1. Цели освоения дисциплины Математический анализ Целями освоения дисциплины Математический анализ
 Скачать 1.75 Mb.
|
|
1. Цели освоения дисциплины «Математический анализ» Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются знакомство студентов с теорией и практикой дифференциального и интегрального исчисления, числовыми и функциональными рядами, теорией действительных чисел и другими разделами математического анализа. Эта фундаментальная дисциплина служит базисом для всех математических и прикладных курсов, основанных на концепции непрерывности. Освоение математического анализа вооружает обучающихся мощным классическим и современным аппаратом исследования и решения широкого круга задач механики, физики, химии, биологии, экономики и других отраслей знания. Математический анализ – самый насыщенный, емкий курс в системе математического образования в российских и зарубежных университетах. 2.Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата Базовая часть блока Б.1 «Дисциплины (модули)». Дисциплина «Математический анализ» относится к основным курсам на математических и физических факультетах университетов. Она включает в себя основные разделы классического дифференциального и интегрального исчисления и дополнительные главы современного математического знания. Дисциплина столь необходима для современного образования, что ее начальные главы входят в программу средней школы и среднего специального образования. Методы математического анализа используются в теории функций действительного и комплексного переменного, теории дифференциальных и интегральных уравнений, математической физике, вариационном исчислении, теории оптимального управления, теории вероятностей и математической статистике, теории меры, топологии, дифференциальной геометрии, теории операций и игр, системном анализе, численных методах вычислительной математики. Содержание курса имеет классическую терминологию и методологию, сходную с другими областями классической и современной математики. Его изучение не требует предварительной подготовки, выходящей за рамки школьного курса. В свою очередь, знание математического анализа необходимо для освоения перечисленных дисциплин, каждая из которых применяет в своем изложении методы и содержание математического анализа и умение решать исследовательские задачи, строить графики функций, дифференцировать и интегрировать и осуществлять грамотную постановку задачи. 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Математический анализ»: способностью работать в коллективе, толерантно воспринимая социальные, этнические, конфессиональные и культурные различия (ОК-6); способностью к самоорганизации и к самообразованию (ОК-7); готовностью использовать фундаментальные знания в области математического анализа, комплексного и функционального анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений, дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей профессиональной деятельности (ОПК-1); способностью к самостоятельной научно-исследовательской работе (ОПК-3). В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: постановку задач и основное содержание математического анализа, методологию исследования функций, правила действий в условиях исчисления бесконечно малых величин и перехода к интегрированным системам. Уметь: дифференцировать и интегрировать, исследовать ряды и последовательности на сходимость, решать экстремальные задачи, строить графики функций, решать уравнения и неравенства. Владеть: методами постановки, анализа и решения задач дифференциального и интегрального исчисления, навыками самостоятельного решения задач теоретического и прикладного характера. 4. Структура и содержание дисциплины «Математический анализ» Общая трудоемкость дисциплины составляет 34 зачетных единицы 1224 часов. Лекции – 272 часа Практические занятия – 272 часа Самостоятельная работа 384 часа Продолжительность курса – 4 семестра. № п/п Раздел дисциплины Семе стр Не дел я сем ес тр а Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах) Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Формы промежуточной аттестации (по семестрам) Ле кц Л а б Прак т КС Р СР С 1 Введение I 1 2 2 4 Опрос 2 Теория бесконечных множеств I 1 2 2 4 Беседа, вопросы 3 Границы и грани множеств I 2 2 2 5 Беседа, вопросы 4 Предел последовательности I 2 2 2 4 Проверка домашнего задания 5 Свойства последовательносте й I 3 2 2 5 Индивидуальное задание 6 Верхний предел I 3 2 2 4 Экспресс-опрос 7 Теорема Больцано- Вейерштрасса I 4 2 2 5 Беседа, вопросы 8 Ряды, признаки сходимости I 4 2 2 4 Консультация 9 Абсолютная сходимость ряда I 5 2 2 5 Консультации 10 Условная сходимость ряда I 5 2 2 4 Беседа, опрос 11 Свойства сходящихся рядов I 6 2 2 5 Проверка домашнего задания 12 Предел и непрерывность функции I 6 2 2 4 Консультация 13 Односторонние пределы I 7 2 2 1 5 Коллоквиум 14 Равномерная непрерывность I 7 2 2 4 Беседа, опрос 15 Теоремы Вейерштрасса I 8 2 2 5 Консультация 16 Теорема о промежуточном значении I 8 2 2 4 Проверка индивидуального задания 17 Дифференцируемос ть функции I 9 2 2 5 Курсовое задание 18 Вычисление производных I 9 2 2 5 Контрольная работа 19 Теоремы о среднем значении I 10 2 2 5 Беседа, опрос 20 Правило Лопиталя I 10 2 2 4 Коллективное решение задач 21 Формула Тейлора I 11 2 2 5 Беседа, опрос 22 Экстремум функции I 11 2 2 1 5 Самопроверка 23 Выпуклость функции I 12 2 2 5 Взаимная проверка 24 Неопределенный интеграл I 12 2 2 4 Беседа, опрос 25 Площадь криволинейной трапеции I 13 2 2 5 Проверка домашнего задания 26 Интеграл от ступенчатых функций I 13 2 2 5 Консультация 27 Интеграл Римана I 14 2 2 5 Консультации 28 Критерий интегрируемости I 14 2 2 4 Коллективное решение задач 29 Интегрируемость непрерывной функции I 15 2 2 5 Беседа, опрос 30 Формула Ньютона- Лейбница I 15 2 2 4 Экспресс-опрос 31 Теоремы о среднем интеграла Римана I 16 2 2 5 Беседа, опрос 32 Несобственные интегралы I 16 2 2 5 Проверка домашнего задания 33 Признаки сходимо- сти несобственных интегралов I 17 2 2 5 Проверка курсового задания 34 Интерполяционные формулы I 17 2 2 4 Консультация 35 Приближенное вычисление интегралов I 18 2 2 5 Контрольная работа 36 Оценка погрешности I 18 2 2 5 ВСЕГО за 1 семестр- 288 72 72 2 70 72 – Экзамен 2 контрольных работы 37 Функциональные II 1 2 2 6 Опрос последовательности и ряды 38 Равномерная сходимость II 1 2 2 8 Беседа, вопросы 39 Признаки равномерной сходимости II 2 2 2 7 Беседа, вопросы 40 Степенные ряды II 2 2 2 7 Индивидуальное задание 41 Теорема Коши- Адамара II 3 2 2 7 Беседа, опрос 42 Разложение элементарных функций II 3 2 2 1 7 Экспресс-опрос 43 Векторное пространство II 4 2 2 7 Проверка домашнего задания 44 Предел последовательности II 4 2 2 7 Консультация 45 Свойства сходящихся последовательносте й II 5 2 2 7 Беседа, вопросы 46 Предел и повторный предел II 5 2 2 7 Проверка курсового задания 47 Теоремы Кантора и Вейерштрасса II 6 2 2 7 Консультация 48 Дифференцируемос ть функции многих переменных II 6 2 2 7 Коллоквиум 49 Частные производные