шпаргалка по основным темам линейной алгебры в сжатом формате, бери и нарезай на маленькие листики, в гармошку складывай и польз. 1. Лин Пространства

• Название: 1. Лин Пространства
• Анкор: шпаргалка по основным темам линейной алгебры в сжатом формате, бери и нарезай на маленькие листики, в гармошку складывай и польз
• Дата: 09.03.2021
• Размер: 485.79 Kb.
• Имя файла: Linal-Shpora.docx
• Тип: Документы; #183161

1.Лин Пространства

Некоторые множ-ва наз-ся ЛП если выполнены 3 требования:

1)выполнена операция сложения внутр-яя в ЛП x+y∈ЛП.2)операция умножения внутр-яя в ЛП αx∈ЛП.3)1)комунитативность x,y∈ЛП ,x+y=y+x.2)ассоциативность (x+y)+z=x+(y+z)

3)сущ нулевого элемента x+0=x;4)сущ отрицат элемента x+(-x)=0;5)сущ единицы 1*x=x

6)α(βx)= (αβ)x ∀α,β∈IR, ∀x∈ЛП;7) (α+β)x= αx+βx Дистрибутивность по сложению чисел;

8)α(x+y)= αx+ αy Дист-ть по сложению векторов

2.Линейная зависимость и независимость векторов

Наз-ся лин независимой если справедливо:1) + =0,лин коомб эл-ов в этой системе обращ-ся в 0 тогда когда эти числа обр-ся в 0

2)если + =0 пусть число эл-ов в сист-ме 1 =0 a){0} α∈IR, α≠0-> α*0=0; αx=0→αx=0x+0 б){x}-лин не завис

Для того чтобы система эл-ов была линейно зависимой тогда и только тогда,когда хотябы один элемент яв-ся лин-ой коомбинацией + +…

Размерность прост-ва – макс. число содержащихся в нем линейно независимых векторов.

Базис-сис-ма векторов,обл-ая св-ми:1)лин не завис2)всякий др вектор из ЛП яв-ся лин коомб

3.Определение евклидова прост-ва.Аксиомы и пр

ЛП наз-ся евклидовым,если появ-ся ф-ия в этом выр-ие

1)(x,y)=(y,x)-семетричность сколяр произведения

2)(x+y,z)=(x,z)+(y,z)-аддативность3)(λx,y)=λ(x,y)-однородность4)(x,y+z)=(x,y)+(x,z);5)(x,λy)=λ(x,y);6)(x,0)=0∈R=(x,0*y)=0(x,y)=0;

7)(x,z)=(y,z) ∀z∈ЛП→x=y→(x,z)-(y,z)=0;

6.Опр матрицу перехода к новому базису и изложите порядок

Матрицей лин оператора  : X_n → Y_m в базисах e₁, .. , e_n и f₁, … , f_m наз-ся матрица размера m × n , у которой

1) столбцы опр-ся как координатные столбцы образов базисных векторов пространства X_n :  e₁, … ,  e_n в базисе пространства Y_m ;

2) строки опр-ся как коэффициенты в выражении координат образа произвольного вектора ч/з координаты самого этого вектора.

A=( )=

При изменении базиса ЛП матрица оператора изменяется. Пусть в простр-ве X произошел переход от базиса e = {e1, ... , en} к базису e' = {e'1, ... , e'n} . Связь между матрицей Ae оператора A в базисе e и матрицей Ae' этого оператора в базисе e' задается формулой

,

, - матрица перехода от базиса e к базису e' и обратная к ней.

7)ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР И ЕГО МАТРИЦА, ПЕРЕХОД К НОВОМУ БАЗИСУ:

Оператор A, действующий в ЛП x,y наз-ся лин-ым оператором, если

A(U+V)=A(U)+A(V) и A(αu)=αA(u) для любых U,V∈X и для любого числа α.

Если пространства X и Y совпадают, то оператор действует в пространстве X.

Переход к другому базису

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X, dim(X)=n и пусть базис в X. Обозначим через A =( ),..,A =( )образы базисных векторов .

Матрица

столбцами которой яв-ся координаты образов базисных векторов, наз-ся матрицей линейного оператора в заданном базисе.

