Рациональные вычисления. 1. Понятие вычислительного приёма. Виды вычислительных приёмов

• Название: 1. Понятие вычислительного приёма. Виды вычислительных приёмов
• Анкор: Рациональные вычисления
• Дата: 28.05.2022
• Размер: 151 Kb.
• Имя файла: ratsionalnye_vychislenia.doc
• Тип: Учебник; #553587
• страница: 1 из 3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..…..3

1.Понятие вычислительного приёма. Виды вычислительных приёмов……..5

2.Рациональные способы вычислений…………………………………………11

3.Методика формирования у учащихся навыков рациональных вычислений в начальной школе………………………………………………………………..13

4.Анализ программ и учебников по математике……………………………..23

5.Виды заданий, направленных на обучение рациональным способам вычислений…………………………………………………………………..…27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………31

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………...………..……..33

ВВЕДЕНИЕ

Обучение математике является важнейшей составляющей начального общего образования. Этот предмет играет важную роль в формировании у младших школьников умения учиться. Начальное обучение математике закладывает основы для формирования приёмов умственной деятельности: школьники учатся проводить анализ, сравнение, классификацию объектов, устанавливать причинно-следственные связи, закономерности, выстраивать логические цепочки рассуждений. Изучая математику, они усваивают определённые обобщённые знания и способы действий.

Обучение рациональным способам вычисления младших школьников способствуют целостному восприятию мира, позволяют выстраивать модели его отдельных процессов и явлений, а также являются основой формирования универсальных учебных действий. Универсальные учебные действия обеспечивают усвоение предметных знаний и интеллектуальное развитие учащихся, формируют способность к самостоятельному поиску и усвоению новой информации, новых знаний и способов действий, что составляет основу умения учиться.

Данная тема актуальна, т. к. умение «рационально» производить вычисления, характеризует довольно высокий уровень математического развития ученика. Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Эти умения чрезвычайно сложны, формируются они медленно и за время обучения в начальной школе далеко не у всех детей могут быть достаточно хорошо сформированы.

В связи с этим требуется пересмотр объема, роли и места вычислительных навыков в курсе математики начальных классов, совершенствование методики их формирования  у учащихся на всех этапах обучения.

Важность этой проблемы обусловлена ​​тем, что формирование обучение рациональным способам вычисления младших школьников занимает особое место в начальной школе и является одной из основных задач преподавания математики на данном этапе. В первые годы обучения вырабатываются основные методы устного расчета, которые активируют умственную деятельность учащихся, развивают у детей память, речь и способность воспринимать сказанное, повышают внимание и скорость реакции.

Проблему формирования вычислительных умений изучали такие исследователи как: М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, П.Я. Гальперин, С.А. Зайцева, Н.Б. Истомина, Н.Ф. Талызина, С.Е. Царева.

Цель: изучить и обобщить обучение рациональным способам вычисления младших школьников.

Объект исследования: процесс обучения рациональным способам вычисления младших школьников.

Предмет исследования: анализ УМК ( "Начальная школа 21 века", "школа России" , "Гармония".). Желательно в работу включить статьи из журнала "Начальная школа" 

Для достижения цели поставлены и решены следующие задачи:

1.Изучить понятие вычислительного приёма. Виды вычислительных приёмов.

2.Рассмотреть рациональные способы вычислений.

3.Проанализировать методику формирования у учащихся навыков рациональных вычислений в начальной школе.

4.Провести Анализ программ и учебников по математике.

5.Изучить виды заданий, направленных на обучение рациональным способам вычислений.

Гипотеза исследования состоит в следующем: повышение познавательного интереса к урокам математики у учащихся в начальной школе может быть достигнуто, если в обучение будут включены обучение рациональные способы вычисления.

Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

1.Понятие вычислительного приёма. Виды вычислительных приёмов.