и градиент II 7 2 2 7 Беседа, опрос 50 Производная по направлению II 7 2 2 7 Взаимная проверка 51 Производные высших порядков II 8 2 2 7 Консультация 52 Формула Тейлора II 8 2 2 7 Контрольная работа 53 Экстремум функции многих переменных II 9 2 2 7 Проверка на внимание 54 Верхний и нижний интегралы II 9 2 2 1 7 Проверка индивидуального задания 55 Интеграл Римана функции многих переменных II 10 2 2 7 Беседа, опрос 56 Повторный интеграл Римана II 10 2 2 7 Коллективное решение задач 57 Теорема Дини-Леви II 11 2 2 7 Беседа, вопросы 58 Интеграл Лебега II 11 2 2 7 Самопроверка 59 Теорема Леви II 12 2 2 6 Консультация 60 Теорема Фату II 12 2 2 6 Консультация 61 Теорема Лебега II 13 2 2 6 Беседа, опрос 62 Измеримые функции II 13 2 2 8 Беседа, опрос 63 Связь интегралов Римана и Лебега II 14 2 2 6 Коллективное решение задач 64 Теорема Фубини II 14 2 2 6 Беседа, опрос 65 Измеримые множества II 15 2 2 6 Проверка курсового задания 66 Счетная аддитивность интеграла Лебега II 15 2 2 6 Консультация 67 Непрерывность меры Лебега II 16 2 2 6 Контрольная работа 68 Множества Лебега измеримой функции II 16 2 2 6 ВСЕГО за 2 семестр- 324 64 64 2 122 72 – Экзамен 2 контрольных работы 69 Метрические пространства III 1 2 2 2 Опрос 70 Открытые и замкнутые множества III 1 2 2 2 Беседа, вопросы 71 Полные метрические пространства III 2 2 2 2 Беседа, вопросы 72 Критерий полноты III 2 2 2 2 Индивидуальное задание 73 Компактные множества III 3 2 2 2 Проверка домашнего задания 74 Критерий компактности III 3 2 2 2 Экспресс-опрос 75 Теорема Хаусдорфа III 4 2 2 2 Беседа, вопросы 76 Теорема Арцела- Асколи III 4 2 2 2 Консультация 77 Непрерывные отображения III 5 2 2 2 Беседа, опрос 78 Принцип сжатых отображений III 5 2 2 2 Беседа, опрос 79 Линейные пространства III 6 2 2 2 Проверка домашнего задания 80 Банаховы пространства III 6 2 2 2 Консультация 81 Линейные операторы III 7 2 2 1 2 Коллоквиум 82 Норма линейного оператора III 7 2 2 2 Беседа, опрос 83 Произведение линейных операторов III 8 2 2 2 Проверка индивидуального задания 84 Дифференцируемос ть по Фреше III 8 2 2 2 Самопроверка 85 Теорема Лагранжа III 9 2 2 2 Беседа, опрос 86 Дифференцируемос ть по Гато III 9 2 2 2 Контрольная работа 87 Формула Тейлора III 10 2 2 4 Беседа, опрос 88 Условия экстремума функционала III 10 2 2 4 Коллективное решение задач 89 Существование неявной функции III 11 2 2 4 Беседа, опрос 90 Существование обратной функции III 11 2 2 4 Беседа, опрос 91 Независимые системы функций III 12 2 2 4 Взаимная проверка 92 Условный экстремум III 12 2 2 4 Консультация 93 Замена переменных в интеграле Лебега III 13 2 2 4 Беседа, опрос 94 Интеграл Лебега, зависящий от параметра III 13 2 2 1 4 Конкурсное решение задач 95 Гамма-функция III 14 2 2 4 Беседа, опрос 96 Бета-функция III 14 2 2 4 Проверка домашнего задания 97 Несобственный интеграл, зависящий от параметра III 15 2 2 4 Беседа, опрос 98 Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов III 15 2 2 4 Викторина 99 Вычисление интеграла Дирихле III 16 2 2 4 Аттестация 100 Гладкие кривые и поверхности III 16 2 2 4 Проверка курсового задания 101 Ориентация гладких кривых и поверхностей III 17 2 2 4 Выборочная проверка 102 Длина гладкой кривой III 17 2 2 4 Консультация 103 Криволинейный интеграл I типа III 18 2 2 2 Контрольная работа 104 Криволинейный интеграл II типа III 18 2 2 6 Экзамен ВСЕГОза 3 семестр- 324 72 72 2 106 72 – Экзамен 2 контрольных работы 105 Площадь гладкой поверхности IV 1 2 2 4 Опрос 106 Поверхностный интеграл I тип IV 1 2 2 4 Беседа, вопросы 107 Поверхностный интеграл II типа IV 2 2 2 4 Беседа, вопросы 108 Формула Грина IV 2 2 2 4 Индивидуальное задание 109 Потенциальное поле IV 3 2 2 4 Проверка домашнего задания 110 Формула Стокса IV 3 2 2 4 Экспресс-опрос 111 Формула Гаусса- Остроградского IV 4 2 2 4 Беседа, вопросы 112 Функциональные пространства IV 4 2 2 4 Консультация 113 Неравенство Гельдера IV 5 2 2 2 Беседа, опрос 114 Неравенство Минковского IV 5 2 2 2 Беседа, опрос 115 Гильбертово пространство IV 6 2 2 2 Проверка домашнего задания 116 Ряды Фурье IV 6 2 2 1 4 Консультация 117 Полные и замкнутые системы IV 7 2 2 4 Коллоквиум 118 Тригонометрически е системы IV 7 2 2 4 Беседа, опрос 119 Интеграл Дирихле IV 8 2 2 4 Проверка индивидуального задания 120 Теорема Фейера IV 8 2 2 2 Самопроверка 121 Теоремы Вейерштрасса о полиномах IV 9 2 2 4 Беседа, опрос 122 Теорема Ляпунова о полноте IV 9 2 2 2 Коллективное решение задач 123 Теорема Римана- Лнбега IV 10 2 2 4 Беседа, опрос 124 Класс функций Липшица IV 10 2 2 4 Беседа, опрос 125 Признаки сходи- мости тригономет- рических рядов IV 11 2 2 2 Взаимная проверка 126 Комплексные тригонометрически е ряды IV 11 2 2 2 Консультация 127 Разложение функций в ряд Фурье IV 12 2 2 2 Подготовка к олимпиаде 128 Интеграл Фурье IV 12 2 2 2 Беседа, опрос 129 Признаки сходимости интеграла Фурье IV 13 2 2 2 Проверка домашнего задания 130 Преобразование Фурье IV 13 2 2 1 2 Беседа, опрос 131 Функции ограниченной вариации IV 14 2 2 2 Экспресс-опрос 132 Свойства вариации IV 14 2 2 2 Проверка курсового задания 133 Теорема Жордана IV 15 2 2 2 Контрольная работа 134 Интеграл Стилтьеса IV 15 2 2 2 Выборочная проверка 135 Интеграл Римана- Стилтьеса IV 16 2 2 Консультация 136 Интеграл Лебега- Стилтьеса IV 16 2 2 ВСЕГО - 288 64 64 2 86 72 – Экзамен 1 контрольная работа ИТОГО - 1224 272 272 8 384 288 - Экзамены 7 контрольных работ СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ 1.Элементы логики и теории множеств. Высказывания истинные, ложные, действия над высказываниями, формулы высказываний, таблица истинности. Предикаты, множество истинности предиката, кванторы общности, существования. Множество, отношение принадлежности, включение и равенство множеств. Операции над множествами. Способы задания множеств. Задание множества с помощью характеристического свойства. 2. Отношения отображения, функции. Декартово произведение, отношение между множествами как подмножество декартова произведения. Свойства отношений. Отношение эквивалентности. Разбиение на классы эквивалентных элементов. Отношение строгого и нестрогого порядка. Сечение отношения, отображения. Классификация отображений. Функция как отображение. Способы задания функций. Композиция отображений, тождественное отображение, обратное отображение. 3. Аксиоматическая теория действительных чисел. Аксиомы множества действительных чисел, аксиома непрерывности. Свойства, следующие из аксиом. Ограниченные множества, верхняя и нижняя грани множества. Верхняя и нижняя грани функции. Индуктивные множества. Множество натуральных чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Принцип математической индукции. Свойства натуральных чисел. Целые числа, групповое свойство целых чисел. Рациональные числа. Существование иррациональных чисел. Принцип Архимеда и следствия из него. Абсолютная величина числа, неравенство треугольника. Множества на числовой прямой: интервал, полуинтервал, отрезок. Представление действительного числа в виде бесконечной десятичной дроби. |