Доказано, что каждому линейному оператору, действующему в n-мерном линейном пространстве, отвечает единственная квадратная матрица порядка n; и обратно каждая  квадратная матрица порядка n задает единственный линейный оператор, действующий в этом пространстве. При этом соотношения



с одной стороны, связывают координаты образа Y=AX с координатами прообраза x, с другой стороны,  описывают действие оператора, заданного матрицей A.

При изменении базиса линейного пространства матрица оператора, очевидно, изменяется. Пусть в пространстве X произошел переход от базиса e={ }к базису e’={ } . Связь между матрицей оператора A в базисе e и матрицей этого оператора в базисе e’ задается ф-лой.Ae’= , Ae’=

Здесь   матрица перехода от базиса e к базису e’ и обратная к ней.

8)СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ОПЕРАТОРОВ, ПОРЯДОК ИХ НАХОЖДЕНИЯ, СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ, ОТВЕЧАЮЩИХ ОДНОМУ И РАЗНЫМ СОБСТЕННЫМ ЗНАЧЕНИЯМ:

Ненулевой вектор x в линейном пространстве L наз-ют собственным вектором линейного оператора A: L → L, если для некоторого действительного числа λ выполняется соотношение Ax = λx. При этом число λ наз-ют собственным значением линейного оператора A.

Иными словами, собственный вектор – такой вектор, который под действием лин оператора переходит в

коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы

преобразуются более сложно. Запишем в виде системы и перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:(А - Е)Х = ОПолученная сиc-ма всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, наз-ют однородными. Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по ф-лам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно док-ть, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.|А - Е| = = 0

Это ур-е с неизвестным наз-ют характеристич ур-ем матрицы А (линейного оператора). Корнями которого яв-ся

собственные значения.

СВ-ВА:Пусть собственные знач-я λ1, ..., λr лин-го оператора A попарно различны. Тогда сис-ма соответствующих им собственных векторов e1, ..., er линейно независима. J Док-во опирается на метод математической индукции, проводимый по количеству r векторов в системе. При r = 1 утверждение теоремы верно, так как линейная независимость системы из одного вектора означает, что этот вектор ненулевой, а собственный вектор, согласно определению 4.3, является ненулевым. Пусть утверждение верно при r = m, т.е. для произвольной системы из m собственных векторов e1, ..., em. Добавим к системе векторов еще один собственный вектор em+1, отвечающий собственному значению λm+1, и докажем, что расширенная таким способом система векторов останется линейно независ. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию полученной системы собственных векторов и предположим, что она равна нулевому вектору:

α1e1 + ... + αmem + αm+1em+1 = 0. (1)

К равенству (1) применим линейный оператор A и в результате получим еще одно векторное равенство α1Ae1 + ... + αmAem + αm+1Aem+1 = 0.

Учтем, что векторы e1, ..., em+1 яв-ся собственными:

α1λ1e1 + ... + αmλmem + αm+1λm+1em+1 = 0. (2)

Умножив равенство (1) на коэффициент λm+1 и вычтя его из равенства (2), получим лин комбинацию векторов e1, ..., em, равную нулевому вектору: α1(λ1 −λm+1)e1 + ... + αm(λm −λm+1)em = 0. Cистема векторов e1, ..., em, линейно независима, вывод, что у полученной лин комбинации все коэф-ы равны нулю: αk (λk −λm+1) = 0, k = 1, m. (4.9) Поскольку все собственные значения λi попарно различны, то из равенств (4.9) следует, что α1 = α2 = ... = αm = 0. Значит соотношение (1) можно записать в виде αm+1em+1 = 0, а т.к. вектор em+1 ненулевой, то αm+1 = 0.Получаем, что равенство (1) выполняется лишь в случае, когда все коэф-ы αi, i = 1, m+1, равны нулю.Доказали, что система векторов e1, ..., em, em+1 линейно независима.

9)МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ:

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия — A = TΛT^−1;Λ = diag(λ₁,..., λ_N) — это диагональная матрица, элементами которой яв-ся собственные значения матрицы A, а T —матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v₁,...,v_N).  12.квадратичной формой n переменных ,принимающих числовые значения , наз-ся числовая ф-ия вида ,где  - числа, называемые коэффициентами квадратичной формы.Матрицей квадратич. формы n переменных , наз-ся симметрическая матрица порядка n, элементы главной диагонали которой совпадают с коэф-ми при квадратах переменных, а каждый недиагональный элемент, расположенный в i-ой строке j-ом столбце, равен половине коэфициента при  в квадратичной форме.Пр. +4 имеет матрицу

13.Метод Лагранжа.Один из методов преобразования квадратичной формы к каноническому виду путем замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов.

