шПОРЫ И теория по матанализу. Шпоры и теория по матанализу. 1. Определение числовой функции. Способы задания функций
 Скачать 450 Kb.
|
|
Теорема: любые две первообразные для данной функции отличаются только постоянным слагаемым. Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем F1’(x)=f(x) и F2’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x). Составим разность F2(x) - F1(x) и найдем производную этой разности. (F2(x) - F1(x))’= F1’(x)- F2’(x)=f(x) – f(x)=0 Нулю равна только производная константы. Значит F2(x)- F1(x)=С или F2(x)=F1(x)+С, где С - некоторая постоянная. 75. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство . ( f (x) + g(x))dx = . f (x)dx + . g(x)dx? Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то совокупность первообразных F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x). Теорема: неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx. Доказательство. Дифференцируя левую часть равенства, получим: (∫(f(x)+g(x))dx)’=f(x)+g(x), производная правой части (∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)’=(∫f(x)dx)’+(∫g(x)dx)’=f(x)+g(x) Производные равны, значит мы получили верное равенство, значит ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx. 76. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,что d(. f (x)dx)= f (x)dx. 1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. (∫f(x)dx)’=f(x) (∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x) d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е. ∫dF(x)=F(x)+C 3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k≠0, то ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx 4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е. ∫(f1(x)+f2(x))dx=∫f1(x)dx+∫ f2(x)dx 77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла. Теорема: пусть U(x) и V(x) – две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на этом промежутке выполняется формула интегрирования по частям: ∫udv=uv-∫vdu Доказательство. Имеем формулу дифференциала произведения функций uv: d(uv)=udv+vdu Интегрируя обе части равенства, получим: uv=∫udv+∫vdu Откуда ∫udv=uv-∫vdu. 78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла. Теорема:.пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на X, то F(φ(t)) – первообразная для f(φ(t)φ’(t)) на T, т.е. на множестве T выполняется равенство:  Доказательство: По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна F’t(φ(t))=Fx’(φ(t)) φ’(t)=f(φ(t))φ’(t), что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства. 79. Дайте определение функции f (x), интегрируемой на отрезке [a,b].Докажите, исходя из определения, что постоянная функция f (x) = 9 интегрируема на любом отрезке. Функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a;b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают следующим образом: I=a∫bf(x)dx 81. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то функция = .xaF(x) f (t) dt, x .[a,b], является ее первообразной на этом отрезке. если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция F(x) =a∫xf(t)dt дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем F’(x)=f(x). Доказательство: F’(x)=lim∆x→0 (F(x+∆x)-F(x))/∆x Для xє(a;b) выберем ∆x столь малым, чтобы точка x+∆x лежала внутри [a;b], тогда F(x+∆x)=a∫ x+∆xf(t)dt F(x+∆x)-F(x)= a∫ x+∆xf(t)dt - a∫xf(t)dt= x∫ x+∆xf(t)dt + a∫xf(t)dt - a∫xf(t)dt= x∫ x+∆xf(t)dt Применим теорему о среднем F(x+∆x)-F(x)= x∫ x+∆xf(t)dt=f(c)*∆x x (F(x+∆x)-F(x))/∆x=(f(c)*∆x)/∆x=f(c) Так как функция f(x) непрерывна и c→x при ∆x→0, то lim∆x→0f(c)=f(x) F’(x)= lim∆x→0(F(x+∆x)-F(x))/∆x= lim∆x→0f(c)=f(x) Значит f(x) непрерывна на [a;b] и F(x)=a∫xf(t)dt 82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла. Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – первообразная для f(x), тогда: интеграл f(x)dx=F(b)-F(a), т.е. значение определенного интеграла равно приращению любой из первообразных подынтегральной функции на отрезке интегрирования. Доказательство: Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. По теореме о производной интеграла по переменному верхнему пределу F(t)=a∫t f(x)dx=f(t) Но первообразные отличаются на c-const a∫t f(x)dx=F(t)+c (*) 1) t=a, значит a∫af(x)dx=F(a)+c=0 F(a)=-c подставим это выражение в уравнение (*) и получим: a∫t f(x)dx=F(t)-F(a) 2) t=b, значит a∫b f(x)dx=F(b)-F(a) |