Вычислительный приём (ВП) – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к нахождению результата арифметического действия. Описание этой последовательности (словесное или схематическое) - алгоритм., умножение, деление), а к вспомогательным – все остальные.

Раскроем суть  устных вычислений. Пусть надо сложить числа 8 и 6. Приём вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций:

–замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4;

–прибавление к числу 8 слагаемого 2;

–прибавление к полученному результату, к числу 10, слагаемого .

Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приемов служат определения арифметических действий, свойства действий, и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду можно выделить группы приемов вычислительных навыков в соответствии с их общей теоретической основой предусмотренной действующей программой по математике для начальных классов, что даст возможность использовать общие подходы в методике формирования соответствующих навыков.

Вычислительный приём – это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия. Различают операции основные и вспомогательные. Основными называют операции, сразу дающие результат. Вспомогательными называют операции, которые лишь готовят к выполнению действия.

Теоретической основой вычислительных приёмов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приёмов в соответствии с их общей теоретической основой.

Классификация вычислительных приёмов.

1. Приемы, теоретическая основа которых — конкретный смысл арифметических действий. К ним относятся: приемы сложения и вычитания чисел в пределах 10 для случаев вида а + 2, а + 3, а + 4, а + 0; приемы табличного сложения и вычитания с переходом через десяток в пределах 20; прием нахождения табличных результатов умножения, прием нахождения табличных результатов деления.

2. Приемы, теоретической основой которых служат свойства арифметических действий. К этой группе относится большинство вычислительных приемов. Это приемы сложения и вычитания для случаев вида 53 ± 20, 47 ± 3, 30 – 6, 9 + 3, 12 – 3, 35 ± 7, 40 ± 23, 57 ± 32, 64 ± 18; аналогичные приемы для случаев сложения и вычитания чисел больших, чем 100, а также приемы письменного сложения и вычитания; приемы умножения и деления для случаев вида 14 × 5, 5 × 14, 81 : 3, 18 Ч 40, 180 : 20, аналогичные приемы умножения и деления для чисел больших 100 и приемы письменного умножения и деления.

Общая схема введения этих приемов одинакова: сначала изучаются соответствующие свойства, а затем на их основе вводятся приемы вычислений.

3. Приемы, теоретическая основа которых — связи между компонентами и результатами арифметических действий. К ним относятся приемы для случаев вида 9 × 7, 21 : 3, 60 : 20, 54 : 18, 9 : 1, 0 : 6.

При введении этих приемов сначала рассматриваются связи между компонентами и результатом соответствующего арифметического действия, затем на этой основе вводится вычислительный прием.

4. Приемы, теоретическая основа которых — изменение результатов арифметических действий в зависимости от изменения одного из компонентов. Это приемы округления при выполнении сложения и вычитания чисел (46 + 19, 512 – 298) и приемы умножения и деления на 5, 25, 50. Введение этих приемов также требует предварительного изучения

соответствующих зависимостей.

5. Приемы, теоретическая основа которых — вопросы нумерации чисел. Это приемы для случаев вида а ± 1, 10 + 6, 16 – 10, 16 – 6, 57 Ч 10, 1200 : 100; аналогичные приемы для больших чисел. Введение этих приемов предусматривается после изучения соответствующих вопросов нумерации (натуральной последовательности, десятичного состава чисел,

позиционного принципа записи чисел).

6. Приемы, теоретическая основа которых — правила. К ним относятся приемы для двух случаев: а × 1, а × 0. Поскольку правила умножения чисел на единицу и нуль есть следствия из определения действия умножения целых неотрицательных чисел, то они просто сообщаются учащимся и в соответствии с ними выполняются вычисления.

2.Рациональные способы вычислений

Одна из основных задач математического образования учащихся начальной школы на современном этапе в условиях внедрения ФГОС НОО -формирование у учащихся осознанных, прочных вычислительных навыков, основой которых является усвоение устных и письменных приемов вычисления .Основным требованием образовательного стандарта к уровню подготовки учащихся в начальной школе при изучении математики является умение использовать вычислительные навыки в повседневной жизни, в практической деятельности для устных вычислений, проверки результата вычислений с использованием различных методических приемов.