Пр. -4 Для преобразования ее к канонич виду выделим полный квадрат по для этого соберем все слагаемые,содержащие и дополним до полного квадрата . -4 = -4 +4 -4 = -4 .Введя новые переменные переменные ; = ,получим квадратич форму канонич вида -

14)2Й МЕТОД ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧ. ФОРМЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Вид:A(x,x)= в евклидовом пространстве .Тк ее матрица A=( )симметрична,то она может быть представлена в виде A=UD ,D-диагональная матрица,на диагонали которой стоят собств числа матрицы,а U-ортогональная матрица.Столбцы матрицы U яв-ся координатами некоторого ортонормированного базиса =( ),в котором матрица А имеет диагональный вид D ,значит квадратич форма-искомый канонич вид.Соотв преобразования координат опр-ся соотношением =U 16)Построение преобразующей матрицы приводящей симметрич матрицу к диагон виду.Для любой симметрической матрицы M сущ-ет такая ортогональная матрица U, что U^тMU = Λ, где Λ = diag(λ1, ..., λn) — диагональная матрица, диагональными элементами которой яв-ся собственные значения матрицы M, повторяющиеся согласно их кратности.
Преобразование с ортогональной матрицей U иногда наз-ют ортогональным преобразованием матрицы A. Теорема: любая симметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду. Чтобы найти соотв. матрицу U необходимо:

1) найти собственные значения матрицы M;

2) для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, соотв-их этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейно независимыми и их кол-во должно равняться кратности собственного значения;

3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственного значения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта

Объединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую систему векторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;

4) выписать матрицу U, столбцами которой яв-ся координаты векторов построенной ортонормированной системы.

17)Подобные матрицы Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности I×J эквивалентны, если существуют такие квадратные матрицы S, размерности I×I, и T, размерности J×J, чтоB = SAT.

Эквивалентные матрицы имею один и тот же ранг.

Две прямоугольные матрицы A и B одной размерности N×N подобны, если существует такая невырожденная матрица T,чтоB = T⁻¹AT.

Матрица T наз-ся преобразованием подобия.

Подобные матрицы имеют один и тот же ранг, след, определитель и спектр.

Св-ва подобных матриц

1. Каждая квадратная матрица подобна самой себе: A=E−1AE

2. Если матрица B подобна матрице A, то и A подобна B:B=S⁻¹⋅A⋅S  ⇔  A=T⁻¹⋅B⋅TB=S−1⋅A⋅S  ⇔  A=T⁻¹⋅B⋅Tпри T=S⁻¹T=S⁻¹.

3. Если матрица A подобна матрице B, а B подобна C, то A подобна C: →A=

4. Подобие яв-ся частным случаем эквивалентных преобразований.

5. В случае ортогональности преобразующей матрицы подобные матрицы яв-ся конгруэнтными.

Св-ва 4, 5. Эквивалентные матрицы связаны соотношением B=SATB=SAT, где SS и TT — невырожденные матрицы. Если T=S−1T=S−1, то получаем преобразование подобия B=SAS−1⇔A=S−1BSB=SAS−1⇔A=S−1BS.

Если же матрица SS ортогональная (S−1=ST)(S−1=ST), то подобные матрицы, связанные равенством B=S−1ASB=S−1AS, оказываются конгруэнтными,т к

B=STASB=STAS *-1-это стпень

|| x||= = = =|λ| ||x||

19)Ф-ия многих переменных Отображение, которое упорядоченному набору из n чисел ставит в соответствие число, т.е. отображение вида f: A → R, где A ⊂ Rⁿ, n > 1, наз-ют ф-ей нескольких переменных. Данное определение согласуется с определением ф-ии действительного переменного, которое соответствует общему определению ф-ии нескольких переменных в случае n = 1. Таким образом, понятие ф-ии нескольких переменных можно рассматривать как обобщение понятия ф-ии действительного переменного

Множ-во D(f) = A точек из Rⁿ, в которых определена ф-ия f: A ⊂ Rⁿ → R, наз-ют областью определения ф-ии f, а множество R(f) = = {y ∈R: y = f(x), x ∈ D(f)} — областью значений ф-ии.

