1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы
 Скачать 1.13 Mb.
|
|
Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов, названные в честь их первооткрывателя Пафнутия Львовича Чебышёва. Первая последовательность, Tn(x), многочлен Чебышёва первого родахарактеризуется как многочлен степени n > 1 со старшим коэффициентом 2n-1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [-1,1]. Вторая последовательность, Un(x), многочлен Чебышёва второго родахарактеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2n, интеграл абсолютного значения которого по интервалу [-1,1] наименьший возможный.  2.6. Функции одной комплексной переменной. Условие Коши-Риммана. Интегральная формула Коши. 2.7. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Эквивалентность дифференцируемости и регулярности функции в области. 2.8. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Понятие вычета в изолированной точке. 3. Функциональный анализ 3.1. Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения. Компактные множества. 3.2. Принцип сжатых отображений. Метод последовательных отображений. 3.3. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Сильная и слабая сходимость. Задача о наилучшем приближении элементами выпуклого множества или подпространства. Минимальное свойства коэффициентов Фурье. 3.4. Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора. Сходимость операторов. Обратимость. Ряд Неймана и условия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора. 3.5. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности. Теорема Банаха-Штейнгауза, еѐ приложения. 3.6. Теорема Рисса (для гильбертова пространства). Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные, вполне непрерывные операторы и их свойства. 3.7. Свойства собственных значений и собственных функций для задачи на собственные значения, где - самосопряженный, вполне непрерывный линейный оператор. 3.8. Квадратичные функционалы и обобщенные решения операторных уравнений. 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения 4.1. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для одного уравнения 1-го порядка и для системы - уравнений 1-го порядка с -неизвестными в нормальной форме (без доказательства). Теорема существования и единственности для системы линейных уравнений 1-го порядка. 4.2. Линейные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами. Решение однородного уравнения. Решение неоднородного уравнения со специальной правой частью в виде квазиполинома. Уравнение Эйлера. 4.3. Решение однородной системы первого порядка с постоянными коэффициентами (случай простых корней). 4.4. Системы линейных уравнений первого порядка с переменными коэффициентами. Фундаментальная система решений однородного уравнения и ее существования. Формула Лиувилля. Метод вариации произвольных постоянных для отыскания частного решения неоднородной системы. Структура общего решения. 5. Методы вычислительной математики 5.1. Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. 5.2. Интерполяция функции одного переменного с помощью кубических сплайнов. Кусочно-кубическая интерполяция со сглаживанием. Гладкие восполнения. Сходимость сплайн-функций. 5.3. Численное интегрирование. 2 5.4. Разложение матрицы на треугольные множители. Компактная схема. Метод факторизации. Число обусловленности матрицы как мера устойчивости процесса решения системы уравнений. 5.5. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Сходимость и оптимизация стационарных итерационных методов. 5.6. Метод последовательной верхней релаксации, чебышевские итерационные методы, метод минимальных невязок, метод сопряженных градиентов. 5.7. Теоремы о сходимости для итерационных методов. 5.8. Задача на собственные значения. Степенной метод. Метод вращений. 5.9. Конечно-разностнрые методы. Методы Рунге-Кутта (на примере явной схемы 4-го порядка аппроксимации). Линейные многошаговые методы. 5.10. Сходимость и устойчивость конечно-разностных методов. Понятия устойчивости, абсолютной устойчивости. Порядок аппроксимации, погрешность аппроксимации. Сходимость решения разностной задачи к решению дифференциальной (на примере явной схемы Рунге-Кутта 2-го порядка аппроксимации). 5.11. Жесткие задачи. Явные и неявные методы, их особенности. Применение линейных многошаговых методов. 6. Основы теории управления 6.1. Содержание задач управления. Классификация систем управления. Математические модели и характеристики систем управления. 6.2. Математическое описание линейных автоматических систем управления. Пространство состояний объекта управления. Составление уравнений статики, методы их линеаризации. Типовые входные сигналы, их математическое описание и реакция на них линейных звеньев автоматики (переходная и импульсная функции, реакция на гармоническое воздействие. Связь выходного и входного сигналов на основании интеграла свертки. Передаточные функции. Частотные характеристики (АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ). 6.3. Типовые линейные звенья (усилительное, интегрирующее, апериодическое, колебательное, дифференцирующее, запаздывания). Аппроксимация реальных объектов типовыми звеньями. Виды соединений звеньев. Определение передаточных функций системы и еѐ характеристик по передаточным функциям и характеристикам звеньев входящих в систему. Эквивалентные преобразования структурных схем. 6.4. Устойчивость линейных систем. Определение устойчивости динамической системы. Необходимые и достаточные условия. Алгебраические и частотные критерии устойчивости (Раусса, Гурвица, Михайлова, Найквиста). Определение устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам. Определение областей устойчивости Д-разбиение по одному и двум параметрам. Запасы устойчивости. Устойчивость систем с запаздыванием. 6.5. Качество переходных процессов. Построение переходных процессов (аналитическое, по характеристикам системы). Прямые и косвенные показатели качества переходных процессов. Интегральные критерии качества. Статические и астатические системы. Точность управления, коэффициенты ошибок. Анализ качества по частотным характеристикам замкнутой системы. 7. Основы обработки измерений 7.1 Постановка задачи математической обработки результатов измерений. Основы теории вероятности и ошибок измерений. Классификация ошибок измерений. Параметры нормального закона распределения ошибок измерений. Среднеквадратические ошибки измеренной величины и функции измеренной величины. Абсолютные и относительные ошибки. Прямые и косвенные измерения. Равноточные и неравноточные измерения. Понятие веса. Вычисление весов функций. 7.2. Математическая обработка многократных равноточных измерений одной величины. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений. 7.3. Математическая обработка многократных неравноточных измерений одной величины. Оценка точности по разностям двойных неравноточных измерений. 7.4. Косвенные наблюдения и их обработка. Принцип наименьших квадратов. Цель и постановка задачи уравнивания. Уравнения поправок. Вывод нормальных уравнений. Решение системы нормальных уравнений. Алгоритм Гаусса. Контрольные вычисления при решении уравнений поправок. 7.5. Оценка точности при косвенных измерениях. Весовые коэффициенты и их вычисления в общей схеме решения нормальных уравнений. Вычисление весовых коэффициентов по методу Ганзена. Оценка точности функции уравновешенных величин при помощи весовых коэффициентов. |