1. Линейная алгебра Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы
 Скачать 1.13 Mb.
|
|
Билинейная форма Пусть e1, ..., en — базис в L. И пусть для векторов x и y из Lзаданы разложения x = x1·e1+x2·e2+ ...+ xn· en и y = y1·e1+ y2·e2+ ...+ yn· en . Тогда для билинейной формы φ(x , y) справедливо представление  Обозначим φi j = φ(ei , ej). Тогда для билинейной формы формы φ(x , y) справедливо матричное представление φ(x , y) = x T·Φ·y:   Матрица Φ называется матрицей билинейной формы. Ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса и называется рангом билинейной формы. Дефектом билинейной формы называется разность между размерностью пространства и рангом билинейной формы: d = n − r. Билинейная форма называется невырожденной, если её дефект равен нулю. Квадратичная матрица Пусть e1, ..., en — базис в L. И пусть для вектора x из Lзадано разложение x = x1·e1+x2·e2+ ...+ xn· en. Тогда для квадратичной формы k(x) справедливо представление  Здесь φ(ei, ej) — значение полярной для k(x) билинейной формы φ(x , y). Матрица A = {aij} называется матрицей квадратичной формы. Определённая таким образом матрица квадратичной формы является симметричной матрицей. Приведение к канонической квадратичной и закон инерции Пусть k(x) — квадратичная форма, заданная в пространстве арифметических векторов Rn. В пространстве Rn существует канонический базис квадратичной формы, базис, в котором матрица квадратичной формы является диагональной. В этом базисе квадратичная форма имеет канонический вид k(x) = λ1x12 + λ2x22 + ... + λnxn2. Числа λ1, λ2, ... , λn — канонические коэффициенты квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм гласит: число положительных, отрицательных и нулевых канонических коэфициентов квадратичной формы не зависит от преобразования, с помощью которого квадатичная форма приводится к каноническому виду. Число положительных канонических коэфициентов квадратичной формы называется положительным индексом инерции квадратичной формы. Число отрицательных канонических коэфициентов квадратичной формы называется отрицательным индексом инерции квадратичной формы. Разность между положительным и отрицательным индексами квадратичной формы называется сигнатурой квадратичной формы. Число ненулевых канонических коэффициентов называется рангом квадратичной формы. Критерий Сильвестра Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.  2. Математический анализ 2.1. Предел последовательности. Числовые ряды. |