Точку a ∈ Rⁿ наз-ют предельной точкой множества A ⊂ Rⁿ, если в любой ее проколотой окрестности есть точки из множ-ва A. Предельная точка множ-ва может либо принадлежать этому множ-ву, либо не принадлежать ему. Отметим, что если точка a яв-ся предельной для множ-ва A, то в любой окрестности U(a,ε) этой точки содержится бесконечно много точек множ-ва A. Точку a наз-ют изолированной точкой множ-ва A, если a ∈ A и сущ-ет такая ее проколотая окрестность, которая не содержит точек из множ-ва A. Отметим, что любая точка a ∈ A яв-ся либо предельной точкой A, либо изолированной точкой A.

Пусть заданы ф-ия нескольких переменных f: Rn → R, множ-воA ⊂ D(f), включенное в область определения D(f) ф-ии f, и предельная точка a множ-ваA . Точку b ∈R наз-ют пределом ф-ии f в точке a по множ-ву A, если для любой ε-окрестности U(b,ε) точки b сущ-ет такая проколотая δ-окрестность ◦U(a,δ) точки a, что f(x) ∈ U(b,ε) при x ∈ ◦U(a,δ)∩A, т.е. ∀U(b,ε) ⊂R^m ∃ ◦U(a,δ) ⊂Rⁿ ∀x ∈ ◦U(a,δ)∩A : f(x) ∈ U(b,ε).

В этом случае записывают b= ,или f(x)→b при x→a по множ-ву A

Ф-ию нескольких переменных f: A ⊂ Rn → R наз-ют непрерывной в точке a ∈ A, предельной для множ-ва A, если сущ-ет предел ф-ии f при x→ A a, равный значению ф-ии в этой точке, т.е. если

lim (x→ a)f(x) = f(a).

Как оговорено в опр., точка a не только принадлежит множ-ву A, но и яв-ся его предельной точкой, поскольку рассматривается предел ф-ии в точке a по множ-ву A. Ф-ию f: A ⊂ Rⁿ → R^m считают непрерывной в каждой точке a ∈ A, которая яв-ся изолированной точкой множ-ва A.

20)Частные производные Пусть ф-ия нескольких переменных f: Rⁿ → R определена в некоторой окрестности точки a = (a1, ..., an) ∈Rⁿ. Тогда в некоторой окрестности точки a1 ∈R определена ф-ия одного переменного ϕ1(x1) = f(x1,a2,...,an), которая получается из ф-ии f(x) при фиксированных значениях всех аргументов, кроме первого. Производную ϕ^/ (a1) ф-ии ϕ(x1) в точке a1 ∈ R наз-ют частной производной ф-ии нескольких переменных f в точке a по переменному x1. Аналогично можно определить частные производные ф-ии f и по другим переменным. Частную производную ф-ии f в точке a по переменному xi обозначают след. образом:

или (a)

Предположим, что ф-ия нескольких переменных f: Rⁿ → R во всех точках в некоторой окрестности U(a,δ) точки a имеет частную производную f0 xi(x). Эта частная производная сама яв-ся ф-ей нескольких переменных, определенной в окрестности U(a,δ), и может оказаться, что она имеет частную производную в точке a, например по переменному xj. Частную производную

или (a)

Ф-ии f0 xi(x) наз-ют частной производной второго порядка ф-ии f(x) в точке a по переменным xi и xj и обозначают

, (a) или (a)

Частные производные высшего порядка вводятся так же, как и частные производные 2го порядка. Частную производную k-го порядка ф-ии нескольких переменных опр-ют как частную производную 1го порядка от некоторой частной производной (k−1)-го порядка этой ф-ии.

21. Равенство смешанных производных независимо от порядка дифференцирования.

Смешанные частные производные одной и той же ф-ии, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое св-во наз-ся равенством смешанных производных.

Определение смешанной производной

Пусть дана достаточно гладкая ф-ия 𝑓{\displaystyle f} многих переменных:f=f( … )

Мы можем взять частную производную этой ф-ии по одному из аргументов {\displaystyle x_{i}} , считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую ф-ию:



Эта новая ф-ия тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение  {\displaystyle \phi } в общем случае зависит от тех же переменных {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots x_{n}} , что и оригинальная ф-ия 𝑓{\displaystyle f}:



Если ф-ия 𝜑{\displaystyle \phi } окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу {\displaystyle x_{j}} :



Если  {\displaystyle j\neq i}, то выражение в правой части равенства (4) наз-ся смешанной производной.

