математика ответы. Математика экзамен (вып.). 1. Числовые выражения

• Название: 1. Числовые выражения
• Анкор: математика ответы
• Дата: 20.01.2021
• Размер: 0.71 Mb.
• Имя файла: Математика экзамен (вып.).docx
• Тип: Документы; #170002
• страница: 3 из 3

II Единственность: покажем, что сумма a+b единственна и не зависит от выбора представителей в классах эквивалентности.

Пусть числа a и b кроме множеств А и В определяют множества А1 и B1, и пусть с1 = m (A1B1). Покажем, что с = с1 (а это будет тогда, когда АВA1B1).

Дано: A A1, B B1, A1 B1=A B = Ø.

Доказать: A B A1 B1.

Для того, чтобы показать, что А В , нужно показать, что между ними существует хотя бы одно взаимно однозначное соответствие. Построим его.



Т.о. будет взаимно однозначно поставлен элемент из множестваА1В1 =>.



Операция отыскания суммы называется сложением.

20. Разность целых неотрицательных чисел . (Задачи, определение, теорема, правила, свойства )

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется целое неотрицательное число (a-b), равное числу элементов в дополнении множества В до множества А при условии, что m(A)=a, m(B)=b и BA

а – b = m (A\B), где a = m (A), b = m (B) и BA

Действие отыскания разности называется вычитанием. При этом записывают a – b = c.

Например, A ={a,b,c,d,e,f }, m (A) = 6

B ={b, d, e, f }, m (B) = 4

A\B ={a, c }, m (A\B) = 2 = m (B'A)

m (A\B) =m (A) – m (B)

Из примера видно, что 6 - 4 = 2, где 2 = m (B'A).

Теорема: Разность целых неотрицательных чисел a и b существует и единственна тогда и только тогда, когда b ≤ a.

Доказательство:

1. Необходимость существования разности: Если разность c = a - b существует, то b ≤ a.

Доказательство:

Возможны два случая: с = 0 и с ≠ 0, то есть с > 0.

а) пусть с = 0, тогда так как с = m (A\B), то m (A\B) = c => A\B = Ø. А так как В А, то это означает, что А = В. Тогда m (A) = m (B), то есть a = b.

б) пусть с > 0,то есть m (A\B) > 0 => A\B ≠ Ø и значит B A. Так как А и В конечные множества, то m (B) < m (A), то есть b < a. Объединяя a) и б) получим b ≤ a .

2. Достаточность существования: Если b ≤ a, то разность c = a - b существует.

Доказательство:

Если b ≤ a, то это значит, что (b = a) (b < a).

а) пусть b = a это значит m (B) = m(A). Так как множества А и В – конечные и В А, то это значит, что В = А. тогда A\B = Ø и m (A\B) = 0 => по определению разности имеем a – b = m (A\B) = 0, то есть разность с = 0.

б) пусть b < a, тогда m (B) < m (A). В этом случае имеем, что B A и значит A\B ≠ Ø и m (A\B) ≠ 0, m (A\B) > 0, то есть a – b = m (A\B) =c > 0. И в этом случае существование разности доказано.

3. Единственность разности.

Пусть AA1 и BB1, тогда m (A) = m (A1) = a

m (B) = m (B1) = b

Пусть B A, B1 A1 ,тогда a – b = m (A\B) и a – b = m (A1\B1).

Покажем, что m (A\B) = m (A1\B1).

Для этого достаточно показать, что A\B A1\B1.

Доказательство:

Пусть A\BA1\B1, тогда в одном из множеств, например в A1\B1, можно выделить подмножество Е1, которое будет равномощно A\B.

E1 A1\B1 и A\B E1



A = (A\B),где B ∩ (A\B) = Ø

Рассмотрим множество А’1=Е1В1, где Е1∩В1=Ø. Очевидно, что A’1 A1.

Из того, что



Из того, что A1 A A A′1 => A1 A′1 (то есть множество равномощно своему собственному подмножеству), а это противоречит определению конечного множества.

Таким образом теорема доказана полностью.

Так как A = B (A\B), то m (A) = m (B(A\B))

Так как B∩(A\B) = Ø, то m (B(A\B)) = m (B) + m (A\B),где m (A) = a, m (B) = b, m (A\B) = a – b.

Тогда будем иметь m (A) = m (B) + m (A\B)

a = b + (a - b).

Отсюда получаем другое определение разности.

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число (a – b), которое в сумме с числом b дает число а.

Используя теоретико-множественное толкование суммы, разности целых неотрицательных чисел, можно теоретико-множественное толкование всех правил, связывающих операции сложения и вычитания этих чисел.

21. Произведение целых неотрицательных чисел (задача, определение, теорема, правила).

Результатом действия умножения является произведение.

Произведением целых неотрицательных чисел а и в называется такое целое неотрицательное число, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. если b > 1 => а * b = а + а +...+ а (b раз)

2. если b = 1 => а * в = а; (а * 1 = а)

3. если b=0 => а * в = 0; (а * 0 = 0)

Пример:

3*4=3+3+3+3=12

3 - слагаемое

4 - количество раз.

1 * 5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 5

5*1=5 (по определению произведения)

0 * 2 = 0 + 0 = 0

2 * 0 = 0 (по определению)

Теоретико-множественный смысл произведения.

Пусть, А - число элементов, в каждом попарно непересекающихся равномощных между собой В множеств.

А = n(А1) = n(А2) =... = n( Аb)

А1, А2,..., Ab - попарно непересекающиеся равномощные между собой множества.

Тогда произведение а * в будем называть числом элементов в объединении этих В множеств.

а * b = n(А1 U А2 U ... U Аb)

Пример:

4 = n(А1) = n(А2) //// - А1

4 * 2 = n(А1 U А2 ) = 8 **** - А2

Определение произведения целых неотрицательных чисел через декартово произведение множеств:

Пусть А – целое неотрицательное число, определяющее число элементов в некотором множестве А, а В – число элементов в некотором множестве В.

а = n(А) и b= n(В).

Тогда, произведением а и в будем называть число элементов в декартовом произведении множеств А и В.

а * b= n(А х В)

Пример:

Пусть 3 – это число элементов во множестве А, а 4 – число элементов во множестве В. Тогда декартово произведение будет содержать 8 элементов. Следовательно: 2 * 4 = 8.

2 * 4

2 = n(А)

4 = n(В)

А х В = 8 => 2 * 4 = 8

Свойства умножения и теоретико-множественная интерпретация.

1) Коммутативное свойство : для любых целых неотрицательных чисел а и b верно равенство: а * b = b * а

2) Ассоциативное : для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство: (а * b) * с = а * (b * с).

3) Дистрибутивное свойство умножения относительно сложения : для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство: (а + b) * с = а * с + b * с.

(а+b)*с = а*с+b*с => А х(ВUC) = (АхВ) и (АхС)

(а-b)*с = а*с-b*с => А х (В\С)=(АхВ) \(АхС)

22. Частное целых неотрицательных чисел (задача, определение, теорема, правила)

Рассмотрим множество А, в котором а элементов. Разобьем его на одинаковые не пересекающиеся подмножества. Они попарно не пересекающиеся и равно

1) если в каждом из этих подмножеств содержится по в элементов, то частным а : в называется число подмножеств в разбиение К

2) если b – число подмножеств в разбиении, то частное чисел а и b – это число элементов в каждом подмножестве разбиения.

6:2=3

Доказательство:

1) А ={1:2:3:4:5:6}

A1 ={1:2}

A2 ={3:4}

A3 ={5:6}

A1 ∩ A2 =A∩A3 =A3∩A1

A1 A2 A3

n (A1) = 2

6:2=3

2) А1 ={1:3:5}

A2 ={2:4:6}

A1 ∩ A2 ,A1∩ A2

6:2=n(A1)=3 ч.т.д.

Определения частного через произведение.

Опр.Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется тоже целое неотрицательное число с, что

а: b=с<=>b*c=a (<=> - тогда и только тогда, когда)

Теорема: Для того, чтобы частное а и b существовало, необходимо чтобы b не превосходило а. ( а ≥ b)

Теорема: Если частное существует, то оно единственное. Док-во методом от противного.

Предположим, что частное существует, но оно не существенное.

c1 ≠ c2,,

c1, c2 Є Z (Є Z - принадлежит целым натуральным числам)

a:b=c1

a:b=c2

b*c1=a, b*c2-a => b*c1= b*c2 т.к. b – натуральное, т.е. отличное от 0 число, разделим обе части на 0 => b*c1= b*c2 |: b ≠ 0 => c1= c2 – пришли к противоречию => a* b – единственные.

Обучающимся начальных классов предлагается решить задачу:

«За 3 часа автомобиль проехал 186 км. Какое расстояние проедет автомобиль за 5 ч. если он будет ехать с той же скоростью?»

• О каких величинах идет речь в этой задаче?

• Находятся ли эти величины в функциональной зависимости? Если да, то задайте функцию формулой и поясните, какую величину обозначает каждая буква в записи формулы.

• Измените, данные задачи так, чтобы её можно было решить двумя способами.

23. Деление с остатком.

Деление c остатком — арифметическая операция. Чаще всего эта операция определяется для целых или натуральных чисел.

a=b⋅c+d, где
a– делимое,
b– делитель,
c– неполное частное,
d– остаток.

• 
  Остаток всегда должен быть меньше делителя.
  
• 
  Если при делении остаток равен нулю, то это значит, что делимое делиться нацело или без остатка на делитель.
  
• 
  Если неполное частное умножить на делитель, прибавить остаток. В результате должно получиться делимое. Пример:
  

24. Алгоритмы сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел.

Алгоритм сложения

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей сложения однозначных чисел, и запоминают.

В основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Алгоритм вычитания

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму.

Алгоритм умножения

Умножение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия. Но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все произведения однозначных чисел записывают в особую таблицу, называемую таблицей умножения однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, что смысл умножения сохраняется и для многозначных чисел, но меняется техника вычислений. Произведение многозначных чисел, как правило, находят, выполняя умножение столбиком, по определенному алгоритму.

Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число а на натуральное число b - это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a = bq + r, причем 0≤ r
Выясним сначала, как осуществляется деление на однозначное число. Если на однозначное число делят однозначное или двузначное (не превышающее 89), то используется таблица умножения однозначных чисел. Например, частным чисел 54 и 9 будет число 6, так как 9·6 = 54. Если же надо разделить 51 на 9, то находят ближайшее к нему меньшее число, которое делится на 9 - это число 45, и, следовательно, неполным частным при делении 51 на 9 будет число 5. Чтобы найти остаток, надо из 51 вычесть 45:51 - 45 = 6. Таким образом, 51 = 9·5 + 6, т.е. при делении 51 на 9 получается неполное частное 5 и остаток, равный 6. Записать это можно иначе, при выполнении деления уголком

25. Понятие системы счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления.

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ; ; и т. д.

Различают два типа систем счисления:

-позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;

-непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.

Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д.

Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.

Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:

где S- основание системы счисления;

- цифры числа, записанного в данной системе счисления;

n - количество разрядов числа.

Пример. Число 629310запишется в форме многочлена следующим образом:



26. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

4. Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число   перевести в двоичную систему счисления.

 

5. Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

 

6. Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример. Число  перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

7. Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

Пример. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

8. Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой

Пример. Число   перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

9. Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.

Пример. Число   перевести в двоичную систему счисления.



10. Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.

Пример. Число   перевести в двоичную систему счисления.

11. При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.

Пример 1. Число  перевести в восьмеричную систему счисления.

Пример 2. Число   перевести в шестнадцатеричную систему счисления.