ЛЕКЦИЯ 5 Поверхность. 1 Основные понятия и определения. Условная классификация поверхностей
 Скачать 1.42 Mb.
|
|
Лекция 5. Поверхности Вопросы: 1. Основные понятия и определения. Условная классификация поверхностей. 2. Обзор некоторых поверхностей. 3. Задание и изображение поверхностей. Точка на поверхности. 4. Развертки поверхностей. 1 Основные понятия и определения. Условная классификация поверхностей Поверхности являются наиболее сложными геометрическими объектами трехмерного пространства. Мир поверхностей разнообразен и безграничен. Он простирается от самой простой и элементарной геометрической поверхности – плоскости до сложнейших, причудливых форм, не поддающихся точному математическому описанию. Поверхность - это множество последовательных положений некоторой линии, перемещающейся определенным образом в пространстве. Линию, перемещающуюся в пространстве и образующую поверхность называютобразующей или производящей (l). Во время движения образующая может сохранять или изменять свою форму. Движение образующей может быть подчинено какому-либо закону или быть произвольным. В первом случае поверхность будет закономерной, во втором – незакономерной (случайной). Закон перемещения образующей обычно определяется другими линиями – направляющими. Направляющая (m) (направляющие) - это линия или линии, пересечение с которыми является обязательным условием движения образующей при образовании поверхности. На рис. 64 показана поверхность, образованная перемещением образующей l по направляющей m. При своем движении образующая остается параллельной направлению S. Одна и та же поверхность в ряде случаев может рассматриваться как образованная движением различных образующих. Например, круговой цилиндр может быть образован: во-первых, вращением прямой относительно неподви- Рисунок 64 жной оси, параллельной образующей; во-вторых, движением окруж- ности, центр которой перемещается по прямой, перпендикулярной плоскости окружности, в-третьих, прямолинейным движением сферы. На практике из всех возможных способов образования поверхности за основной принимают наиболее простой. Таким образом, для каждой поверхности необходимо знать некоторую совокупность исходных данных, однозначно ее определяющих: форма образующей; форма направляющих; закон перемещения образующей. Определитель поверхности – это необходимая и достаточная совокупность геометрических элементов и связей между ними, которые однозначно определяют поверхность. В число условий, входящих в состав определителя включают: 1. Перечень геометрических элементов, участвующих в образовании поверхности. 2. Алгоритмическая часть, указывающая на связи между ними. Например, сфера Ф однозначно определяется заданием ее центра О и радиуса R, что записывается так: Ф(О, R). Точка О и радиус R составляют геометрическую часть определителя, а алгоритмическая часть формулируется словами: сфера – это множество точек пространства, удаленных от точки О на данное расстояние R. Очевидно, что одна и та же поверхность может иметь несколько определителей. Например, сферу можно задать вращением окружности m вокруг ее диаметра j:Ф (j, m), или сфера задается четырьмя ее точками Ф(А,B,C,D). Часть пространства, ограниченная геометрическими поверхностями, называется геометрическим телом. Все геометрические тела можно разделить на многогранники и криволинейные тела. Условная классификация поверхностей Многообразие поверхностей требует их систематизации. На рис. 65 представлена условная классификация поверхностей. Все поверхности можно классифицировать следующим образом: 1. По виду образующей различают: - поверхности линейчатые (образующая прямая); - поверхности нелинейчатые (образующая кривая) 2. По закону перемещения образующей: - поверхности параллельного переноса (поверхности, образо- ванные поступательным перемещением образующей линии); - поверхности вращения (поверхности, образованные враще- нием образующей линии); - поверхности винтовые (поверхности, образованные винтовым перемещением образующей). 3. По признаку развёртывания в плоскость: - развёртывающиеся – поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. - неразвёртывающиеся – поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок. Условная классификация поверхностей Рисунок 65 2 Обзор некоторых поверхностей 2.1 Гранные поверхности. Многогранники Гранные поверхности – поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей по ломаной линии. Пирамидальная поверхность (рис.66) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом одна точка – S образующей неподвижна. Элементы пирамидальной поверхности: l – образующая; m- направляющая; S – вершина; АSВ – грань; SА, SВ,… - ребро. Определитель пирамидальной поверхности: вершина S и направляющая m. Рисунок 66 Призматическая поверхность (рис.67) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается параллельно некоторому наперед выбранному направлению. Элементы призматической поверхности аналогичны пирамидальной, вершина S находится в бесконечности. Рисунок 67 Из числа гранных поверхностей выделяют группу многогранников. Многогранник - это тело, ограниченное замкнутой многогранной поверхностью. Многогранники широко распространены в природе (кристаллические решетки различных веществ, пчелиные соты), в технике (детали машин и механизмов), в строительстве (складчатые покрытия зданий, конструктивные элементы зданий) и т.д. Из всего многообразия многогранников наибольший интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники. Призмой (рис.68,а) называется многогранник, две грани которого являются n-угольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани – параллелограммы. Пирамидой (рис.68,б) называется многогранник, одна из граней которого – произвольный многоуголь- а) б) Рисунок 68 ник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Многоугольная грань пирамиды называется основанием, треугольные – боковыми гранями. Общая вершина треугольников называется вершиной пирамиды. Многогранник является метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками, и все многогранные углы – конгруэнтными правильными многогранными углами. К ним относятся (рис. 69): а) тетраэдр, б) октаэдр, в) икосаэдр, г) куб, д) додекаэдр. Правильные много- гранники исследовал Платон, поэтому они также называются платоновыми много- гранниками. Каждый из правильных многогран- ников можно вписать в сферу. Рисунок 69 2.2 Линейчатые поверхности развертываемые (торсовые) Торс – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей, которая во всех положениях является касательной к некоторой пространственной кривой (m), называемой ребром возрата. Примерами торсовых поверхностей являются конические и цилиндрические поверхности. Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой, скользящей по некоторой неподвижной кривой m - направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению S (рис. 70). Линия пересечения данной поверхности с плоскостью проекций, называется следом поверхности на этой плоскости. Рисунок 70 Часть цилиндрической поверхности, ограниченная двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной к ее образующим, называется нормальным. Если нормальным сечением является круг — цилиндр будет круговой, если эллипс — цилиндр будет эллиптический, парабола — параболический, гипербола — гиперболический. Если нормальное сечение есть геометрически неопределенная кривая, будет цилиндр общего вида. Цилиндрические поверхности бывают замкнутыми (например, эллиптический цилиндр) и разомкнутыми (параболический, гиперболический). Если за основание цилиндра принято его нормальное сечение — это прямой цилиндр, если какое-либо косое сечение — наклонный. Коническая поверхность (рис. 71) образуется движением образующей – прямой l по некоторой кривой - m. При этом образующая во всех своих положениях должна проходить через неподвижную точку (S) — вершину конической поверхности. Часть конической поверхности, ограниченная верши- ной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Под нормальным сечением ко- Рисунок 71 нической поверхности понимается сечение ее плоскостью, перпендикулярной к оси. Осью же конической поверхности является линия пересечения ее плоскостей симметрии. Если в нормальном сечении получается круг, коническая поверхность называется круговой. Конические поверхности (как и цилиндрические) могут быть эллиптическими, параболическими и т. д. Конические поверхности, не имеющие оси (т. е. не имеющие двух и более плоскостей симметрии) называют коническими поверхностями общего вида. 2.3 Линейчатые поверхности неразвертываемые Цилиндроид — это кривая прямолинейчатая поверхность, образованная движением прямой, скользящей по двум кривым направляющим (не лежащим в одной плоскости) и остающейся во всех по- ложениях параллельной неко- торой заданной плоскости (Р), называемой плоскостью параллелизма (рис. 72). Рисунок 72 Коноид— это цилиндроид, одной из направляющих которого является прямая линия. Линейчатый параболоид (или косая плоскость, или гиперболический параболоид) — это поверхность, обра- зованная в результате перемещения прямолинейной образующей по двум направляющим — скрещиваю- щимся прямым параллельно некоторой плоскости параллелизма. На рис. 73 направ- ляющими являются прямые Рисунок 73 АВ и CD, плоскостью параллелизма — плоскость проекций π 1 Однополостной гипер- болоид рис. 74 - это поверхность, образованная перемещением прямой линии (образующей), пересекающей одновременно три скрещивающиеся прямые линии (направляющие). Рисунок 74 2.4 Винтовые поверхности Винтовая поверхность образуется при движении прямолинейной образующей (l) по двум направляющим, одна из которых - винтовая линия (m), другая - ось винтовой линии (i), которую образующая пересекает под постоянным углом. Прямая винтовая поверхность. У прямой винтовой поверхности угол между образующей (отрезком прямой) и осью винтовой линии равен 90°. Такая поверхность называется прямым геликоидом или винтовым коноидом (рис. 75). Прямую винтовую поверхность используют в специальных винтах для преобразования вращательного движения в поступательное в точных винтовых передачах с большими осевыми усилиями, например, в прессах. Косая винтовая поверхность. Если у винтовой поверхности угол между образующей и осью не равен 90°, то ее называют косой винтовой поверхностью или косым геликоидом (рис. 76). Рисунок 75 Рисунок 76 2.5 Поверхности вращения Поверхности вращения — это поверхности, образованные вращением некоторой образующей (прямой или кривой линии) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. Определитель поверхности включает в себя образующую и ось вращения. Рисунок 77 При образовании поверхности вращения (рис. 77) любая точка образующей описывает в пространстве окружность. Эти окружности назы- ваются параллелями. Плоскости параллелей всегда перпендикулярны к оси вращения. Параллель наименьшего диаметра называется горлом, а наибольшего диаметра – экватором. Плоскость, проходящая через ось поверхности вращения, называется меридиальной, а линия пересечения ее с поверхностью – меридианом. Коническая повер- хность вращения (рис.78,а) – поверхность, образо- ванная вращением прямо- линейной образующей (l) вокруг пересекающейся с ней прямой – оси i. Цилиндрическая по- верхность вращения (рис.78,б) – поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей (l) вокруг параллельной ей прямой – оси i. Сферическая поверх- ность (шар) (рис. 78,в) — это поверхность, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра. Тор (круговое кольцо) (рис. 78,г,д) — поверхность, полученная в результате вращения окружности (или ее дуги) вокруг оси вращения, расположенной в плоскости окружности. Тор называется закрытым если ось вращения расположена в пределах а б в г д Рисунок 78 окружности (рис.78, г) и открытым, если ось вращения находится за пределами окружности. Поверхности вращения могут быть также образованы вращением эллипса, параболы, гиперболы: Эллипсоид вращения — поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его большой или малой оси. Вытянутый эллипсоид вращения образован движением эллипса вокруг большой оси сжатый эллипсоид вращения – при вращении эллипса вокруг его малой оси. Однополостный гиперболоид – вращения поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Двухполостной гиперболоид — поверхность, образованная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. Параболоид вращения — поверхность, образованная вращением параболы вокруг ее оси. Рассмотренные выше поверхности вращения (за исключением тора) относят к поверхностям второго порядка (поверхности, которые можно выразить алгебраическим уравнением второй степени в прямоугольной системе координат). Сечением данных поверхностей любой плоскостью является кривая второго порядка. Тор является поверхностью четвертого порядка. 3 Задание и изображение поверхностей. Точка на поверхности Для задания поверхности могут быть использованы три основных способа: аналитический, каркасный. Аналитический способ задания – поверхность рассматривается как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению. Каркасный способ – поверхность рассматривается как совокупность достаточно плотной сети линий - каркаса. Кинематический способ – поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии (образующей). Каждый из перечисленных выше способов при построении чертежа поверхности имеет ряд недостатков (изображение поверхности множеством точек практически невозможно, так как точки заполнят поле чертежа и установить проекционную связь между проекциями отдельных точек будет сложно; аналогичная ситуация с каркасным способом задания поверхности). Изображение поверхности проекциями ее определителя не обладает достаточной наглядностью, поэтому при изображении ортогональных проекций поверхности вводятся дополнительные элементы: контур, очерк, видимость поверхности относительно плоскости проекций. Контур (рис. 79) – линия касания проецирующих лучей поверхности при ее проецировании. Очерк – проекция контура на плоскость проекций (линия пере- сечения проецирующей цилинд- рической поверхности, касатель- ной к заданной поверхности, с соответствующей плоскостью проекций). Следовательно, на комплекс- ном чертеже различают: гори- зонтальный, фронтальный и профильный очерки. Рисунок 79 Для изображения поверхности на чертеже необходимо вычертить очерки поверхности и указать видимость поверхности по отношению к плоскостям проекций. Для определения видимости поверхности относительно плоскостей проекций используют конкурирующие точки или рассматривают взаимное расположение частей поверхности. Точка на поверхности. Точка принадлежит поверхности, если она лежит на линии, принадлежащей данной поверхности. Задачи на принадлежность точки поверхности с использованием простейших для построений линий - образующих или параллелей, принадлежащих поверхности. Примеры: 1. Эпюр четырехгранной пирамиды (рис. 80) Известно: в основании пирамиды находится квадрат с длиной стороны 40мм, высота пирамиды 65 мм. Основание пирамиды принадлежит горизонтальной плоскости проекций. 1. Строим горизонтальную проекцию пирамиды - квадрат A 1 B 1 C 1 D 1 со стороной 40 мм. Основание пирамиды АВСDϵ 1 , поэтому проецируется на эту плоскость в натуральную величину. Горизонтальная проекция вершины пирамиды S 1 лежит на пересечении диагоналей квадрата. Соединяем вершину S 1 с проекциями точек основания – получаем проекции ребер пирамиды. 2. Выполняем фронтальную проекцию пирамиды. Фрон- тальная проекция основания A 2 B 2 C 2 D 2 лежит на оси х, т.к. АВСDϵ 1 . Затем строим вершину S пирамиды, учитывая, что высота пирамиды равна 65мм. Соединив проекции вершины пирамиды с проекциями вершин основания, получим проекции боковых ребер. 3. Строим профильную проекцию пирамиды, используя постоянную чертежа прямую k. Если нужно на проекциях пирамиды построить точку, например, точку F, лежащую на одной из его граней, то следует на эпюре «связать» точку с соответствующей гранью при помощи какой- либо прямой. Рисунок 80 2. Эпюр прямого кругового конуса (рис. 81) Известно: диаметр окружности основания 40мм, высота пирамиды 60 мм. Основание пирамиды принадлежит горизонтальной плоскости 1. Вычерчиваем гори- зонтальный очерк прямого кругового конуса – окруж- ность диаметром 40 мм. Горизонтальная проекция вершины S 1 совпадает с проекцией центра окружности основания. 2. Строим фронтальный очерк - треугольник высотой 60 мм и основанием 40 мм. 3. Построение профиль- ного очерка выполняем, используя постоянную чертежа - прямую k. Проекции точки F, принадлежащей боковой Рисунок 81 поверхности конуса, построены при помощи вспомогательной линии - параллели. Через точку F 2 проводим фронтальную проекцию параллели – окружность, она проецируется в отрезок прямой, параллельный оси х. Длина этого отрезка равна диаметру окружности, на горизонтальную плоскость указанная окружность проецируется без искажения; на ней будет лежать горизонтальная проекция точки F. На рис. 82 та же задача решается с помощью вспомогательной образующей конуса. Через фронтальную проекцию вершины конуса и точку F 2 проводим проекцию образующей S 2 1 2 , находим ее горизонтальную проекцию S 1 1 1 и на ней отмечаем искомую горизонтальную проекцию точки F. Рисунок 82 В таблице 3 приведены чертежи некоторых геометрических тел и показано построение проекций точки, принадлежащих поверхности геометрического тела. Таблица 3 Наименование, наглядное изображение Эпюр Правильная шестигранная призма Продолжение таблицы 3 Прямоуголь- ный параллеле- пипед Прямой круговой цилиндр Продолжение таблицы 3 Сфера В технических черте- жах оси координат, как правило, не показывают. Для определения поло- жения геометрических эле- ментов в профильной плос- кости необходимые размеры в этом случае определяют по горизонтальной и фрон- тальной проекциям (рис. 83). Рисунок 83 4 Развертывание поверхностей Разверткой поверхности какого-либо тела называется фигура, полученная путем совмещения поверхности этого тела с плоскостью чертежа. Построение развертки прямой призмы На рис. 84 дан эпюр прямой треугольной призмы и развертка ее боковой поверхности. Как видно из чертежа, развертка боковой поверхности призмы состоит из трех разных по величине прямоугольников, размеры сторон которых взяты непосредственно с эпюра. Если бы требовалось построить полную развертку призмы, очевидно, следовало бы к полученной развертке боковой поверхности призмы пристроить в натуральную величину оба ее основания. Рисунок 84 Построение развертки пирамидальной поверхности Рисунок 85 Развертывание боковой поверхности пирамиды выполняется следующим образом: 1. Определяются величины ребер и сторон основания. Вели- чины ребер определены способом вращения вокруг проецирующей прямой, величину сторон основания измеряем непосредственно в плоскости π 1 (т.к пирамида стоит на плоскости π 1 , горизонтальная проекция основания пирамиды есть его истинная величина). 2. В плоскости чертежа строятся последовательно треугольники — грани пирамиды (рис. 85). Через произвольную точку S 0 проводим прямую a. Откладываем на ней от точки S 0 расстояние S 0 A 0 = S 2 A 2 ' (натуральная величина ребра SA). Из точки A 0 проводим дугу радиусом A 0 B 0 = A 1 B 1 (натуральная величина стороны основания АВ), а из точки S 0 - дугу радиусом S 0 B 0 = S 2 B 2 ' (натуральная величина ребра SB). Пересечение дуг укажет положение вершины B 0 . Аналогичным образом строим точки C 0 , A 0 . Соединив полученные точки, получим развертку боковой поверхности пирамиды. Построение развертки прямого кругового конуса (рис.86) Развертка боковой поверхности кругового конуса представляет сектор круга, радиус которого равен длине образующей конической поверхности L = S 2 A 2 , а центральный угол = , где D - диаметр окружности основания конуса, L - длина образующей конуса. Рисунок 86 Построение развертки прямого кругового цилиндра Развертка боковой поверхности прямого кругового конуса представляет прямоугольник (рис. 87) длина которого равна длине окружности основания цилиндра, т.е. 2 R, где R - радиус основания цилиндра, а высота - высоте цилиндра Н. Рисунок 87 |