Гмурман. 1 Действия над событиями Определение Пусть

• Название: 1 Действия над событиями Определение Пусть
• Анкор: Гмурман
• Дата: 25.02.2022
• Размер: 176.33 Kb.
• Имя файла: 1,2.pdf
• Тип: Документы; #373418

1 Действия над событиями

Определение 1.1. Пусть ?
1

, . . . , ?
n

 элементарные события. Их со- вокупность обозначим ? = {?
1

, . . . , ?
n
}
, т. н. пространство элементар- ных событий.
Определение 1.2. Рассмотрим некоторое подмножество A множе- ства ?, (A ? ?), называемое событием. Элементарные исходы, состав- ляющие событие A, называются благоприятствующими событию A.
Их количество обозначается |A|.
Определение 1.3. Если происходит хотя бы одно из событий A
или B , то это обозначается A ? B и называется суммой событий.
Определение 1.4. Если происходят оба события A и B , то пишем
A ? B
или AB и называем произведением событий.
Определение 1.5. Если событие A происходит, а B не происходит,
то это обозначается A \ B и называется разностью событий.
Определение 1.6. Множество ? также можно рассматривать как событие  оно называется достоверным событием.
Определение 1.7. Если событие A не происходит, то это обознача- ется A.
Определение 1.8. Событие ? = ?  называется невозможным.
Определение 1.9. Если события исключают друг друга, т. е. A ? B =
? , то их называют несовместными.
Определение 1.10. Если выполнение события A влечет выполнение события B , то запишем A ? B .
1.1. Пусть A, B , C  три произвольных события. Найдите выраже- ния для событий, состоящих в том, что из A, B , C : 1) произошло только
A
; 2) произошли A и B , C не произошло; 3) произошло по крайней мере одно из событий; 4) произошли все три события; 5) произошло ровно од- но событие; 6) ни одно из событий не произошло; 7) произошло не более двух событий.
1.2. Бросается игральная кость. Пусть A  событие, состоящее в том, что выпадает четное число очков; B  событие, заключающееся в том, что выпадает число очков, не больше трех. Что означают события
A

, A ? B , A ? B , AB ?
1.3. Бросаются две игральные кости. Пусть A  событие, состоящее в том, что хотя бы на одной из костей выпало одно очко; B  событие,

заключающееся в том, что сумма очков четна. Что означают события
AB

, A ? B , AB ?
1.4. Пусть A, B и C  события. Проверьте справедливость следу- ющих равенств:
(A ? B)C = AC ? BC, A \ B = AB, A \ (A \ B) = AB, (A ? B) \ B = AB,
(A \ AB) ? B = A ? B,
A4B def
= (A ? B) \ AB = AB ? AB.
1.5. Выяснить, является ли операция взятия симметрической разно- сти A4B : а) коммутативной, б) ассоциативной.
1.6. Доказать, что A4B = ? ?? A = B .
1.7. Доказать, что если A4B = C4D, то A4C = B4D.
1.8. Найти события A и B , если: а) A ? B = A, б) AB = A.
1.9. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентри- ческими окружностями с радиусами R
1
< R
2
< . . . < R
10
. Собы- тие A
i означает попадание в круг радиуса R
i
. Что означают события:
а) A
1
? A
3
? A
6
; б) A
2
? A
4
? A
6
? A
8
; в) (A
1
? A
3
) ? A
6
?
Решение. Объединение событий означает выполнение хотя бы одного из этих событий A
1
, A
3
, A
6
. Однако наступление события A
1
влечет за собой наступление события A
3
, которое в свою очередь влечет за собой наступление события A
6
, так как попадание в круг радиуса R
i
, i = 1, . . . , 9 означает од- новременно попадание в любой круг большего радиуса. Значит, всегда будет выполнено событие A
6
, то есть A
1
? A
3
? A
6
= A
6
Пересечение событий означает выполнение всех трех событий A
2
, A
4
, A
6
,
A
8
одновременно. Это может произойти только в том случае, если произошло попадание в круг радиуса R
2
. Значит,
A
2
? A
4
? A
6
? A
8
= A
2
Учитывая решение первых двух пунктов, легко преобразовать последнее событие (A
1
? A
3
) ? A
6
= A
3
? A
6
= A
3 1.10. Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены подряд n
шаров. Пусть A
i
 событие, состоящее в том, что i-й шар белый.
Выразить через A
i следующие события: а) все шары белые, б) хотя бы один шар белый, в) ровно один шар белый, г) все шары одного цвета.
2 Элементы комбинаторики
Теорема 2.1 (Основной принцип комбинаторики (правило умноже- ния)). Пусть необходимо последовательно выполнить k действий. Ес- ли первое действие можно выполнение m
1
способами, второе  m
2 2

способами и так далее до k-го действия, которое можно выполнить m
k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены m
1
· m
2
· . . . · m k
способами.
Определение 2.1. Множество, содержащее n элементов, называет- ся n-элементным множеством. k-элементным упорядоченным множе- ством называется множество, содержащее k элементов, каждому из которых поставлено в соответствие некоторое число из множества
{1, 2, . . . , k}
(т. е. номер элемента) так, что различным элементам со- ответствуют различные числа.
Определение 2.2. k-элементное упорядоченное подмножество n- элементного множества (k 6 n) называется размещением из n по k.
Обозначим количество всех размещений из n по k через A
k n
Определение 2.3. n-элементное упорядоченное множество состо- ящее из элементов n-элементного множества B , называется пе- рестановкой множества B . Обозначим количество перестановок n- элементного множества через P
n
Определение 2.4. k-элементное подмножество (неупорядоченное) n- элементного множества (k 6 n) называется сочетанием из n по k.
Обозначим количество всех сочетаний из n по k через C
k n

2.1. Сколько подмножеств имеет множество, содержащее n элемен- тов (пустое множество есть подмножество каждого множества)?
Решение. Пусть ? = {a
1
, a
2
, . . . , a n
}
 n-элементное множество. Пусть
A
 произвольное его подмножество. Для каждого элемента a i
имеется две возможности: быть включенным в подмножество A и не быть включенным.
Так как всего в ? содержится n элементов, то различных подмножеств в этом множестве будет 2
n
2.2. Из цифр {1, 2, 3, 4, 5} составлены различные пятизначные числа,
не содержащие одинаковых цифр. Найдите количество чисел, которые:
1) начинаются цифрой 3; 2) не начинаются цифрой 5; 3) начинаются с числа 54; 4) являются четными.

2.3. Сколько диагоналей можно провести в выпуклом n-угольнике?
2.4. Сколькими способами можно разместить n гостей за круглым столом?
2.5. В соревновании двадцать человек разыгрывают три медали.
Найдите количество способов распределения медалей между участни- ками соревнования.
2.6. Сколькими способами можно расположить в ряд 5 белых и 4
черных шара так, чтобы черные шары не лежали рядом? Рассмотреть
3

два случая: а) шары одного цвета не отличимы друг от друга; б) все шары разные.
2.7. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Определите количество способов, которыми можно выбрать 7 шаров так, чтобы среди них было
3 черных.
2.8. Найдите количество способов, которыми можно группу из 12
человек разбить на 2 подгруппы, если в одной из них должно быть не более 5, а во второй не более 9 человек.
2.9. Сколькими способами можно разделить n + m + s предметов на три группы так, чтобы в одной группе было m предметов, в другой 
n

, в третьей  s предметов?
2.10. Девять человек поселяются в четырехместный, трехместный и двухместный номера гостиницы. Найдите количество способов их раз- мещения.
2.11. Сколько делителей имеет число q = p
?
1 1
p
?
2 2
. . . p
?
n n
, где p i


различные простые числа, не равные единице, а ?
i

 некоторые нату- ральные числа? Чему равна сумма делителей?
2.12. Определите количество способов разместить b различимых
(неразличимых) шаров в u различимых урнах. Проиллюстрируйте от- веты при b = 2 и u = 3.
2.13. Определите количество способов разместить b различимых
(неразличимых) шаров в u различимых урнах при условии, что в каж- дую урну запрещается помещать более одного шара. Проиллюстрируйте ответы при b = 2 и u = 3.
2.14. Определите количество способов разместить b различимых
(неразличимых) шаров в u различимых (неразличимых) урнах при усло- вии отсутствия пустых урн. Проиллюстрируйте ответы при b = 4 и u = 2
. (При необходимости воспользуйтесь числами Стирлинга второго рода и количеством способов записать число u как сумму b натуральных чисел.)
2.15. Определите количество способов разместить b различимых
(неразличимых) шаров в u различимых (неразличимых) урнах. Про- иллюстрируйте ответы при b = 4 и u = 2.
2.16. Сколькими способами можно разместить n
1
белых, n
2
черных и n
3

синих шаров по m различным урнам?
2.17. Сколько целых неотрицательных решений имеет уравнение:
x
1
+ . . . + x m
= n?
4

2.18. Сколько существует n-значных чисел, у которых сумма цифр равна k, где k 6 9?
2.19. Пусть m частиц размещены по n ячейкам в соответствии со статистикой Максвелла  Больцмана. Найти вероятность того, что:
а) при m = n ни одна ячейка не окажется пустой;
б) в фиксированную ячейку попало ровно k частиц (k < m);
в) при m = n останется пустой ровно одна ячейка.
2.20. Пусть m частиц размещены по n ячейкам в соответствии со статистикой Бозе  Эйнштейна. Найти вероятность того, что в фикси- рованной ячейке окажется ровно k частиц.
5