шпорки по физике-1. 1. основные харки мех. Движения. Прямолинейное и криволинейное движение материал. Точки. Скорость и ускорение. Механика
 Скачать 2.4 Mb.
|
3.ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА СИЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. ГРАДИЕНТ ПОТЕНЦИАЛА.Для понимания свойств электрического поля большое значение имеет понятие разности потенциалов или электрического напряжения. К этому понятию мы придем, рассматривая работу сил электрического поля.  Предположим, что электрический заряд qперемещается в каком -либо электрическом поле (например, в электрическом поле плоского конденсатора, рис. 12), из некоторой точки 1 в другую точку 2. Так как на заряд в электрическом поле действует сила, то при таком перемещении будет произведена определённая работа А12. Ясно, что если тот же заряд перемещается по прежнему пути в обратном направлении (от точки 2 к точке 1), то величина работы будет та же самая, но изменится её знак, т.е. А12 = -А21.Покажем, что работа по перемещению заряда в электрическом поле не зависит от формы пути, по которому движется заряд, и определяется только положением точек 1 и 2 - начала и конца пути заряда. Допустим, что это не так, и что работа А(L)12 при перемещении заряда вдоль контура L (рис.12) не равна работе А (L’) 12 для контура L’, причём оба контура соединяют одни и те же точки 1 и 2. Рис. 12. Тогда перемещая заряд по замкнутому контуру, составленному из контуров L и L’, мы найдём, что электрические силы совершают работу А(L)12 + А(L’)21= А(L)12- А(L’)12, которая не равна нулю. Но это противоречит общему закону сохранения энергии. Если заряды, создающие электрическое поле, неподвижны, то при перемещении подвижного заряда в окружающих телах не происходит никаких процессов. После возвращения заряда в исходную точку 1 мы не имеем никаких изменений в рассматриваемой системе тел и поэтому не можем получить ни выигрыша работы, ни её потери. Это значит, что наше предположение неверно, и что в действительности А(L)12 =А(L’)12 Т.о., в электростатическом поле работа перемещении заряда между двумя точками не зависит от формы пути, соединяющего эти точки. Иными словами: при перемещении заряда в электростатическом поле по замкнутому контуру работа равна нулю.  Если заряд q0перемещается в поле, создаваемом_системой точечных зарядов q1,q2,...qn , то на него действует сила `` = 1 + 2 +….+ n, а работа А равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил А=А1+А2 + Аз+...+ Аn.  Полная работа А, как и каждая из работ А1 , А2,.. Аn зависит от начального и конечного положений заряда q, но не зависит от формы его пути. _Работа, совершаемая силой `F при перемещении заряда q0 на отрезке d,  -угол между направлениями векторов `Е и dl. В случае конечного перемещения заряда q0 източки а в точку в работа сил поля Работа, которую совершают силы электрического поля, перемещая единичный положительный заряд по замкнутому пути L , численно равна  Этот интеграл называется циркуляцией напряженности вдоль замкнутого контура L. Поскольку работа при перемещении заряда по любому замкнутому контуру равна нулю, то т.е. циркуляция напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю. Силовое поле, напряжённость Е которого удовлетворяет такому условию, называется потенциальным полем. Т.о. электростатическое поле является потенциальным. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ. Если в электрическом поле перемещается заряд (+1), то работа зависит только от существующего электрического поля и поэтому может служить его характеристикой. Она называется разностью потенциалов точек 1 и 2 в данном электрическом поле или электрическим напряжением между точками 1 и 2.  Разность потенциалов двух точек 1 и 2 в электростатическом поле измеряется работой, совершаемой силами поля при перемещении заряда (+1) из точки 1 в 2, т.е.