1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы

• Название: 1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы
• Дата: 13.08.2019
• Размер: 1.13 Mb.
• Имя файла: 1.docx
• Тип: Документы; #85056
• страница: 2 из 18

Детерминант квадратной матрицы. Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы.

Определителем матрицы первого порядка  называется число, равное единственному

элементу этой матрицы: A = {a}, detA = |A| = a.

Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n>1:



Определителем квадратной матрицы n-го порядка, n >1, называется число, равное



где M_1j — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием

первой строки и j-го столбца.

Квадратная матрица называется вырожденной, если её определитель равен нулю.

Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель отличен от нуля.

Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей

сомножителей.

Два определения ранга матрицы (в терминах линейной независимости строк и неравенства нулю миноров.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы.

То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю.

Обозначаем Rg A, rg A, rank A.

Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы. То есть, если ранг матрицы равен r, то среди строк (столбцов) матрицы есть r линейно независимых строк (столбцов), а любые r +1 строки (столбца) — линейно зависимы.

Матрицы, имеющие одинаковый ранг — подобные матрицы.

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Ранг ступенчатой матрицы равен количеству ненулевых строк.

Рангом матрицы называется максимальное количество линейно независимых строк этой системы.

Ранг матрицы есть наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

1.3. Система линейных уравнений. Критерий совместимости Кронекера-Капелла.

Совокупность уравнений



относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:




Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b.

Здесь  A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.



Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.
Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Это утверждение называют теоремой Кронекера-Капелли.