дифф ур. Содержание. 1. Дифференциальные уравнения высших порядков
 Скачать 37.41 Kb.
|
|
Содержание
Введение В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка. Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований. Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения высших порядков Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области; x – независимая переменная; y – функция переменной x, подлежащая определению; y’, y”, …, y(n) – производные функции y. При этом предполагается, что y(n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать. Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл. Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с1, с2,..., cn и имеет вид . 1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y(n). Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид: где – известные непрерывные функции от x. Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов. Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам. 2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами . (2.1) Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х0 – Т; х0 + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале. Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х0 – Т; х0 + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды: (2.2) Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку). Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x - x0| < Т степенного ряда: (2.3) Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3). Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x0 = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде (2.4) Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство (2.5) Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений …………………………………………. …………………………………………………………………. . Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти , , …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , = ). Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или , решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом . Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным. Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем …………………………… Коэффициент при нулевой степени x равен 2у2. Следовательно, у2 = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен . Отсюда . Из этой формулы получаем ; . Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем а во втором На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой . Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и . Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения. 2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или , называются особыми точками уравнения (2.1). Для уравнения второго порядка (2.6) в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х – x0| < а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а0 или b0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода). В окрестности особой точки х = х0 решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда: (2.7) где λ и , , , …, ( ) подлежат определению. Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х0 хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид (2.7’) где (2.7”) Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х0 не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х0 . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х - х0 | < R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области. Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х0 = 0, имеем Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений: ……..........................……………………………………………. (2.8) где обозначено (2.9) Так как , то λ должно удовлетворять уравнению (2.10) которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6): Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля - Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение: Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде (число А может оказаться равным нулю). Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений. 3.1. Уравнение Бесселя. Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто. Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде: или (3.1) К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики. Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда Так как то, подставив у, у' и у" в исходное уравнение, получим Отсюда, сокращая на , имеем или Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, ... имеем Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … . Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде Введем функцию называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде Функция называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка. Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде Уравнения для определения при имеют вид Полагая , находим По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через : Таким образом, Полагая представим у2(х) в виде Функция называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом. Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : . 3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса. Гипергеометрическим уравнением (или уравнением Гаусса) называется уравнение вида (3.2) где α, β, γ — действительные числа. Точки являются особыми точками уравнения. Обе они регулярные, так как в окрестности этих точек коэффициенты уравнения Гаусса, записанного в нормальной форме можно представить в виде обобщенного степенного ряда. Убедимся в этом для точки . Действительно, замечая, что уравнение (3.2) можно записать в виде Это уравнение является частным случаем уравнения причем здесь , так что точка х=0 есть регулярная особая точка уравнения Гаусса. Построим фундаментальную систему решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0. Определяющее уравнение, соответствующее точке х=0, имеет вид Его корни , причем их разность не является целым числом. Поэтому в окрестностях особой точки х=0 можно построить фундаментальную систему решений в виде обобщенных степенных рядов первый из которых соответствует нулевому корню определяющего уравнения и является обычным степенным рядом, так что решение голоморфно в окрестности особой точки х=0. Второе решение заведомо неголоморфно в точке х=0. Построим сначала частное решение, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения. Итак, будем искать частное решение уравнения (3.2) в виде (3.3) Подставим (3.3) в (3.2), получим Приравнивая к нулю свободный член, получаем . Пусть , тогда получаем . Приравнивая нулю коэффициент при , найдем: откуда или так что Отсюда: Следовательно, искомое частное решение имеет вид: Ряд справа называется гипергеометрическим рядом, так как при α=1, β=γ он превращается в геометрическую прогрессию (3.5) Согласно теореме_2 ряд (3.4) сходится при |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2). Второе частное решение имеет вид: Вместо того, чтобы находить методом неопределенных коэффициентов, сделаем в уравнении Гаусса замену искомой функции по формуле (3.6) Получим уравнение Гаусса (3.7) в котором роль параметров α, β и γ играют и . Поэтому, построив частное решение этого уравнения, соответствующее нулевому корню определяющего уравнения и подставив его в (3.6), получим второе частное решение данного уравнения Гаусса в виде: (3.8) Общим решением уравнения Гаусса (3.2) будет: Пользуясь построенной фундаментальной системой решений уравнения Гаусса в окрестности особой точки х=0, можно легко построить фундаментальную систему решений этого уравнения и в окрестности особой точки х=1, которая тоже является регулярной особой точкой. С этой целью переведем интересующую нас особую точку х = 1 в точку t = 0 и вместе с ней особую точку x = 0 в точку t = 1 при помощи линейной замены независимой переменной x = 1 – t. Выполняя эту подстановку в данном уравнении Гаусса, получим Это — уравнение Гаусса с параметрами . Оно имеет в окрестности |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений Возвращаясь к переменной х, т. е. полагая t = 1 – х, получим фундаментальную систему решений исходного уравнения Гаусса в окрестности точки | х – 1| < 1 особой точки х = 1 Общим решением уравнения Гаусса (3.2) в области будет Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике. Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х4 включительно) с начальными условиями Решение: Решение уравнения будем искать в виде Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: . Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем: Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты . Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты: Следовательно, решение уравнения запишется в виде Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х4 включительно) с начальными условиями Решение: Решение уравнения будем искать в виде Подставляем полученные выражения в исходное уравнение: Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем: Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х4 включительно, то достаточно вычислить коэффициенты . Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты: Следовательно, решение уравнения запишется в виде Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций. Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении: или Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения : …………………………………. Из этих уравнений находим Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что Построено одно решение уравнения Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты : Отсюда значит, Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С1, С2— произвольные постоянные: Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как: и Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х2у" + (3х – 2х2)у' – (х + 1)у = 0. Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ1 = 1/2 и λ2 = - 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ1 ищем в виде Тогда Подставив , , и в исходное уравнение, имеем или Отсюда, сократив на , получим Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения : Положив y0 = 1, находим Таким образом, Соответствующее корню λ = λ2 решение исходного уравнения ищем в виде Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y0 = 1, находим т. е. Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и - произвольные постоянные. Заключение Решение уравнения, содержащие неизвестные функции и их производные в степени выше первой или каким-либо более сложным образом, зачастую очень сложно. В последние годы такие дифференциальные уравнения привлекают все большее внимание. Так как решения уравнений зачастую очень сложны и их трудно представить простыми формулами, значительная часть современной теории посвящена качественному анализу их поведения, т.е. разработке методов, позволяющих, не решая уравнения, сказать нечто существенное о характере решений в целом: например, что все они ограниченны, или имеют периодический характер, или определенным образом зависят от коэффициентов. В ходе выполнения курсовой работы был проведен анализ метода интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных и обобщенных степенных рядов. Литература: Матвеев Н.В. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. 4-е, испр. и доп. Минск, “Вышэйш. школа”, 1974. – 768с. с ил. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. - 3-е изд, стереотип. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 352 с. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика. Т.3: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учеб. для вузов: В 3 т. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский; Под ред. В. А. Садовничего. — 6-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2004. —— 512с.: ил. Самолейнко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1989. – 383 с.: ил. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Учеб. пособие для вузов. – М.: Физматизд, 1961. – 100 с.: ил. |