число Непера и другие замечательные пределы. Формула бинома Ньютона. Верхний и нижний пределы последовательности. 7. Предел функции в точке. Предел функции в точке, различные определения, определение предела по Гейне. Единственность предела, предельный переход в неравенствах. Арифметические операции над пределами, предел сложной функции. Критерий Коши. Бесконечно малые функции, сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы. Первый замечательный предел. Бесконечные пределы и пределы в бесконечно удаленной точке. 8. Непрерывность функции в точке. Различные определения непрерывной функции, сохранение знака в точке непрерывности. Арифметические операции над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции. Непрерывность многочлена и тригонометрических функций. Односторонняя непрерывность, разрывные функции. классификация точек разрыва. 9. Функции, непрерывные на отрезке Равномерно непрерывные функции, теорема Кантора. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Компактные множества, непрерывный образ компактного множества. Обратная функция. Существование и непрерывность обратной функции у монотонной непрерывной функции. Обратные тригонометрические функции, их непрерывность. Возведение положительного числа в действительную степень. Степенная и показательная функция. Логарифмическая функция как обратная к показательной. Пределы, связанные с показательной и логарифмической и показательной функциями. 10. Производная и дифференциал. Производная, ее геометрический и физический смысл. Дифференцируемая функция. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения и частного. Производная сложной и обратной функции. Производные элементарных функций. Дифференциал, инвариантность формы 1- го дифференциала. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. 11. Производные и дифференциалы высших порядков. Производные высших порядков, формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков, формула Лейбница. 12. Формулы Тейлора. Формула Тейлора для многочлена. Многочлен Тейлора, Формула Тейлора для произвольной функции. Остаток формулы Тейлора в формах Лагранжа, Коши и Пеано. , 13. Формулы Тейлора элементарных функций. Формулы Тейлора для показательной, логарифмической, тригонометрической и степенной функции. 14. Монотонные функции в точке и на отрезке. Монотонность функции в точке, достаточное условие, необходимое условие. Монотонность функции на отрезке, необходимое и достаточное условие. Исследование функции на монотонность. 15.Экстремум функции. Понятие экстремума. Необходимое условие экстремума. 1-е достаточное условие экстремума, 2-е достаточное условие экстремума, 2-е достаточное условие экстремума, в общем виде. К асательная и ее уравнение. 16. Выпуклость функции, точки перегиба. Выпуклость графика функции в точке, критерий выпуклости в точке. Достаточное условие выпуклости в точке в терминах знака производной. Точка перегиба графика. Выпуклость функции на отрезке, критерий выпуклости. 17. Построение графиков. Асимптоты графика функции, их уравнение. Построение графика функции. 18. Правила Лопиталя. Правило Лопиталя для неопределенности виды 0/0 и ∞/∞. Применение правила Лопиталя для вычисления пределов. 19. Обзорная лекция по материалу 1-го семестра. 20. Первообразная и её вычисление. Первообразная и ее свойства. Неопределенный интеграл как совокупность первообразных, свойства неопределенного интеграла. Замена переменных и интегрирование по частям в неопределенном интеграле. 21. Обобщенный интеграл Римана, формула Ньютона – Лейбница. Отмеченные разбиения, δ-конечные разбиения, существование δ-конечных разбиений, интегральные суммы, обобщенный интеграл Римана. Интегрируемость производной, формула Ньютона- Лейбница. Интеграл Римана. Единственность интеграла, интегрируемость суммы и произведения на число. Замена переменной и интегрирование по частям. Свойства интеграла, связанные с неравенствами. 22. Классы интегрируемых функций, теоремы о среднем. Критерий Коши интегрируемости. Интеграл как аддитивная функция промежутка. Теорема сжатия. Ступенчатые функции их интегрируемость. Интегрируемость непрерывной и монотонной функции. Теоремы о среднем. 23. Приложения интеграла Римана. Площадь подграфика. Геометрический смысл интеграла. Общая схема применения интеграла. Применение интеграла при решении физических задач. 24. Числовые ряды. Числовой ряд, сходимость, необходимое условие сходимости. Критерий Коши. Добавление и отбрасывание конечного числа членов ряд. Арифметические операции над сходящимися рядами. Числовые ряды с положительными членами, критерий сходимости, признаки сравнения, признаки Коши, Даламбера, интегральный. Обобщенный гармонический ряд. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда. Признаки Даламбера и Лейбница условной сходимости. Перестановка членов условно сходящегося ряда. Теорема Римана. 25. Функциональные последовательности и ряды. Функциональная последовательность, поточечная и равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Непрерывность предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных последовательностей. Функциональные ряды, равномерная и поточечная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов. 26. Степенные ряды. Степенной ряд, теорема Абеля. Радиус сходимости, интервал сходимости, теорема Коши-Адамара. Интегрирование и дифференцирование рядов в интервале сходимости. Бесконечная дифференцируемость степенного ряда в интервале сходимости. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение элементарных функций в степенные ряды 27. Приближенные вычисления с помощью рядов. Приближенное вычисление суммы числового ряда. Вычисление интегралов с помощью рядов. 28. Нуль-множества на прямой. Открытые и замкнутые множества на прямой. Структура открытого множества на прямой. Мера открытого множества. Внешняя мера множества и ее свойства. Нуль-множества. 29. Классификация первообразных, общая теорема об интегрируемости производной. Нуль-функции, классификация первообразных, общая теорема об интегрируемости производной. 30. Интеграл с переменным верхним пределом. Лемма Сакса-Хестока. Неопределенный обобщенный интеграл Римана, его непрерывность. Обобщенный интеграл Римана как несобственный интеграл, теорема Хейка. Покрытия Витали, теорема Витали. Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу. 31. Абсолютно интегрируемые функции (интегрируемые по Лебегу). Абсолютно и условно интегрируемые функции. Функции ограниченной вариации, критерий абсолютной интегрируемости. Признак сравнения абсолютной интегрируемости. 32. Предельный переход под знаком интеграла. Теоремы Лебега, Леви и Фату о предельном переходе под знаком обобщенного интеграла Римана. 33. Сходимость в среднем, теорема Римана- Лебега. Сходимость в среднем, теорема Лебега. Приближение интегрируемых функций почти всюду ступенчатыми и непрерывными функциями. Измеримые функции. Приближение абсолютно интегрируемых функций в среднем. Теорема Римана-Лебега. 34. Обобщенный интеграл Римана на бесконечном промежутке как предел интегралов по конечному промежутку. Критерий Коши. Признаки Абеля и Дирихле. Теоремы Лебега Леви и Фату о предельном переходе. 35. Интеграл Римана- Стилтьеса. Интеграл Римана- Стилтьеса, критерий Коши. Интеграл Римана- Стилтьеса от непрерывной функции. Теорема о среднем. Интегрирование по частям. 36. Пр-во m R как линейное нормированное пр-во. Метрические пространства, предел последовательности, предельные точки, открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. Полные метрические пространства, принцип вложенных шаров. Линейное нормированное пространство, связь нормы с расстоянием. Линейное пространство со скалярным произведением, неравенство Коши-Буняковского. Пр-во m R как линейное нормированное пр-во, эквивалентные нормы в m R , 37. Мн-ва в m R компактные множества. Предел последовательности точек в m R , полнота пространства m R . Компактные множества в m R , компактность единичного куба. Структура компактного множества в m R . Структура открытого множества в m R 38. Функции в m R , предел функции. Различные определения предела в точке, свойства предела. Предел по направлению. Повторные пределы. 39. Непрерывные функции в m R . Непрерывность в точке, свойства непрерывных функций, , непрерывные функции на компактных множествах. Непрерывные отображения из m R в m R 40. Частные производные 1-го порядка. Частные производные, дифференцируемые функции, дифференцируемость функции, имеющей непрерывные частные производные. Производная по направлению, вектор градиент. Дифференциал функции, касательная плоскость.. 41. Частные производные и дифференциал высших порядков. Частные производные высших порядков, независимость от порядка дифференцирования. Дифференциал высших порядков, Выражение для дифференциала. . 42. Формула Тейлора, экстремум функции в m R . Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа и Пеано. Э кстремум функции, необходимое условие, достаточное условие. Случай размерности 2. 43. Неявные функции. Постановка задачи, первая теорема о неявных функциях, вторая теорема о неявных функциях. Матрица Якоби, Якобиан, общая теорема о неявных функциях. 44. Условный экстремум. Постановка задачи. Необходимое условие. Стационарные точки, критерий стационарности. Метод множителей Лагранжа, необходимое условие, достаточное условие. 45. Интеграл Римана на m- мерном промежутке. m- мерный промежуток и его мера, разбиение промежутка, интегральные суммы, интеграл Римана. Критерий Лебега интегрируемости по Риману. Верхний и нижний интегралы, критерий Дарбу. . 46. Интеграл Римана по области. Мера Жордана. Интеграл как линейный оператор. Оценки интеграла. 47. Сведение кратного интеграла к повторному. Теорема Фубини, следствия, принцип Кавальери. 48. Замена переменной в кратном интеграле. Измеримые множества и гладкие отображения. Одномерный случай, случай простейшего диффеоморфизма, общий случай. Сферические и цилиндрические координаты. 49. Несобственные кратные интегралы. Основные понятия, признак сравнения, замена переменных. 50. Приложения кратных интегралов. Вычисление объемов, массы, статических моментов, центра тяжести. 51. Интегралы от параметра. Предельный переход по параметру под знаком интеграла, непрерывность по параметру, дифференцируемость и интегрируемость по параметру. 52. Эйлеровы интегралы. Эйлеровы интеграля 1 и 2 рода, область определения, дифференцируемость. 53. Кривая в m R и её длина. Вариация вектор функции, ее свойства. Кривая в пространстве и ее параметризация. Длина кривой как вариация вектор-функции. Вычисление длины кривой. Криволинейные интегралы, определение и вычисление, формула Грина. 54. Поверхность в 3 R . Поверхности в 3 R и их свойства. Односторонние и двусторонние поверхности. . 55. Площадь поверхность в 3 R . Понятие площади поверхностности, ее вычисление. 56. Поверхностные интегралы в 3 R . Поверхностные интегралы 1-го и 2-го рода, определение и вычисление. 57. Ротор и дивергенция линейного оператора. Ротор и дивергенция линейного оператора как инварианты оператора. Их вычисление в декартовых координатах. 58. Ротор и дивергенция векторного поля как ротор и дивергенция оператора дифференцирования. Определение и вычисление в декартовых координатах. Вектор НАБЛА. 59. Основные интегральные формулы анализа. Скалярные и векторные поля, формула Гаусса-Остроградского, формула Стокса. 60. Потенциальные поля. Градиент скалярного поля, потенциальные и соленоидальные поля. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. 61. Приложения теории поля к задачам механики. Поток вектора через поверхность, стоки и источники. Уравнение неразрывности. 62. Пр-во 2 L , ОНС в пр-ве 2 L . Теорема о минимуме уклонения, неравенство Бесселя, равенство Парсеваля, замкнутые и полные системы. 63. Тригонометрическая система, ее полнота, ряд Фурье. Ортогональность тригонометрической системы. Ряд Фурье в действительной и комплексной форме. Ядро Дирихле, выражение частичной суммы через ядро Дирихле. 64. Сходимость ряда Фурье в точке. Теорема Римана-Лебега. Сходимость ряда Фурье в точке, теорема Признак Дини. 65. Суммируемость рядов Фурье. Средние Фейера, ядро Фейера, суммируемость ряда Фурье непрерывной функции методом Фейера. 66. Равномерная сходимость рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда Фурье. Порядок убывания коэффициентов Фурье. Равномерная сходимость рядов Фурье. 67. Ряды Фурье функций из классов Гельдера. Условия Гельдера, классы Гельдера, сходимость рядов Фурье функций из классов Гельдера. 68. Интеграл Фурье, формула обращения. Интеграл Фурье, преобразование Фурье, теорема Планшереля. Дифференцируемость интеграла Фурье. 69. Кратные ряды Фурье. Кратная тригонометрическая система, ее ортогональность. Кратный ряд Фурье. Прямоугольные, кубические и сферические средние. 5. Образовательные технологии, применяемые при освоении дисциплины Подготовлен электронный вариант лекционного курса, который предлагается студентам. При проведении лекционных и практических занятий предусматривается использование информационных технологий, включающих пакеты стандартных статистических программ: Statistica, SPSS и др. Использование информационных технологий осуществляется, в частности, в процессе реализации активных и интерактивных форм проведения занятий. При чтении лекций в качестве материала, иллюстрирующего возможности математического моделирования в различных ситуациях, активно используются примеры из практики обработки данных в процессе исследований в предметной области. Информационные и интерактивные технологии используются при обсуждении проблемных и неоднозначных вопросов, требующих выработки решения в ситуации неопределенности. Удельный вес занятий, проводимых в интерактивных формах, определяется главной целью (миссией) программы, особенностью контингента обучающихся и содержанием конкретных дисциплин, и в целом в учебном процессе они должны составлять не менее 30 % аудиторных занятий. Особенности проведения занятий для граждан с ОВЗ При обучении лиц с ограниченными возможностями используются подходы, способствующие созданию безбарьерной образовательной среды: технологии дифференциации и индивидуализации обучения, применение соответствующих методик по работе с инвалидами, использование средств дистанционного общения. Для студентов с ограниченными возможностями здоровья предусмотрены следующие формы организации учебного процесса и контроля знаний: -для слабовидящих: обеспечивается индивидуальное равномерное освещение не менее 300 люкс; для выполнения контрольных заданий при необходимости предоставляется увеличивающее устройство; задания для выполнения, а также инструкция о порядке выполнения контрольных заданий оформляются увеличенным шрифтом (размер 16-20); - для глухих и слабослышащих: обеспечивается наличие звукоусиливающей аппаратуры коллективного пользования, при необходимости студентам предоставляется звукоусиливающая аппаратура индивидуального пользования; - для лиц с тяжелыми нарушениями речи, глухих, слабослышащих все контрольные задания по желанию студентов могут проводиться в письменной форме. Основной формой организации учебного процесса является интегрированное обучение инвалидов, т.е. все студенты обучаются в смешанных группах, имеют возможность постоянно общаться со сверстниками, легче адаптируются в социуме. 6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины. Самостоятельная работа студентов предполагает индивидуальную работу с учебно- методической литературой: учебниками, задачниками, конспектами лекций, методическими пособиями. Консультации лектора помогают усвоению материала. Контроль за успеваемостью осуществляется в форме бесед учебного и творческого характера, опроса, индивидуальных заданий, контрольных работ, коллоквиумов. Часть самостоятельных занятий посвящена выполнению домашних заданий и подготовке к семинарам, докладам, обсуждениям, дискуссиям. Проверка домашних заданий проводится на практических занятиях. |