Основа теоремы

Для достаточно гладкой ф-ии многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

{\displaystyle (5)\qquad {\partial ^{2}f \over \partial x_{i}\partial x_{j}}={\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}}

Доказательство теоремы

Как указано выше, для док-ва теоремы можно не рассматривать зависимость ф-ии от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения {\displaystyle x_{i},x_{j}}

на x,y то есть будем рассматривать такую ф-ию 2х переменных:f=f(x,y)

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу ф-ии:



Пусть в точке {\displaystyle (x,y)}(x,y) сущ-ет смешанная производная:



Предположим, что смешанная производная сущ-ет в точке {\displaystyle (x,y)}(x,y), а также сущ-ет 1я производная вдоль прямой y=const

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:



Это преобразование никаких доп. условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых ф-ий всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:



Нужно, чтобы сущ-ала частная производная  вдоль прямой {\displaystyle y=const}y=const.

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:



Как видно, надо, чтобы частная производная {\displaystyle f_{x}}  существовала не только на прямой {\displaystyle y=const}y=const, но в некоторой 2хмерной окрестности точки {\displaystyle (x,y)}(x,y).

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель :



Это преобразование также не накладывает доп. условий, поскольку разность интегрируемых ф-ий яв-ся ф-ей интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:



Средняя точка яв-ся ф-ей:



значения которой лежат в интервале (если, например, {\displaystyle \Delta y>0}∆y>0)



Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной {\displaystyle f_{yx}={\partial ^{2}f \over \partial y\partial x}} в некоторой двухмерной окрестности точки (x,y)

Для окончания док-ва надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке {\displaystyle (x,y)}(x,y) как ф-ия 2х переменных. Значение этой производной в близкой точке(٤,n) {\displaystyle (\xi ,\eta )} равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке {\displaystyle (x,y)}(x,y) :

 {\displaystyle (x,y)} .

Смешанная производная {\displaystyle f_{yx}}  сущ-ет в 2хмерной окрестности точки {\displaystyle (x,y)}(x,y) и непрерывна в этой точке как ф-ия 2х переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):



Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13), а потому интеграл и обе границы сущ-ют. Поскольку подынтегральная ф-ия в (16) интегрируема, а 1е слагаемое (x,y){\displaystyle f_{yx}(x,y)}яв-ся константой по переменной интегрирования ٤{\displaystyle \xi }, то 2е слагаемое тоже оказ-ся интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму 2х интегралов, 1й из которых легко берётся как интеграл от константы:



После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:



Покажем, что 2е слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно 0. Возьмём произвольное {\displaystyle \epsilon }ε>0. Непрерывность смешанной производной {\displaystyle f_{yx}}  в точке {\displaystyle (x,y)}(x,y) означает, что сущ-ет такое δ>0{\displaystyle \delta },что для каждой точки {\displaystyle (\xi ,\eta )}(٤,n) внутри квадратаI٤-xI<δ,In-yI<δ  {\displaystyle |\xi -x|<\delta ,\;|\eta -y|<\delta } справедливо неравенство:



Если мы возьмём числа>0,Δx<δ,Δy<δ {\displaystyle \Delta x<\delta ,\;\Delta y<\delta }, то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:



Обозначим это слагаемое {\displaystyle L}L:



Аналогично (если взять (-ɛ<Δx<0) {\displaystyle -\epsilon <\Delta x<0}), имеем оценку снизу: L>=-ɛ

Поскольку положительное число {\displaystyle \epsilon }ε может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует {\displaystyle L=0}L=0.

22. Полный дифференциал ф-ии двух переменных, полный дифференциал 2го порядка. Дифференциалы высоких порядков. Инвариантность полного дифференциала.

Полным дифференциалом dz дифференцируемой в точке М(x,y) ф-ии z=f(x,y) наз-ют линейную относительно приращений Δx и Δy часть полного приращения этой ф-ии в точке М: dz=AΔx+BΔy,задается формулой dz= dx+ dy

Полным дифференциалом 2го порядка ф-ии z = f(x, y) наз-ся полный дифференциал от полного дифференциала dz(x, y) 1го порядка при условии, что dx и dy cчитаются постоянными (dx и dy не зависят от x и у).

z=d( dx+ dy)= ( dx+ dy)dx+ ( dx+ dy)dy= d +2 dxdy+ d

Аналогично дифференциал n-го порядка - полный дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка, т. е. 

dn z(x, y) = d(d(n-1) z(x, y)).



23. Неявная ф-ия многих переменных. Производная от ф-ии, заданной неявно, вторая производная от этой ф-ии.



24)Производная по направлению.Градиент

Производной ф-ии по направлению f: →R в точке a вектора n наз-ют число

= -f(a),если этот предел сущ.

Производная по направлению представляет собой скорость изменения значений ф-ии в точке a в направлении вектора n

Связь с градиентом

Производную по направлению дифференцируемой по совокупности переменных ф-ии можно рассматривать как проекцию градиента ф-ии на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial e}}=\nabla f\cdot {\vec {e}}}

Макс. значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента ф-ии в данной точке.

Градиент.Пусть ф-ию нескольких переменных f: →R в точке x имеет все частные производные первого порядка.Вектор grad f(x)=( ) составленный из частных производных 1го порядка ф-ии f(x) в точке x наз-ют градиентом f в точке x.

25. Сформулируйте понятие экстремумы ф-ии. Необходимые и достаточные условия экстремума ф-ии в точке

Экстремум

Экстремум - макс или мин значение ф-ии на заданном множ-ве. Точка, в которой достигается экстремум, наз-ся точкой экстремума. Соответственно, если достигается мин — точка экстремума наз-ся точкой мин, а если макс — точкой макс.

Необходимые условия существования экстремумов

Теорема Лемма Ферма́ утверждает, что производная дифференцируемой ф-ии в точке экстремума равна нулю.

Пусть {\displaystyle x_{0}}  яв-ся точкой экстремума ф-ии {\displaystyle f}f, опр-ой в некоторой окрестности точки {\displaystyle x_{0}} .

Тогда либо производная   не существует, либо {\displaystyle f'(x_{0})=0} .

Эти условия не яв-ся достаточными, так, ф-ия может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а яв-ся точкой перегиба, как точка (0,0) у ф-ии {\displaystyle f(x)=x^{3}} .

1е достаточное условие существования экстремума

Если в точке x˳ ф-ия непрерывна и в ней производная меняет знак с “+” на “–“, то x˳ - точка макс;

Если в точке x˳ ф-ия непрерывна и в ней производная меняет знак с “-” на “+”, то x˳ - точка мин.

2е достаточное условие существования экстремума

Пусть f’(x˳)=0 ,если f’’(x˳)>0,x˳- точка мин;если f’’(x˳)<0,x˳- точка макc.

Этот признак экстремума ф-ии требует существования производной как минимум до второго порядка в точке x˳.

3е достаточное условие существования экстремума

Пусть ф-ия y=f(x) имеет производные до n-ого порядка в ٤-окрестности точки x˳и производные до n+1-ого порядка в самой точке x˳. Пусть f’(x˳)=f’’(x˳)=… (x˳)=0  и (x˳)≠0  .

Тогда:если n – четное, то x˳ - точка перегиба;если n – нечетное, то x˳ - точка экстремума, причем:

Если (x˳)>0 , то x˳ - точка мин;если (x˳)<0  , то x˳ - точка макс.

26. Условный экстремум ф-ии в точке (метод Лагранжа)

Метод нахождения условного экстремума ф-ии {\displaystyle f(x)}f(x), где {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} относительно {\displaystyle m}m ограничений {\displaystyle \varphi _{i}(x)=0} , где {\displaystyle i}i меняется от единицы до {\displaystyle m}m.

• 
  Составим ф-ию Лагранжа в виде линейной комбинации ф-ии {\displaystyle f}f и ф-ий {\displaystyle \varphi _{i}} , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа - {\displaystyle \lambda _{i}} : {\displaystyle L(x,\;\lambda )=f(x)+\sum _{i=1}^{m}\lambda _{i}\varphi _{i}(x),}
  

где {\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{m})}

• 
  Составим систему из {\displaystyle n+m}n+m уравнений, приравняв к нулю частные производные ф-ии Лагранжа {\displaystyle L(x,\;\lambda )}  {\displaystyle x_{j}}
  
• 
  Если полученная система имеет решение относительно параметров {\displaystyle x'_{j}}  {\displaystyle \lambda '_{i}}, тогда точка {\displaystyle x'}  может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи.