шпорки по физике-1. 1. основные харки мех. Движения. Прямолинейное и криволинейное движение материал. Точки. Скорость и ускорение. Механика

• Название: 1. основные харки мех. Движения. Прямолинейное и криволинейное движение материал. Точки. Скорость и ускорение. Механика
• Дата: 21.05.2022
• Размер: 2.4 Mb.
• Имя файла: шпорки по физике-1.doc
• Тип: Документы; #542230
• страница: 3 из 14

Вес тела зависит от высоты его положения над уровнем моря и географической широты местности.

Так, если на уровне моря сила тяготения, действующая на тело массы m со стороны Земли, равна

F₀ = fmM₃/R² (здесь R = 6370 км –радиус Земли),

то на высоте h над уровнем моря

F = fmM₃/(R + h)².

Взяв отношение этих сил, получим

F₀/F = (R + h)²/R²  1 + 2h/R. Член h²/R² – мал по ср. с другими и им пренебрегаем. Тогда

F = F₀/(1 + 2h/R) = F₀ ( 1 + 2h/R)^-1 = F₀( 1 – 2h/R),

Т.е. с возрастанием высоты тела h над уровнем моря действующая на него сила тяготения, проявляющаяся как вес тела, уменьшается.

Наличие вблизи взвешиваемых тел гор, участков земной коры с аномальной плотностью и т.п. также влияет на величину их веса. На этом основан один из методов определения плотности горных пород, разведки полезных ископаемых и т.д. (гравиметрический метод).

Поскольку расстояние от центра Земли до полюсов меньше, чем до экватора, то вес того или иного тела на полюсе будет больше, чем на экваторе. Этим отчасти обусловливается зависимость веса тел от геогр. широты местности. Но основной причиной, обусловливающей зависимость веса тел от широты местности, является суточное вращение Земли вокруг своей оси.

На тело, лежащее на поверхности Земли и вращающееся вместе с ней, будет действовать центростремительная сила F = m²Rcos, которая зависит от широты  и которая изменяет вес тела.  и R угловая скорость вращения и радиус Земли. Вес тела на широте  равен

P = mg(1 - ²R cos² )

g

При перемещении тела от полюса к экватору вес его будет монотонно уменьшаться по величине от значения mg на полюсе до значения mg(1 - ²R/g) на экваторе. Однако и это изменение веса тела с изменением широты местности невелико, т.к. величина ²R/g равна лишь 1/289.

Направление силы веса тела Р, отклоняется от направления на центр Земли на угол , величина которого зависит от широты местности . Сила Р будет направлена к центру Земли только на полюсе и на экваторе. Максимальное отклонение направления веса тела от направления на центр Земли будет на широте  = 45⁰.

Итак, сила тяготения mg = fmM/R² (отсюда g = fM/R²), действующая на тело массы m со стороны Земли и зависящая по величине только от расстояния тела до центра Земли, всегда направлена к центру Земли, не равна весу этого тела, даже если оно покоится относительно Земли.

Движение тела, происходящее под действием только его силы тяжести, наз. свободным падением. Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) g = P/m. Оно одинаково для всех тел и зависит только от географической широты и высоты над уровнем моря. Стандартное (нормальное) значение g, принятое для расчетов, равно 9,80665 м/с².
5.СИЛЫ ТРЕНИЯ.

Опыт показывает, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела и предоставленное самому себе, с течением времени замедляет свое движение и наконец останавливается. Это значит, что на него со стороны другого тела, по поверхности которого оно движется, действует сила, направленная противоположно его скорости и наз. силой трения. О наличии сил трения свидетельствует и тот факт, что для приведения в движение тела, лежащего на поверхности другого тела, к нему необходимо приложить конечную силу, направленную в сторону движения и превышающую некоторую определенную минимальную величину. Эта сила необходима для преодоления силы трения покоя, препятствующей движению.
Рис.1

Силу F, действующую со стороны тела А на соприкасающееся с ним тело В, можно разложить на составляющие F_n и F_ (рис.1):

F = F_ + F_n (1).

Составляющая F_ лежит в плоскости соприкасающихся тел и зависит от состояния и свойств соприкасающихся поверхностей. Эта составляющая и вызывает силу трения.

Т.о., силы трения – это силы, действующие между телами вдоль их соприкасающихся поверхностей как при покое, так и при относительном движении тел и зависящие от состояния и свойств поверхностей соприкосновения, а также от их относительной V.При этом сила трения, действующая на тело, всегда направлена противоположно его скорости по отношению к другому телу, соприкасающемуся с ним. Силы трения возникают при действии на соприкасающиеся тела внешних сил, имеющих составляющие, направленные вдоль поверхности соприкосновения, а также при движении этих тел относительно друг друга.

Силы трения действуют на оба соприкасающихся тела, будучи равными по величине и противоположно направленными, причем их направления противоположны относительным скоростям тел. Так, пусть тело А (Рис.2) движется со скоростью V_A по



Рис.2.

поверхности другого тела В, скорость которого V_B, направлена в ту же сторону, но |V_B| < |V_A|. Относительная скорость тела А (по отношению к условно неподвижному телу В) равна V_A - V_В и направлена, как и V_A. Поэтому сила трения _А, действующая на него со стороны тела В, будет направлена противоположно его относительной скорости (влево). Относительная же скорость тела В равна V_B - V_A и направлена в сторону противоположную V_A (т.к. V_B < V_A). Поэтому сила трения _В будет действовать на тело В в направлении его скорости V_B (вправо).

Силы трения, действуя на тело, как и всякие другие силы, влияют на характер движения, поэтому их тоже необходтмо учитывать. В частности, чтобы поддерживать скорость движущегося тела V неизменной, на него необходимо все время действовать с силой F, направленной в сторону движения и по величине равной силе трения , препятствующей движению. Тогда эти две силы уравновесят др. др. и ускорение тела

dV/dt = (F + )/m = 0 , т.к. F +  = 0.

В действительности тела движутся равномерно и прямолинейно не тогда, когда на них никакие силы не действуют (это невозможно осуществить в земных условиях), а когда силы трения уравновешиваются другими, противоположно направленными силами, приложенными к телу извне.

Чтобы измерить силу трения , действующую на некоторое тело массы m , к нему прилагают известную (измеримую непосредственно) движущую силу F, подобрав ее величину такой, чтобы тело двигалось без ускорения. Тогда по 2-му закю Ньтона:

F + =mdV/dt = 0   =F.

В частности, для измерения силы трения  применяется такой метод, рис. 3.
Рис.3.

Груз M подбирают таким, чтобы тело двигалось без ускорения. В этом случае  = Т = Mg.

Прибор для измерения сил трения называется трибометром.

Силы трения, действуют между соприкасающимися твердыми телами, наз. силами сухого трения. Они действуют и при движении соприкасающихся тел и при их относительном покое. Характерной особенностью, отличающей их от трения в жидкостях и газах, является то, что по мере уменьшения относительной скорости соприкасающихся тел вплоть до нуля силы сухого трения, действующие между ними, не обращаются в нуль, а стремятся к определенной величине, наз. трением покоя. Рассказать о силе трения покоя по рис.3.

При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения покоя, величина которой может меняться от 0 до _пред, называется предельной силой трения. Сила трения покоя – неоднозначная величина: с изменением внешней силы соотв. изменяется и сила трения покоя так, чтобы уравновесить внешнюю силу. Когда внешняя сила окажется по величине больше _пред, то возникнет скольжение данного тела по поверхности соприкасающегося с ним другого тела.

Опыт показывает, что силы трения зависят от относительной скорости скольжения. Вначале с возрастанием относительной скорости величина  несколько уменьшается, а затем при дальнейшем увеличении скорости, величина  медленно начинает возрастать. Но эти изменения слабые, так что часто считают, что  не зависит от скорости.  зависит от материала, от состояния соприкасающихся поверхностей (от их шероховатости), а также от величины силы нормального давления одного из данных тел на другое. Кулон исследовал силы трения и установил закон Кулона :

Величина сил трения , действующих между двумя данными телами, не зависит от площади их соприкасающихся поверхностей и пропорциональна силе нормального давления N:

 = kN , где к – коэф. трения скольжения, N – сила нормального давления.

_пред = к₀ N, где

к₀ – коэф. трения покоя. k > k₀. Коэф. трения в таблицах.

Силы трения действуют и при качении тела по поверхности другого тела. В этом случае

 = SN/R, где

R – радиус катящегося тела, S – коэффициент трения качения.

Обычно S/R <<k !  замена скольжения тела его качением. Для уменьшения трения между трущимися поверхностями твердых тел помещают смазку, т.к. внутренее трение жидкости меньше трения скольжения.
6.СИЛЫ УПРУГОСТИ. ЗАКОН ГУКА.

Силы упругости – это силы, возникающие только при деформации тел. Действующая на тело сила может деформировать тело, составляющие его частицы смещаются друг относительно друга. При этом в соответствии с 3-м законом Ньютона внутри деформированного тела возникает противодействующая сила, равная по модулю деформирующей силе и называемая силой упругости. При прекращении деформации силы упругости исчезают.

Пример: растяжение пружины или резинки.

Заметим, что хотя силы упругости появляются только при деформациях, но не всегда деформация приводит к появлению сил упругости. Силы упругости возникают в телах, которые восстанавливают свою форму или объем после прекращения действия сил, вызывающих деформацию. Именно такие силы называются упругими.

Деформация называется упругой, если после прекращения внешнего воздействия тело полностью восстанавливает свою форму и размеры. При пластической деформации изменения размеров и формы тела полностью не исчезают после прекращения действия силы. Мы будем рассматривать только упругую деформацию.

Существует несколько видов деформации тел: одностороннее растяжение или сжатие, всестороннее растяжение или сжатие, кручение, сдвиг, изгиб. Каждый вид деформации вызывает появление соответствующие силы упругости.

Английский физик Роберт Гук установил экспериментальную зависимость между силой упругости и величиной деформации: сила упругости F, возникающая при малых деформациях любого вида, пропорциональна деформации X (закон Гука)

F = - k X.

При больших смещениях X возникает остаточная деформация –тело не восстанавливает полностью свои форму и размер. При значительных деформациях может даже произойти разрушение тела (рис.) Этот закон легко установить, наблюдая растяжение пружины под действием силы F, приложенной к ее концу.


Рис.1.

Легко установить, что |F_упр| = k |X|. Коэф. k –наз. коэф. упругости или жесткостью пружины. Коэффициент k различных тел зависит от формы и материала вещества, в котором возникают силы упругости.

При растяжении и сжатии стержней из стали, чугуна и т.д. уменьшение или увеличение их длины также пропорционально приложенной силе. Величина k для стержней зависит не только от материала стержня, но и от его начальной длины l₀ и площади поперечного сечения S. Эта зависимость отражается следующей формулой:

K = SE/l₀,

где Е – называется модулем упругости материала или модулем Юнга, он характеризует упругие свойства вещества стержня и не зависит от размеров тела. Сила же упругости для стержня будет F_упр = SEl /l₀ , откуда при l= l₀ и S = 1 получим Е = F_упр, т.е модуль упругости вещества равен отношению силы, растягивающей вдвое стержень из этого вещества, к площади поперечного сечения стержня.

Не останавливаясь на других видах деформации, отметим только, что все они в конечном счете могут быть сведены к соотвующим комбинациям деформаций одностороннего растяжения и сжатия.

Величиной, указывающей в какой мере деформировано тело независимо от его длины, является относительная деформация

 = (l – l₀)/l₀.

Отношение деформирующей силы к площади S, на которую она действует F/S = P_н, численно равно силе, действующей на единицу площади в перпендикулярном ей направлении, наз. нормальным напряжением.

При описании деформации сдвига подобно модулю Юнга используют модуль сдвига N.

7.ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.

Второй закон Ньютона позволяет найти ускорение движущейся точки в каждый данный момент времени, т.е.

F = m d²r/dt^2,, откуда r =  F dt/m = r(t),

V = F dt/m = V(t).

На практике чаще всего бывает необходимо найти изменение движения тела за какой-либо определенный промежуток времени. Для решения этой задачи следовало бы применить 2-ой закон Ньютона много раз во все промежуточные моменты времени, что сложно. Поэтому целесообразно предварительно преобразовать основные законы динамики и вывести из них ряд следствий, позволяющих находить конечные скорости тел сразу, без вычисления ускорений и скоростей во всех промежуточных точках. Первым таким практически важным следствием из основных законов динамики (Ньютона) является так называемый закон количества движения (импульса).

Запишем 2-ой закон Ньютона F = mW в виде

F = m lim V/ t (1)

t

Рассмотрим конечный, но малый промежуток времени t, в течение которого действующая на материальную точку сила F не успевает заметно измениться ни по величине, ни по направлению. Заменяя в (1) величины F иW их средними значениями за промежуток времени t, получим

F_ср = m V/t. (2)

Для постоянной силы (F = const и W=F/m = const) среднее значение F_ср и W_ср= V/t в точности равны их мгновенным значениям F и W в каждом промежутке t. В случае переменной силы это равенство будет выполняться тем точнее, чем меньше интервал t.

Обозначим скорость мат. точки в начале промежутка t через V₁, а в конце его – через V₂. Тогда V =V₂ -V₁ и из (2) имеем

Рис.1.

F_ср t =m(V₂ - V₁) = mV₂ -mV₁. (3)

Вектор F_срt называется элементарным импульсом силы.

Вектор mVназывается вектором количества движения точки. Разность mV₂ - mV₁ представляет собой приращение вектора количества движения за время t. Обозначим это приращение через (mV), получим математическую формулировку закона изменения количества движения:

F_ср t = (mV). (4)

Элементарный импульс силы, действовавший на материальную точку в течение промежутка времени t , равен изменению ее количества движения за тот же промежуток времени.

В случае переменной силы, действующей в течение достаточно большого промежутка времени, последний следует разбить на достаточно малые элементарные интервалы t_k так, чтобы на каждом интервале можно было заменить силу ее средним значением в этом интервале F_k.

Пронумеровав все последовательные положения движущейся точки на ее траектории как на рис., применим (4) последовательно к каждому интервалу. Для 1-го интервала t₁ = t₁ – t₀ получим:

F₁t₁ =mV₁ -mV₀,

Аналогично далее:

F₂ t₂ = mV₂ - mV₁

F_k t_k = mV_k - mV_k-1

F_nt_n = mV_n – mV_n-1 .

Сложим все эти равенства. Тогда промежуточные значения вектора количества движения попарно сократятся, и мы получим :

F₁ t₁ +F₂ t₂ + ….+F_k t_k + ….+ F_n t_n =mV_n- mV₀ (5)

F_k t_k – наз. полным импульсом переменной силы за время t_n – t₀ .

F_k t_k = mV_n- mV₀ , (6)

т.е.полный импульс переменной силы равен полному изменению количества движения за все время действия силы.

Закон изменения количества движения (6) позволяет по начальной скорости V₀ и известному полному импульсу силы находить сразу конечную скоростьV_n без вычисления всех промежуточных скоростей.

Вычисление полного импульса F_k t_k в общем случае произвольных сил также представляет собой довольно сложную задачу, решаемую методами интегрального исчисления.

Закон изменения количества движения является непосредственным следствием 2-го закю Ньютона. Используя наряду с ним и 3-ий закон Ньютона, получим так называемый закон сохранения количества движения.

Для этого рассмотрим две взаимодействующие материальные точки массами m₁ и m₂ . Обозначим скорости движения этих точек в данный момент времени соотв. V₁и V₂ (рис. 2.)


Рис.2.

Если первая из этих точек действует на вторую с F₁₂ , то 2-я по 3-му закону Ньютона, действует на 1-ю с силой F₂₁ = -F₁₂ . Под действием этих сил за промежуток времени t скорости точек получают приращения V₁ и V₂ и их количества движения изменяются соответственно на величину (m₁V₁) и (m₂V₂). Применяя закон изменения количества движения (4) к движению каждой точки в отдельности, можно написать:

F₂₁t = (m₁ V1), F₁₂t = (m₂ V₂) (7)

Складывая эти два равенства и учитывая, что F₁₂ = -F₂₁, получаем:

0 = (m₁ V1) + (m₂ V₂) =(m₁ V₁ + m₂ V₂) . (8)

Рассматриваемые две материальные точки, взаимодействующие только друг с другом, образуют систему, изолированную от действия всех остальных тел.

Геометрическая сумма количества движения обеих точек m₁V₁ +m₂V₂ наз. количеством движения системы. Из (7) и (8) следует, что за время движения количество движения каждой точки в отдельности может изменяться, но количество движения системы остается постоянным:

m₁V₁ + m₂V₂ = const (9)

Аналогичным способом может быть выведен закон сохранения количества движения для системы, состоящей из любого числа материальных точек или тел, взаимодействующих только между собой.

В изолированной системе материальных тел количество движения всей системы в целом остается неизменным:

m_iV_i = const.

При механическом движении увеличение количества движения одного тела равно уменьшению количества движения всех остальных взаимодействующих с ним тел. Взаимодействующие тела обмениваются количеством движения; количество движения переносится от одного тела к другому. Скорость передачи количества движения определяет величину силы взаимодействия. Для каждого из тел в соответствии с (4) можно записать

(mV)/ t =F.

Привести примеры: человек прыгает с лодки и т.д.
8.ГАРМОНИЧЕСКОЕ КОЛЕБАНИЕ И ЕГО ХАР-КИ.

Среди явлений природы мы часто наблюдаем периодические процессы. Пример: морские приливы и отливы, морские ветры и т.д.

В периодическом процессе изменение какой-либо величины повторяется в точности через совершенно определенное время –период. Математически функция f(t) является периодической с периодом Т, если для любого момента времени выполняется равенство:

F(t + T) = f(t). (1)

Многие реальные процессы идут с «затуханием» и любую величину, описывающую их движение, нельзя в точности описать с помощью (1), т.е. движение не будет периодическим. Однако, движение такого рода, когда тело поочередно многократно раз смещается то в одну то в другую сторону, наз. колебательным движением или колебанием. Периодические процессы представляют частный случай колебательных процессов. Их можно представить как наложение гармонических колебаний.

Фурье анализ.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодичесих колебаний, называемых гармоническими. Эти колебания представляют собой периодический процесс, в котором изменение какой-либо величины происходит по закону синуса или косинуса.

Ознакомимся с этими колебаниями на примере равномерного движения материальной точки по окружности.

Предположим материальная точка А движется по окружности радиуса R c угловой скоростью . Смещение ее вдоль оси Ох будет определяться проекцией радиуса на ось Ох (рис.1)

Рис.1.

R_x(t) = R cos ( t +  ). (2)

Эта формула описывает колебательное движение проекции точки А вдоль оси Ох около точки О, которую будем наз. «положением равновесия». Период изменения проекции такой же, как и время одного оборота точки А. Он равен Т = 2t  - фаза колебания (аргумент тригонометрической функции в уравнении гармонических колебаний). Она определяет состояние колебательной системы в любой момент времени. При t = 0 ₀ – начальная фаза.

Максимальное значение проекции точки А вдоль оси Ох от положения равновесия, наз амплитудой колебаний. В данном случае R_xmax. = R. Очевидно, фазам, различающимся между собой на величину кратную 2, соответствуют одинаковые смещения. Изменение фазы на 2 рад. соответствует промежутку времени в период Т.

Обычно смещение обозначают X и тогда

X(t) = A sin (t + ₀) (2).

Определим скорость точки, совершающей гармоническое движение

V = dx/dt = Acos t =A sin(t +  /2). (3)

Из (3) видно, что V = V(t), следовательно, колебательное движение совершается с ускорением W, которое равно

W =d²x/dt² =dV/dt=²Acos(t + /2)=²A sin(t +)= - ²Asint= -²x. (4).

Из выражения (4) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний

d²x/dt² + ²x = 0.

Решением этого уравнения является уравнение (2).

Таким образом, смещение X, скорость V и ускорение W точки А совершают гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой и периодом Т = 2.

В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим движение математического маятника, т.е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь. Нить нерастяжима и невесома.
Рис.2.

Если отклонить тело от положения равновесия (в точку А) и отпустить, оно начнет совершать колебательные движения, рис.2. На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Составляющая силы тяжести mgsin, направлена вдоль касательной к траектории, меняет величину скорости тела. Маятник движется вниз с нарастающей скоростью.

По второму закону Ньютона

- mg sin = mW_ (*)

Cчитаем: 0 и х0 при отклонениии вправо от вертикали.

В положении равновесия (в точке 0) касательное ускорение W_ =0, однако скорость тела не равна нулю, и оно по инерции движется дальше, поднимаясь вверх. Слева от положения равновесия тангенциальная составляющая силы тяжести направлена против скорости, следовательно, движение маятника замедляется. В момент остановки (точка А) скорость V= 0, a ускорение W_ = max и маятник начнет двигаться направо в сторону положения равновесия.

Если угол отклонения  мал, то отклонение тела от положения равновесия х, отсчитываемое вдоль дуги окружности, по которой движется маятник, равно х = l. Уравнение Ньютона (*) тогда будет иметь вид

g = - W_.

Знак «-« означает, что угол  и ускорение направлены в разные стороны. Т.к.  =х/l, то

W_ = - gx/l (5)

Сравниваем (5) и (4) и видим, что ² = g/l, т.е. движение маятника происходит по гармоническому закону, а его смещение в любой момент времени определяется выражением

X(t) = Asin( g/l + ₀), т.е.

Математический маятник колеблется с частотой g/l, а его период

Т = 2  g/l  l/g  f(m) !  g !

Аналогично рассматриваются колебания пружинного маятника и получают:

X(t) = A sin(k/m t + ₀) ,

а период T = 2 = 2m/k, где к – жесткость.

При гармоническом колебании происходит взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е_к и потенциальной энергии Е_п, обусловленной действием квазиупругой силы. Полная энергия:

Е = Е_к + Е_п, но

Е_k = mV²/2 = (m/2)²A²sin²(t + /2) = (m/2)²A²cos²t,

E_п = kx²/2 = (k/2)A²sin²t, но из F = mW = -m²x = -kx имеем к=m²

Поэтому Е_п = (m/2)²A²sin²t.

Полная механическая энергия колеблющегося тела

Е = Е_п + Е_к = (m/2) ²A²(cos²t + sin²t) = m²A²²/2

(незатухающих свободных колебаний) не изменяется с течением времени и равна ее запасу, сообщенному телу в начальный момент времени, при выведении его из положения равновесия. В процессе колебаний происходит только превращение видов энергии из кинетической в потенциальную и обратно с частотой, вдвое большей частоты колебаний, Е ² и Е А². (Е = кХ²/2, Т = 2 m/k).

В реальных свободных затухающих колебаниях их энергия, как и амплитуда, с течением времени непрерывно уменьшаются, расходуясь на преодоление сил тяжести.
9.ВОЛНА, ЕЕ ХАР-КИ. Продольные и поперечные волны.

Если в упругую среду поместить колеблющееся тело (источник колебаний), то соседние с ним частицы среды тоже придут в колебательное движение. Колебание этих частиц передается (силами упругости) соседним частицам среды и т.д. Через некоторое время колебание охватит всю среду. Однако, оно будет совершаться с различными фазами: чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебаться и тем больше будет запаздывать по фазе ее колебание. Распространение колебаний в среде наз. волновым процессом или волной. Пример: сейсмические волны, волны на воде. Направление распространения волны (колебания) называется лучом.

Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются перпендикулярно лучу. Если же они колеблются вдоль луча, то волна называется продольной.

Продольные волны могут возникнуть в среде обладающей упругостью объема, т.е. в твердых телах, жидкостях и газообразных телах. Поперечные волны возникают только в среде, обладающей упругостью формы (деформацией сдвига), т.е. только в твердых телах. Исключение составляют волны на поверхности воды.

Основные закономерности волнового процесса справедливы не только для механических волн упругой среды, но и для волн любой природы, в частности для волн электромагнитного поля.

УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ.

Пусть колебания источника О гармонические, т.е. х = Аsin t.

Тогда все частицы среды тоже придут в гармоническое колебание с той же частотой и амплитудой, но с различными фазами. В среде возникнет синусоидальная волна.

График волны внешне похож на график гармонического колебания, но по существу они различны. График колебания – зависимость смещения данной частицы от времени, график волны – смещение всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Он является как бы моментальной фотографией волны.

Получим уравнение волны. Рассмотрим некоторую частицу С. Очевидно, что если частица О колеблется уже t сек., то частица С колеблется еще только (t – )cек., где  - время распространения колебаний от О до С. Тогда уравнение колебания для С будет Х = Аsin(t – ) , но  =y/V,

где V -cкорость распространения волны.

Тогда Х = Аsin(t – y/V) – уравнение волны (1)

Учитывая, что длина волны  VT = V/, откуда V = /T,  = 2/T =2 получим

Х = Аsin2(t/T – y/) = Asin2(t –y/) = Asin(t -2y/),

где к = 2/ -волновое число. Если поменять оси координат, то

y(x,t) = Asin(t  kx). Знак (+) указывает противоположное направление распространения.

Расстояние, на которое распространяется колебание за один период, называется длиной волны.

Скорость распространения волнового движения является скоростью распространения фазы (фазовая скорость). В однородной среде скорость постоянна. При переходе из одной среды в другую меняется скорость распространения волн, ибо меняются упругие свойства среды, однако частота колебаний, как показывает опыт, остается неизменной. Это значит, что при переходе из одной среды в другую будет меняться .

Если мы возбудили колебания в какой-либо точке среды, то колебания передадутся всем окружающим ее точкам, т.е. колебаться будет совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от источников колебаний волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к некоторому моменту времени t, наз. фронтом волны.

Т.о., фронт волны является той поверхностью, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, наз. волновой поверхностью. Волновые поверхности могут быть различной формы. Простейшие из них имеют форму сферы или плоскости. Волны, имеющие такие поверхности, называются соответственно сферическими или плоскими.

Часто при решении задач о распространении волн надо строить волновой фронт для некоторого момента времени по волновому фронту, заданному для начального момента времени. Это можно сделать используя принцип Гюйгенса, сущность которого в следующем:

Пусть волновой фронт, перемещающийся в однородной среде, занимает в данный момент времени положение 1, рис. 2.
Рис.2

Требуется найти его положение через промежуток времени t. Согласно Гюйгенсу, каждая точка среды, до которой дошла волна, сама становится источником вторичных волн (первое положение).

Это значит, что от нее, как из центра, начинает распространяться сферическая волна. Чтобы построить вторичные волны, вокруг каждой точки исходного фронта опишем сферы радиусом

y = Vt, где V –скорость волны.

Вторичные волны взаимно гасятся во всех направлениях, кроме направлений исходного фронта (второе положение принципа Гюйгенса).

Иными словами, колебания сохраняются только на внешней огибающей вторичных волн. Построив эту огибающую, получим исходное положение 2 волнового фронта.

Принцип Гюйгенса применим и к неоднородной среде. В этом случае значения V, а следовательно и y неодинаковы в различных направлениях.

Т.к. прохождение волны сопровождается колебанием частиц среды, то вместе с волной перемещается в пространстве и энергия колебаний.

Интенсивностью волны или плотностью потока энергии наз. отношение энергии, переносимой волною сквозь площадь, перпендикулярную лучу, к продолжительности времени переноса и размеру площади.

Получим выражение для интенсивности волны.

Пусть в 1 см³ среды содержится n₀ частиц массой m. Тогда энергия колебания среды в единице объема равна

Е = n₀m²A²/2 = ²A²/2, где  =n₀m.

Очевидно, за 1с сквозь площадку в 1 см² переносится энергия, содержащаяся в объеме прямоугольного параллелепипеда с основанием 1 см² и высотой, равной V, следовательно интенсивность

I =EV = V²A²/2.

Т.о., интенсивность волны пропорциональна плотности среды и скорости, квадрату круговой частоты и квадрату амплитуды волны.

Стоячие волны.

Часто приходится наблюдать взаимное наложение волн, при этом частицы среды участвуют сразу в нескольких волновых движениях. Опыт показывает, что в этом случае смещение каждой частицы среды является суммой ее смещений, соответствующим всем налагающимся волнам. Явление наложения называется сложением волн. Одним из важнейших примеров такого сложения служит наложение двух плоских волн, бегущих в противоположных направлениях с одинаковой амплитудой. В этом случае результирующее смещение определяется формулой

Y(x,t) = Asin(t – kx) + Asin(t + kx) = 2Asin t coskx = B(x) sint.

Такое сложение мы можем наблюдать при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, накладываясь друг на друга, дают результирующее колебание, называемое стоячей волной.

Из уравнения стоячей волны видно, что в каждой точке этой волны происходят колебания той же частоты, что и у встречных волн, причем амплитуда В зависит от координаты х:

В(х) = 2А cos kx = 2Acos2x/.

В тех точках, где 2x/ = n (n = 0,1,2,...), амплитуда В достигает максимума, равного 2А. Эти точки наз. пучностями стоячей волны.

Координата пучности равна х_n = n/2. В точках, где 2х/ = (n+1/2), амплитуда В обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов равны

X_y = (n  ½)/2.

Из формул для координат узлов и пучностей следует, что расстояние между соседними узлами (так же как и соседними пучностями) равно /2.
10.ЗВУК.

Воспринимаемый человеком звук также представляет собой волновое движение, которое возникает в окружающей нас среде. Источником звука всегда служит какое – либо колеблющееся тело. Это тело приводит в движение окружающий воздух, в котором начинают распространяться продольные упругие волны. Когда эти волны достигают уха, они заставляют колебаться барабанную перепонку, и мы ощущаем звук. Механические волны, действие которых на ухо вызывает ощущение звука, называются звуковыми. Человек воспринимает f =20–16000Гц. f < 20 Гц – инфразвук, f > 16кГц – ультразвук.

(Горы, лавины, сели! Инфразвук  страх).

Упругие волны могут распространяться только в среде, где существует связь между отдельными частицами этой среды, поэтому в вакууме звук распространяться не может. В воздухе V =330 м/с.

Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется

порогом слышимости. Он бывает различен для разных людей и сильно зависит от f. Человеческое ухо наиболее чувствительно к f = 1000 – 4000 Гц. В этой области частот I₀ = 10^-16 Вт.

Звук очень большой интенсивности тоже не вызывает слухового ощущения, а создает лишь ощущение боли и давления в ухе. Минимальное значение интенсивности звука, превышение корого вызывает болевое ощущение, наз. болевым порогом. Значения различных порогов различны для различных частот, рис.1.
Рис.

Первое различимое качество звука – это громкость. Изменение громкости звука вызывается изменением амплитуды колебаний. Происходит это потому, что энергия, переносимая волной, пропорциональна квадрату амплитуды ( Е А²).

Вторым качеством звука является высота его тона. Звук, соответствующий строго определенной частоте колебаний, наз. тоном. Чем больше частота звука, тем более высоким является тон. Получить звуки различных тонов можно с помощью камертона.

Третьим качеством звука является его тембр. В жизни мы часто узнаем знакомого человека по голосу, еще не видя его. Мы легко отличаем звуки скрипки от звуков рояля, хотя они могут быть одного тона. Качество звука, позволяющее определить источник его образовавния, наз. тембром. Тембр различных источников звука не одинаков. Объясняется это образованием дополнительных стоячих волн в самом источнике звука, которые дают дополнительные тона. Дополнительные тона источника звука, более высокие, чем основной тон, называются высшими гармоническими тонами или обертонами.

Каждый источник звука имеет определенное число обертонов. Они и придают звуку свой характерный оттенок – тембр.

Шум отличается от музыкального звука лишь тем, что в нем присутствуют колебания всевозможных частот с разными амплитудами.

На границе раздела двух сред звуковые волны претерпевают частичное или полное отражение. Возвращение звуковой волны после отражения наз. эхом. Явление отражения звуковых волн широко используется в акустике. Сравнительно слабое затухание ультразвуковых волн в воде позволило использовать их в целях гидролокации – обнаружении предметов и определении расстояний от источника звука до предметов. Гидролокатор (эхолот) – измеряет глубину и рельеф морского дна, расстояние до айсберга, косяков рыбы и т.д. Примеры: pобототехника, УЗИ.

t = 2l/V, откуда l = tV/2.


Рис.
11. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИД-ТЕЙ И ГАЗОВ. НЕСЖИМАЕМАЯ ЖИДКОСТЬ.СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК. УР-НИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ.

В отличие от твердого тела в жидкости и газе возможны значительные смещения составляющих их частиц относительно друг друга. Поэтому жидкости и газы не имеют собственной формы и всегда принимают форму сосуда, в котором они содержатся. Под действием сколь угодно малых сил они будут изменять свою форму, пока действуют силы. Следовательно, жидкости и газы не обладают упругостью по отношению к деформациям, вызывающим изменение формы без изменения объема. Но жидкости и газы обладают упругостью по отношению к деформации сжатия, т.к. для изменения их объема на конечную величину к ним необходимо приложить конечные силы тем большие по величине, чем больше их сжатие. В жидкостях и газах, как и в твердых телах, при их сжатии возникают силы, препятствующие сжатию, причем величина их возрастает с возрастанием величины деформации сжатия. Эти силы, подобно упругим, уравновешивают деформирующие силы. Однако сжимаемость жидкости мала и в движущейся жидкости, если V_ж < V_звука, ею можно пренебречь. Рассматриваем 1) жидкость несжимаемую, для воды  1% при Р = 200 атм.

Реальная жидкость вязкая. Если силы внутреннего трения малы по сравнению с другими действующими в ней силами (давление, тяжести и т.д.), то жидкость можно считать практически не вязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, наз. идеальной. 2) Рассматриваем идеальную жидкость. В этих случаях потери энергии движения на трение и переход в тепло незначительны, и поэтому можно применять закон сохранения энергии в чисто механической форме.

Изучая движение жидкости необязательно следить за движением каждой ее частицы. Движение жидкости будет известно, если в каждой точке той области пространства, где течет жидкость, задан вектор скорости проходящих через нее частиц жидкости как функция времени. Такое поле скоростей, т.е. область пространства, каждой точке которой поставлен в соответствие вектор скорости частиц жидкости, проходящей через нее в различные моменты времени, наз. потоком жидкости. В тот или иной момент времени скорости в разных точках потока жидкости различны по величине и по направлению и, кроме того, могут изменяться во времени.

Если ни в одной из точек потока скорость с течением времени не изменяется, то поток наз. стационарным. Но в разных точках стационарного потока скорости могут быть различными. В стационарном потоке жидкости все частицы проходят в разные моменты времени через ту или иную его точку с одинаковой скоростью, хотя скорости частиц при переходе от одной точки потока к другой изменяются.

Для наглядной характеристики потока жидкости пользуются так наз. линиями тока. Это такие линии, касательные к которым в каждой их точке параллельны скоростям частиц, проходящих в данный момент времени через эти точки потока.

Движение жидкости наз. установившимся (стационар-ным), если скорость жидкости в каждой точке объема не изменяется с течением времени. 3) Рассматриваем движение жидкости установившееся. В этом случае линии тока также остаются неизменными и частица жидкости, находясь в данный момент времени на некоторой линии тока, все время остается на этой линии тока. При стационарном движении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Установившееся (стационарное) движение жидкости имеет место в тех случаях, когда силы, вызывающие движение, не изменяются во времени. Если поток нестационарен, то линии тока не совпадают с траекториями частиц жидкости.

Линии тока нигде не могут пересекаться одна с другой, т.к. в той или иной точке потока в данный момент времени может находиться только одна частица жидкости, обладающая определенной скоростью.