(1) Еl - проекция вектора Е на направление dl. Интегрирование производится вдоль любого контура L, соединяющего рассматриваемые точки, в направлении от точки 1 к точке 2. Если в электрическом поле перемещается не единичный заряд, а заряд произвольной величины q, то в каждой точке сила, действующая на заряд, увеличится в q раз. Поэтому работа А12, совершаемая силами поля при перемещении q из 1 в 2,равна А12 =qU12. (2) Из сказанного следует, что физический смысл имеет только разность потенциалов или напряжение между двумя точками поля, т.к. работа определена только тогда, когда заданы две точки - начало и конец пути. Несмотря на это, часто говорят просто о потенциале или напряжении в данной точке. Однако при этом всегда имеют в виду разность потенциалов, но подразумевают, что одна из точек выбрана заранее. Такую постоянную точку часто выбирают "в бесконечности", т.е. на достаточном удалении от всех заряженных тел. Если заряд (+1) перемещается по замкнутому контуру, например, сначала из 1 в 2 по контуру L (рис.12), а затем от 2 к 1 вдоль L’, то U12 +U21 =U12 -U12 =0 (3) В электростатическом поле напряжение вдоль замкнутого контура всегда равно 0. Понятие разности потенциалов широко используется по двум основным причинам. Во-первых, описание электрического поля при помощи потенциала гораздо проще, чем при помощи Е. Напряженность поля есть вектор, и поэтому для каждой точки поля нужно знать три скалярные величины - составляющие напряжённости по координатам. Потенциал же есть скаляр и вполне определён в каждой точке одной величиной - своим численным значением. В дальнейшем мы увидим, что зная потенциал в каждой точке поля, можно найти и вектор напряжённости. Во-вторых, разность потенциалов гораздо легче измерить на опыте, чем Е. Для измерения Е не имеется удобных методов, а для измерения разности потенциалов существуют многочисленные методы и разные приборы. Поэтому и описывать электрическое поле гораздо удобнее при помощи потенциала. Единицу разности потенциалов можно определить из (1). Разность потенциалов между двумя точками электрического поля равна единице разности потенциалов, если при перемещении между этими точками единичного заряда силы поля совершают работу, равную единице. СИ: Разность потенциалов между двумя точками поля равна 1 вольту, если для перемещения между ними заряда в 1 кулон нужно совершить работу в один джоуль: 1В = 1Дж/К. В атомной физике и электронике очень часто употребляют единицу энергии и работы, называемую электронвольтом (эВ). 1эВ равен работе, совершаемой при перемещении заряда, равного заряду электрона, между двумя точками поля с разностью потенциала 1В. 1эВ =1,6×10-19 Кл×1В = 1,6×10-19Дж=1,6×10-12эрг. В электронвольтах обычно выражают энергию различных элементарных частиц (электронов, протонов и др.). При этом применяют также более крупные единицы энергии: 1кэВ = 103 эВ; 1МэВ = 106 эВ и др. 2). Установим связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля в каждой точке поля. Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 (рис.13) и предположим, что заряд (+1) переходит из 1 в 2 вдоль прямолинейного отрезка Dl. Работу электрических сил DА при перемещении можно выразить, во-первых, через напряжённость поля: DА = Еl Dl. С другой стороны - через разность потенциалов DU12. DА=DU12 Рис. 13. Введем теперь приращение потенциала при перемещении `Dl, т.е. разность потенциалов DU21 точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и будем обозначать его просто DU. Тогда DU =DU21 = -DU12 Приравнивая оба выражения для работы, получим дня напряжённости электрического поля выражение: Еl = -DU/Dl. В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать достаточно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы можно было считать E на Dl постоянной. В пределе при Dl®0, Еl = -dU/dl. т.е. проекция вектора напряжённости электрического поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении, взятой с обратным знаком. Или используя понятие градиента скалярной величины grad U: `  = - grad U,т.е. напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. В общем случае потенциал U - функция всех трёх декартовых координат рассматриваемой точки поля, причём grad U = (  U/ X) + ( U/ Y) + ( U/ Z)  . Поэтому проекции вектора на оси координат связаны с потенциалом поля т.oEx = - U/ X; EY = - U/ Y; EZ = - U/ Z; Если заряд перемещается в направлении dl, перпендикулярном силовой линии, т.е. перпендикулярно ` , то соs (Е,dl) = 0, Еl = 0 и dU/dl = 0 или U=const.Следовательно, во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков. Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Т.к. потенциал постоянен лишь вдоль кривых, ортогональных к силовым линиям поля, то и эквипотенциальные поверхности должны быть везде ортогональны к силовым линиям. Очевидно, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности , равна нулю. Электрическое поле можно изобразить графически не только при помощи силовых линий, но и при помощи эквипотенциальных поверхностей. Вокруг каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество эквипотенциальных поверхностей. Обычно их проводят т.о., чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковыми. Зная расположение силовых линий электрического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно в каждой точке поля определить абсолютное значение и направление вектора напряжённости электростатического поли. Изобразить плоские сечения простейших электрических полей: а)положительного точечного заряда, б)диполя, в)двух точечных зарядов одного знака. Густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряжённости поля: там, где больше Е, там и эквипотенциальные линии расположены теснее друг к другу. 3). Вычисление потенциалов некоторых простейших электростатических полей. 1 .Потенциал электрического поля точечного заряда q. Рассмотрим в этом поле некоторую точку, удалённую на расстояние r от заряда, и найдём потенциал в этой точке относительно бесконечности. Т.к. разность потенциалов не зависит от формы пути, то мы предположим, что заряд (+1) перемещается из точки r в бесконечность вдоль радиуса, т.е. вдоль силовой линии. ТогдА U =  = (q/4pe0) = (1/4pe0)q/r.Потенциал убывает пропорционально 1/r. 2.Плоский конденсатор. Вычислим разность потенциалов между положительно заряженной пластиной и произвольной точкой, удалённой на расстояние х от нее. Вспомним, напряжённость поля в плоском конденсаторе Е = s/e0, поэтому U =  = s/e0  = sx/e0.Полное напряжение между электродами U0 = sd/e0, где d - расстояние между пластинами. Поэтому U = U0x/d. В плоском конденсаторе потенциал изменяется с расстоянием по линейному закону. Искажения электрического поля вблизи краёв мы не учитываем. 3. Шаровой конденсатор. Имеются два электрода в виде концентрических сфер с радиусами а (внутренний) и в (внешний). Напряжённость Е между электродами Е = q/4pe0r2 (как и для точечного заряда). Следовательно, разность потенциалов между внутренней сферой и какой-либо точкой внутри конденсатора, удалённой на расстояние r от центра конденсатора, равна U =  = (q/4pe0r2 ) = (q/4pe0r2 )(1/a – 1/r). Если r®¥, то U = q/4pe0a. Разность потенциалов между электродами U0 U0 =(q/4pe0)(1/a – 1/b). Откуда U = U0(1/a –1/r)(1/a – 1/b), т.о. измеряя U0, можно вычислить U в любой точке поля. 4.ЭЛЕКТРОЁМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ. Рассмотрим заряженный уединенный проводник, находящийся в неподвижном диэлектрике (вдали от заряженных тел и других проводников). При сообщении ему некоторого заряда последний распределяется по его поверхности с различной плотностью s. Однако характер этого распределения зависит не от общего заряда q, а только от формы проводника. Каждая новая порция зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей. Т.о., s изменяется пропорционально q. Между зарядом проводника q и его потенциалом U существует прямая пропорциональность: q = CU (1) Коэффициент С зависит только от размеров и формы проводника, а также от диэлектрической проницаемости окружающего диэлектрика и ее распределения в пространстве. Он называется емкостью уединённого проводника. Пример: Для уединенного проводящего шара радиуса R, несущего заряд q и находящегося в однородной среде с относительной диэлектрической проницаемостью e потенциал U = q/4pe0eR, oткуда С = 4pe0eR.(2) Из последней формулы видно, что ни от материала проводника, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его электроёмкость не зависит. За единицу электроёмкости в СИ, называемой фарадой (Ф), принимается электроёмкость такого уединённого проводника, потенциал которого изменяется на один вольт при сообщении ему заряда в один кулон: 1Ф=1К/В. Если проводник А не уединённый, т.е. вблизи него имеются другие проводники, то его электроемкость больше, чем у такого же, но уединённого проводника, потому что при сообщении проводнику А заряда q окружающие его проводники заряжаются через влияние. Причём ближайшие к наводящему заряду q оказываются заряды противоположного знака. Эти заряды несколько ослабляют поле, создаваемое зарядом q. Т.о. они понижают потенциал проводника А и повышают его электроёмкость. Наибольший интерес представляет система, состоящая из двух близко расположенных друг от друга проводников, заряды которых численно равны, но противоположны по знаку. Если проводники находятся вдали от каких бы то ни было заряженных тел и иных проводников, то U1-U2= U = q /C, или С = q/U, (3) где С - взаимная электроёмкость двух проводников, зависит от их формы, размеров и взаимного расположения, а также от диэлектрической проницаемости среды. Важным для практики является случай, когда два разноименно заряженных проводника имеют такую форму и так расположены друг относительно друга, что создаваемое ими электрическое поле полностью или почти полностью сосредоточено в ограниченной части пространства. Такая система проводников называется простым конденсатором или просто конденсатором, а сами проводники - его обкладками. Электроёмкость конденсатора представляет собой взаимную ёмкость его обкладок и выражается формулой (3). В зависимости от формы обкладок конденсаторы делятся на плоские, сферические и цилиндрические. Вычислим емкость плоского конденсатора. Будем считать, что зазор между пластинами мал по сравнению с их размерами, так что краевыми эффектами можно пренебречь. Если поверхностная плотность заряда s и диэлектриком является вакуум, то U=sd/e0 , где d - расстояние между пластинами. Но q = sS, поэтому С =q/U = e0S /d. Если диэлектриком является не вакуум, а вещество с диэлектрической проницаемостыо e, заполняющее все пространство, где имеется электрическое поле (пространство между обкладками), то ёмкость будет в e раз больше: С = ee0S/d. При уменьшении расстояния d между пластинами ёмкость увеличивается, что можно наблюдать на опыте. Конденсатор характеризуется не только электроёмкостью, но и так называемым "пробивным напряжением" - разностью потенциалов между его обкладками, при которой может произойти его пробой, т.е. электрический разряд через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина пробивного напряжения зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок. Для получения больших электроёмкостей конденсаторы соединяют параллельно, рис.15. РИС. Пусть электроёмкость конденсаторов С1, С2,…Сn. В этом случае общим для всех конденсаторов является напряжение U и мы имеем: q1 = С1U, q2= С2 U ,… Суммарный заряд, находящийся на батарее, равен q = Sqi = USCi и поэтому емкость батареи C = q/U = SCi. Емкость батареи конденсаторов, соединенных параллельно, равна сумме емкостей отдельных конденсаторов. Допустимое напряжение на батарее будет равно меньшему допустимому напряжению из всех конденсаторов. Если к концам батареи последовательно соединенных конденсаторов приложить разность потенциалов U, то крайние пластины зарядятся разноименными зарядами ± q. Вследствие электростатической индукции на всех промежуточных пластинах индуцируются заряды, также численно равные ± q, как это показано на рис.16. Рис.16. Т.е. при последовательном соединении одинаковым для всех конденсаторов является заряд q, равный полному заряду батареи, и мы можем записать : U1=q/C1, U2=q/C2 ,… Напряжение же батареи будет равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах: U =  = q ,Поэтому 1/С = S1/Ci При последовательном соединении конденсаторов суммируются обратные величины емкостей. В этом случае напряжение на каждом конденсаторе будет меньше напряжения на батарее, и поэтому допустимое рабочее напряжение батареи будет больше, чем у одного конденсатора. В отдельных случаях используют смешанное соединение конденсаторов. |