Навыки рациональных приемов вычислений способствуют повышению темпа вычислений, способствуют снижению общей утомляемости, развитию памяти и внимания, логического мышления, более прочному усвоению не только предмета математики, но и других учебных дисциплин.

Усвоение рациональных приемов вычисления происходит в результате длительного выполнения учебных заданий.

Решение многочисленных, однотипных учебных заданий, бесспорно, способствует овладению вычислительного приема, но вместе с тем понижает познавательную активность учащихся и у них пропадает интерес к выполнению учебных заданий, ослабевает внимание, увеличивается число ошибок и т.п.[22,c.12]

В условиях внедрения стандарта второго поколения комплекс учебных заданий, направленный на освоение вычислительных умений и навыков, способствует формированию универсальные учебные действия, побуждает учащихся к самостоятельному поиску новых рациональных приемов вычислений, рассмотрению различных способов нахождения значения выражений и оцениванию их с точки зрения рациональности. Использование рациональных приемов, помогающих во многих случаях значительно облегчить процесс вычислений, способствует формированию положительной мотивации к учебной деятельности в целом.

Работа над рациональными приемами вычислений при нахождении значения выражения в процессе изучения математики в начальной школе должна проводиться постоянно, систематически и органически согласовываться с изучаемым программным материалом.

Существуют объективные и субъективные причины, которые не позволяют добиться этой цели.

Выделим их:-неумение школьников использовать рациональные приемы вычислений;

-недостаточная математическая подготовка учителей(учителю необходимо знать теоретические основы рациональных вычислений, научиться их использовать, а затем уже овладеть умениями, связанными с обучением учащихся рациональным вычислениям).Рассмотрим рациональные приемы вычислений связанных с округлением одного или нескольких слагаемых, которые можно использовать в процессе изучения математики в начальной школе

3.Методика формирования у учащихся навыков рациональных вычислений в начальной школе

В методике формирования у учащихся навыков рациональных вычислений в начальной школе над каждым отдельным приемом предусматривается ряд этапов.

I. Подготовка к введениюнового приема

На этом этапе создается готовность к ус­воению вычислительного приема, а именно: учащиеся должны усвоить те теоретические положения, на которых основывается вы­числительный прием, а также овладеть каждой операцией составляющей прием.

II. Ознакомление с вычислительным примем

На этом этапе ученики усваивают суть приема: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так можно найти результат арифметического действия.

Выполнение каждой операции важно сопро­вождать пояснениями вслух. Сначала эти пояснения выполняются под руководством учителя, а затем учащиеся выполняют их самостоятельно.

III. Закрепление знания приема и выработка вычислительного навыка

Наэтом этапе учащиеся должны твердо усвоить систему операций, составляющих прием, и предельно быстро выполнять эти операции, т. е. овладеть вычислительным навыком.[10,c.12]

В процессе работы здесь важно предусмот­реть ряд стадий в становлении у учащихся вычислительных навыков.

а) На первой из нихзакрепляется знание приема.

б) На второй – происходит частичное свертывание выполнения операций.

в) На третьей - происходит полное свертывание выполнения операций.

Приемы рациональных вычислений

1. 
   Приемы сложения
   

Рациональные приемы сложенияосновываются на комму­тативном (переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложе­ния, а также на свойствах изменения суммы.

Коммутативный закон сложения. Сум­ма не изменяется от перемены мест слагае­мых.

Ассоциативный закон сложения. Сумма не изменится, если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой.

Свойство 1.1. Если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число

Свойство 1.2. Если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится.

Свойство 1.3. Если все слагаемые дан­ной суммы увеличить или уменьшить в од­но и то же число раз, то сумма соответст­венно увеличится или уменьшится во столько же раз.

1) Сложение, основанное на ассоциативном законе:

а) 7+4+8+6+2=7+(8+2)+(4+6)=7+10+10=27

б) 13+18+7+22= (13+7)+(18+22)=20+40=60

в) 73+106+27+204=(73+27)+(106+204)=100+310=410

2)Округление одного или не­скольких слагаемых

Одно (или несколько слагаемых) заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круг­лых» чисел, а затем соответствующее до­полнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычи­тают из нее.

а)37+49=37+50-1=86

б)198+299=200-2+300-1=500-3=497

3)Поразрядное сложение

При сложении нескольких многозначных чи­сел сначала находят суммы соответствую­щих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частно­сти, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десят­ков, потом — всех единиц, а затем склады­вают полученные суммы.

а) 13+47+29=(10+40+20)+3+7+9=70+19=89

4)Группировка вокруг одного и того же «корневого»числа

Пусть требуется найти сумму 37 + 34 + 29 + 35.

Легко заметить, что все эти числа близ­ки к числу 30, поэтому его считают «корне­вым», а искомую сумму вычисляют в следующей последовательности:

находят сумму «корневых» чисел: 30 х 4 =120, так как в сумме 4 слагаемых;

находят сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 7+4-1+5=15

II. Приемы вычитания

Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изме­нения разности.

Свойство 2.1. Если уменьшаемое увели­чилось или уменьшилось на некоторое чис­ло, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

Свойство 2.2. Если вычитаемое увели­чить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.

Свойство 2.3. Если уменьшаемое и вы­читаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

Свойство 2.4. Если уменьшаемое и вычи­таемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько жераз.

Увеличение или уменьше­ние уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц

142 - 26 = (142 - 2) - (26 - 2) = 140-24 = 116.

Этот прием особенно хорош тогда, когда вычитаемое близко к «круглому» числу.

585 - 296 = (585 + 4) - (296 + 4) = 589 - 300 = 289

Округление вычитаемого

Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а за­тем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее.

а) 506-198=506-200+2=306+2=308

б) 506-208=506-200-8=306-8=298

3) Округление уменьшаемого

102-36=100+2-36=(100-36)+2=63+2=65

402-156=400+2-156=(400-156)+2=246+2=248

4) Разложение вычитаемого на части

371-175=371-170-5=201-5=196

III. Приемы умножения

Все приемы ра­циональных вычислений для умножения основаны на законах умножения и на свой­ствах изменения произведения.

Коммутативный (переместительный) закон умножения. Произведение не изменится от перемены мест множителей.

Ассоциативный (сочетательный) закон умножения. Про­изведение не изменится, если заменить ка­кую-либо группу рядом стоящих множите­лей их произведением.

Дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения. Произведение данного числа на сумму двух чисел не из­менится, если заменить его суммой произ­ведений данного числа на каждое из этих слагаемых.

а) 15х4+15х6=15х(4+6)=15х10=150

б) 199х4=(200-1)х4=200х4-1х4=800-4=796 (округление при умножении)

Свойство 3.1. Если один из множителей увеличить или уменьшить в несколько раз, то произведение соответственно увеличит­ся или уменьшится во столько же раз.

Свойство 3.2. Если один из множителей произведения умножить на какое-нибудь число, а другой разделить на это же число, то произведение не изменится.

Свойство 3.3. Если два или несколько множителей данного произведения умно­жить или разделить на какие-либо числа, то данное произведение соответственно умно­жится или разделится на произведение этих чисел.

Из рассмотренных свойств изменения произведения вытекают следующие при­емы, позволяющие рационализировать вы­числительный процесс.

Прием 1. Разложение одного из мно­жителей на множители

Один из множи­телей представляют в виде произведения нескольких множителей, а затем последо­вательно умножают второй множитель на эти множители.Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 1.1. Умножение на 4 (8, 16)

Умножение на 4 (8, 16) сводится к двукрат­ному (трехкратному, четырехкратному) ум­ножению на 2.

а)29х4=(29х2)х2=58х2=116

б)29х8=(29х2)х4=58х4=232

с) 29х16=(29х2)х8=58х8=464

Прием 2. Увеличение одного из мно­жителей произведения в несколько раз и одновременное уменьшение второго мно­жителя во столько же раз

Один из мно­жителей произведения увеличивают в не­сколько раз, второй — уменьшают во столько же раз, а затем находим произве­дение полученных чисел.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 2.1. Умножение четного чис­ла на 15 (25, 35, 45)

Чтобы умножить чет­ное число на 15 (25, 35, 45), достаточно его разделить на два и частное умножить на 30 (50, 70, 90).

а) 26 х 15 = (26 : 2) х (15 х 2) = 13 х 30 =390

б) 26 х 25 = (26 : 2) х (25 х 2) = 13 х 50 =650

в) 26 х 35 = (26 : 2) х (35 х 2) = 13 х 70 =910

г) 26 х 45 = (26 : 2) х (45 х 2) = 13 х 90 =1170

Прием 3. Представление одного из множителей произведения в виде частного двух чисел

Один из множителей произ­ведения представляют в виде частного двух чисел, второй множитель умножают на делимое, а затем делят на делитель.

Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 3.1. Умножение на 5 (50, 500)

Чтобы умножить число на 5 (50, 500), до­статочно умножить егона 10 (100,

1 000) и результат разделить на 2.

а) 27х5=27х10:2=270:2=135

б)27х50=27х100:2=2700:2=1350

в)27х500=27х1000:2=13500

Правило 3.2.Умножение на 25 (250, 500)

Чтобы умножить число на 25,(250, 500), достаточно умножить его на 100,

1 000, 10 000) и результат разделить на 4.

а) 28х25=28х100:4=700

б) 28х250=28х1000:4=7000

в) 28х2500=28х10 000:4=70 000

Правило 3.3. Умножение на 125 (1 250)

Чтобы умножить число на 125 (1250), до­статочно умножить его на 1 000

(10 000) и результат разделить на 8.

а)64х125=(64х1000):8=8000
б)64х1250=(64х10000):8=80000
Небольшие изменения приема 3 позво­ляют сформулировать следующее правило умножения на 75.

Правило 3.4. Умножение на 75

Чтобы умножить число на 75, достаточно разде­лить его на 4, умножить частное на 3 и ре­зультат умножить на 100, т.к.

75=100:4 х3

104 х 75 = (104 : 4) х 3 х 100 = 26х3 х100 = 78х100 = 7800

Прием 4. Представление одного из множителей произведения в виде разно­сти двух чисел

Одиниз множителей про­изведения представляют в виде разности двух чисел, второй множитель умножают на уменьшаемое и вычитаемое, а затем находят разность получившихся произве­дений.

Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 4.1. Умножение на 9 (99, 999)

Чтобы умножить число на 9 (99, 999), достаточно увеличить его в 10 (100,

1 000) раз и из полученного результата вычесть са­мо число.

а) 57 х 9 = 57 х 10 - 57 = 570 - 57 = 513;

б) 57 х 99 = 57 х 100 - 57 = 5700 - 57 = 5643

в) 57 х 999 = 57 х 1000 - 57 = 57000 - 57 = 56943

Прием 5. Представление одного из множителей произведения в виде суммы двух чисел

Один из множителей произве­дения представляют в виде суммы двух чи­сел, второй множитель умножают на каждое слагаемое, а затем складывают получившиеся произведения.

Данный прием позволяет сформулиро­вать ряд правил.

Правило 5.1. Умножение на 11 (101, 1001)

Чтобы умножить число на 11 (101, 1001), достаточно увеличить его в 10 раз и к полученному результату прибавить это число.

а) 67 х11 = 67 х 10 + 67 = 670 + 67 = 737

б)67х 101 =67 х 100 + 67 = 6700 + 67 =6 767

в)67 х1001 = 67 х 1000 + 67 = 67000 + 67 = 67067

Существуют еще интересные правила умножения двузначных чисел на 11, 101, 99.

Правило 5.2. Умножение двузначного числа на 11

Чтобы умножить двузначное число на 11, достаточно раздвинуть его ци­фры и вставить между ними их сумму. При­чем, если эта сумма сама является двузнач­ной, то ее единицы вставляются между ци­фрами данного числа, а десятки прибавля­ются к первой цифре.

Пример.Для нахождения значения произведения 63х11 проделаем следующее

находим сумму 6 + 3 = 9;

раздвигаем цифры числа 63, вставив между ними цифру 9, получим ответ:

63 х 11 = 693.

Пример.Для нахождения значения про­изведения 58 • 11 проделаем следующее:

находим сумму 5 + 8 = 13;

раздвигаем цифры числа 58, вставив между ними цифру 3, десятки увеличиваем на 1 (5 + 1 = 6), получим ответ: 58 • 11 = 638.

Правило5.3.Умножение двузначного числа на 101

Чтобы умножить двузначное число на 101, достаточно справа к нему приписать само число.

Пример.73х101 = 7373.

Правило 5.4. Умножение двузначного числа на 99

Чтобы умножить двузначное число на 99, достаточно к предшествующе­му числу приписать его дополнение до 100.

Пример.13х99= 1287.

Прием 6. Умножение чисел меньших двадцати

Чтобы умножить два числа, ко­торые меньше двадцати, достаточно при­бавить к первому единицы второго, к ре­зультату приписать нуль и прибавить про­изведение единиц.

Пример.Для нахождения значения про­изведения16х13 проделаем следующее:

к первому числу прибавляем единицы второго 16 + 3=19;

приписываем к результату нуль и при­бавляем произведение единиц, получаем ответ: 190 + 6х3 =208.

IV. Приемы деления. Приемы рацио­нальных вычислений для деления основаны на законах умножения и следующих свойст­вах (изменения частного):

Свойство 4.1. Если делимое увеличить или уменьшить в несколько раз, то частное соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Свойство 4.2. Если делитель увеличить (уменьшить) в несколько раз, то частное уменьшится (увеличится) во столько же раз.

Рассмотрим приемы, основанные на данных свойствах, позволяющие упростить вычислительный процесс.

Прием 1. Представление делителя в виде частного двух чисел

Делитель пред­ставляют в виде частного двух чисел, делимое умножают на второе число, а затем этот результат делят на первое число.

Данный прием позволяет сформулировать ряд правил.

Правило 4. 1. Деление на 5 (50, 500)

Чтобы разделить число на 5(50,500) достаточно умножить его на 2 и результат разделить на 10(100, 1000)

а)165:5=(165х2:10)=330:10=33

б)1650:50=(1650х2:100)=3300:100=33

в)16500:500=(16500х2:1000)=33000:1000=33

Правило 4. 2. Деление на 25 (250). Чтобы разделить число на 25 (250), достаточно умножить его на 4 и разделить на 100 (1 000).

а)1 100 : 25 = (1 100 х 4) : 100 =4400 : 100 = 44

б)11000 : 250 = (11 000 х 4) : 1 000 =44 000: 1 000 = 44

Практически все рассмотренные выше приемы рациональных вычислений могут освоить учащиеся начальных классов, если учитель постоянно будет проводить соот­ветствующую работу, начиная с I класса.

Таким образом, овладение учащиеся вычислительными навыками достигается в результате достаточного числа тренировочных упражнений.

Важно, чтобы они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме, чтобы при этом предусматривались аналогии в приемах и в соответствии с ними предла­гались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении.

4.Анализ программ и учебников по математике