шПОРЫ И теория по матанализу. Шпоры и теория по матанализу. 1. Определение числовой функции. Способы задания функций

• Название: 1. Определение числовой функции. Способы задания функций
• Анкор: шПОРЫ И теория по матанализу
• Дата: 10.01.2022
• Размер: 450 Kb.
• Имя файла: Шпоры и теория по матанализу.doc
• Тип: Документы; #327150
• страница: 2 из 4

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х = х₀ , если эта функция определена в какой-либо окрестности точки х₀ и в самой точке х₀ , и если бесконечно малому изменению аргумента соответствует бесконечно малое изменение функции.

23.Теорема о непрерывности сложной ф-ции.

Сложная функция, составленная из конечного числа суперпозиций непрерывных функций, тоже непрерывная функция.

24. Теорема о непрерывности обратной ф-ции. Функция обратная для монотонной и непрерывной функции также непрерывна.

25. Теорема о непрерывности элементарных ф-ций. Любая элементарная функция непрерывна в своей области определения. (Промежутки непрерывности элементарных функций точно совпадают с их областью определения).

26. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если или не существует.

Разрыв 1 рода (скачок) если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Разрыв 2 рода (бесконечный), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Разрыв 3 рода (устранимый), если функция не существует в точке х₀ или если значение функции в точке х₀ не совпадает со значением односторонних пределов.

27.определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x₀(∆x=x-x₀). Производной функции в точке x₀ называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение .

28. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х₀ , то мы говорим, что функция дифференцируема в этой точке.

29. Дифференциалом функции в точке х₀ называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

df(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀) dх
30. Общие правила дифференцирования.










( f (g (x)) )’ = f ‘(g(x)) · g ‘ (x)
(u ^v )’ = v · u ^v-1 · u’ + u^v · v’ · ln u
31.Теорема о производной обратной функции.

Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g(y0)=1/f(x0) или xy=1/yx.

32.Теорема о производной сложной функции.

.Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f(x0)*g(t0) или yt=yx*xt.
33. Геометрический смысл производной и дифференциала.

Приращением функции y =f(x) в точке x0 называется разность

Δу=f(x)-f(x0)= f(x+Δx)-f(x0)

Производной от функции y=f(x) в точке х0 наз. Предел отношения Δу/Δх, когда Δх→0 (при усл., что этот предел существует)

Написать обозначение производной.

Геометрический смысл производной.

Пусть Г- график функции y=f(x). Рассмотрим на Г т. А(x0,f(x0)) и т. В (x0+Δx,f(x0+Δx))

Прямая АВ называется секущей. Будем считать, что y=f(x)-непрерывная функция, тогда если Δх→0, то f(x0+Δx)→f(x0), т.е. В→А при Δх→0.

Пусть γ – угол наклона секущей относительно оси ОХ. Если существует предел lim γ=γ0 при Δх→0, то прямая, проходящая через А и образующая с осью ОХ угол γ0, называется касательной к Г в точке А.

Пусть С(f(x0+Δх), f(x0)) – точка, дополняющая отрезок АВ до прямоуг. треугольника АВС. Т.к. АС//ОХ, то tgγ =Δу/Δх. Переходя к пределу, получим: tgγ0=f′(x0)

Т.е. геометрический смысл производной состоит в том, что f′(x0) – это тангенс угла наклона касательной к графику y=f(x) в точке (x0,f(x0)).

34. Уравнение касательной.

Найдем ур-е касательной к графику Г ф-и y=f(x) в точке А(х0, f(x0)): т.к. т. А принадлежит Г и ур-ю касательной, то f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0)-kx0, значит, касательная задается след. Ур-м:

y= kx+ f(x0)-kx0= f(x0)+k(х-x0)

Т.к. k= f′(x0), то

y=f(x0)+ f′(x0)(х-х0).
34. Определение эластичности функции.

функции y = f(x) в точке х0 называется следующий предел

Eyx(x0) = lim ((Δy/y): (Δx/x)).

Δx  0

Эластичность Ey – это коэффициент пропорциональности между относительными изменениями величин y и x.)

35. Теорема Ролля.

Если функция, непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема на интервале (a;b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
36. Теорема Лагранжа.

Пусть функция f(x)

1. 
   непрерывна на отрезке [a, b];
   
2. 
   дифференцируема в интервале (a, b).
   

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что

f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a) .

(1)

 Формула (1) называется формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений

37. Теорема Коши.

Пусть даны две функции f(x) и g(x)такие, что:

1. 
   f(x) и g(x)определены и непрерывны на отрезке ;
   
2. 
   производные и конечны на интервале ;
   
3. 
   производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале
   
4. 
   ;
   

тогда

, где

(Если убрать условие 4, то необоходимо усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в нуль нигде в интервале (a,b).)

38. Правило Лопиталя.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть А – число, символ одностороннего предела (А=а±0) или символ бесконечности (А=±∞). Пусть функции ƒ(х) и g(х) либо обе бесконечно малые, либо обе бесконечно большие при х→А. Тогда, если существует предел

( конечный или бесконечный),




то существует и предел
при этом выполняется равенство:

39. Производные и дифференциалы высших порядков.

Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом:

d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка

d3y=d(d2y)…

dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка

40. Формула Тейлора. Формула Маклорена.

теорема Тейлора.

Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула:

Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение



представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)ⁿ. Таким образом, остаточный член можно записать в виде

R_n+1(x) = o((x-a)ⁿ)при x a.

Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано.

Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0:

Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид

R_n+1 = o(xⁿ) при x 0.

П риведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена


Найдите, исходя из

определения, производную функции f(x) в точке x₀:

26. f(x) = x³, x₀ - произвольное число.

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f(x) = x³

f ′(x_о)= = = = =3

27. f(x)=sinx, x_о-произвольное число

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ′(x_о)= = = =cosx₀

28. f(x)= ,x_о =9

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = = =1/6

29. f(x)= , x_о =1

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ’(x)= = = = =-2

30. f(x)=xx, x₀=0

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =