Биомеханика физических упражнений ( PDFDrive ) — копия. 1. предмет и методы биомеханики
 Скачать 239.62 Kb.
|
|
Коэффициенты уравнений множественной регрессии (по данным В.М. Зациорского и др., 1981)
63
4.2.1. Центр масс звеньев тела Экспериментально-аналитические методы определения ОЦМ системы тел разработаны на основе теоремы Вариньона о моменте равнодействующей си стемы сил. В практике биомеханических исследований нередко возникают за труднения в определении моментов внешних сил, действующих на тело спортсмена при выполнении соревновательных упражнений. Поэтому нелишне вспомнить, как трактуется понятие момента силы в теоретической механике. Допустим, на тело в точке А действует произвольная сила F, не паралл лельная оси вращения Oz и не пересекающая ее (рис. 4.4). Проведем плоскость Q, перепендикулярную оси Oz и проходящую через начало А вектора силы F. Силу F можно разложить на две составляющие: F1, расположенную в плоскости Q, и F2, параллельную оси Oz. Так как сила F2 параллельна оси Oz, то она не создает вращательного мо мента относительно этой оси. Составляющая F1, действующая в плоскости Q, создает относительно оси Oz момент силы Mz, равный произведению силы (F1) на ее плечо (h) Mz = F1h. (4.4) 64 Z F F2 Q F1 А h Y Lx L C P O X Рис. 4.4. Сила, действующие на тело в точке А Рис. 4.5. Момент силы тяжести в большом обороте назад на перекладине Момент силы тяжести относительно оси, расположенной перпендикулярно плоскости движения, в соответствии с уравнением (4.4), определяется без за труднений. Допустим, спортсмен выполняет большой оборот назад на перекла дине (рис. 4.5). Допустим, также, что нам известно расположение его центра масс (С), вес (Р) и расстояние от ОЦМ (L) до оси вращения. В этом случае действующий на тело спортсмена момент силы тяжести (М) определяется произведением его ве са и проекции L на ось Ox: M = P · Lx. Запишем теорему Вариньона в аналитической форме. Согласно теореме Вариньона, если данная система сил не эквивалентна нулю и имеет равнодей ствующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси, или n = ∑ . (4.5) M m i i = 1 65 Здесь М – момент равнодействующей силы относительно некоторой оси; mi – момент i-й силы относительно той же оси; i – порядковый номер рассматривае мой силы; n – количество действующих сил. Рассмотрим использование теоремы Вариньона в случае определения ко ординат общего центра масс системы тел в условиях силы тяжести на следую щем примере (рис. 4.6). Y m 3 m 2 m Y Y Y 1 3 2 1 Х Х 1 Х 2 Х 3 Рис. 4.6. Система тел из трех шаров
Отсюда Хс, Yc определяются равенствами (4.7) m X m X m X m Y m Y m Y Xc Yc + + + + = =(4.7), . 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 M M 66 В общем случае формулы для определения координат ОЦТ N-звенной си стемы тел имеют вид Xc = n ∑ P X i i Yc = n ∑ PY i i ∑,1 i n = 1 P i i = ∑. (4.8) n P i i = 1 i = 1 Уравнения (4.8) позволяют определить координаты центра масс звеньев тела спортсмена по известным значениям масс, длин сегментов тела и положе нию их центра масс. Так как для рассматриваемой модели опорно двигательного аппарата тела человека положение центра масс сегмента принято на его продольной оси, то в этом случае для определения положения центра масс звена достаточно воспользоваться одной из формул в (4.8). Действитель но, совместим, например, тазобедренный сустав с началом декартовой системы координат, а продольную ось ноги – с осью Ох. Тогда координата центра масс ноги по оси Оу равна нулю, так как центры масс бедра, голени и стопы распо ложены на оси Ох. Для определения координаты ЦМ ноги по оси Ох необходи мо знать массу бедра, голени, стопы, а также их центры масс (X1, X2, Х3) в де картовой системе координат. Масса бедра, голени, стопы определится по табличным данным (табл. 3). Аналогичным образом, с учетом кинематической схемы ноги (рис. 4.7), определяются и центры масс бедра, голени и стопы в декартовой системе координат на оси Ох. Y L = 44 см L = 38 см L = 26 см 3 1 2 О 20,02 15,39 11,46 Х S Х S Х S Х 1 1 2 2 3 3 Рис. 4.7. Кинематическая схема ноги Далее, по формулам координат центра масс системы тел (4.8) найдем ко ординату центра масс ноги на оси Ох. 67 Следовательно, прежде чем определить координату (Xc) центра масс звена, необходимо предварительно, вычислить массы составляющих его сегментов и найти их центры масс в декартовой системе координат. Здесь следует учесть, что для многозвенной модели звеньями тела могут являться и сегменты. Например, при выполнении сгибательных движений ноги в голеностопном, ко ленном и тазобедренном суставах, звеньями являются сегменты: стопа, голень, бедро. Отдельно следует рассмотреть и вопрос об определении координат ЦМ ту ловища, если в качестве исходных данных используются не процентные пока затели, а значения масс и координат верхней, средней, нижней частей тулови ща, вычисленные по уравнениям множественной регрессии. Дело в том, что для вычисления ЦМ туловища предварительно необходимо знать длину каждой из частей туловища, что можно получить или прямым измерением, или вычис лить, используя данные авторов радиоизотопной методики определения масс инерционных характеристик звеньев тела человека. При прямом измерении длины верхней, средней, нижней частей туловища, в качестве антропометрических точек, указывающих границы сегментов, ис пользуют следующие точки: 1. Верхний отдел туловища. Проксимальная точка – остистый отросток седьмого шейного позвонка. Дистальная точка – нижне-грудинная. 2. Средний отдел туловища. Проксимальная точка – нижне-грудинная. Дистальная точка – пупочная. 3. Нижний отдел туловища. Проксимальная точка – пупочная. Дистальная точка – передне-подвздошная. Для среднего отдела туловища измерения выполняют в положении лежа. «Биомеханические» длины сегментов тела, в том числе и различных отде лов туловища, можно определить из уравнения множественной регрессии Y = Во+ B1X1 + B2Х2 + В3Х3, где: Y – длина сегмента; X1 – длина ноги; Х2 – длина тела (рост); ХЗ – длина руки; Bi – коэффициенты уравнений множественной регрессии. 68 Непосредственно коэффициенты Bi можно определить по табличным дан ным (табл. 4.3). Т а б л и ц а 4.3 Определение коэффициентов Bi (по данным В.М.Зациорского и др., 1981)
Сейчас вполне правомерно поставить вопрос и об определении координат ОЦМ тела спортсмена в процессе выполнения упражнений. 4.2.2. Общий центр масс биомеханической системы Поставленная задача может быть решена одним из следующих способов. Введем в рассмотрение обобщенные координаты Qi, соответствующие уг лу наклона i-го звена к оси Ох. В этом случае для трехзвенной модели коорди наты центра масс звеньев системы (Xi, Yi) определятся равенствами X1 = S1 cos Ql; X2 = L1cosQl + S2 cosQ2; Y1 = S1 sin Q1; Y2 = L1sin Q1 + S2 sinQ2; Х3 = L1cosQl + L2 cosQ2 + S3cosQ3; Y 3 = L1sin Q1 + L2 sin Q2 + S3 sin Q3. (4.9) Введем правые части уравнений (4.9) в уравнения координат ОЦМ трех звенной системы тел (4.7). Получим 69 m S Q m L Q S Q m L Q L Q S Q Xcm 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3 ( cos ) ( cos cos ) ( cos cos cos ); + + + + + = m S Q m L Q S Q m L Q L Q S Q Ycm 1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 3 3 ( sin ) ( sin sin ) ( sin sin sin ). + + + + + = (4.10) Полученные уравнения однозначно определяют координаты ОЦМ трех звенной биомеханической модели через масс-инерционные характеристики звеньев тела и обобщенные координаты. Учитывая, что центр масс i-го звена N-звенной модели выражается посредством урав нений (4.8), можно записать уравнения координат ОЦМ для N-звенной биомеханической си стемы в следующем виде: ∑ ∑ ∑ n n i m S Q m L Q cos cos − 1 + Xc i i i k j j i k j = = = 1 2 1 = ∑; n m i i = 1 ∑ ∑ ∑ n n i − 1 Yc m S Q m L Q sin sin + i i i k j j i k j = = = 1 2 1 = ∑. (4.11) n i i = m 1 Уравнения (4.10), (4.11) можно преобразовать, сгруппировав члены при тригонометри ческих функциях. Для равенств (4.10) имеем m S m L m L Q m S m L Q m S Q Xcm 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 3 ( )cos ( )cos cos; + + + + + = m S m L m L Q m S m L Q m S Q Ycm 1 1 2 1 3 1 1 2 2 3 2 2 3 3 3 ( )sin ( )sin sin. + + + + + =(4.12) где m – масса всей системы. Обозначим алгебраические выражения при тригонометрических функциях символом А с индексом, номер которого соответствует порядковому номеру обобщенной координаты A1 = (m1S1 + m2L1 + m3L1) / m; A2 = (m2S2 + m3L2) / m; АЗ = (m3S3) / m. (4.13) Используя полученные выражения, будем иметь компактную запись уравнений (4.12): 70 Хс= A1cos Ql + A2 cosQ2 + А3соsО3; Yc = A1 sin Q1 + A2 sin Q2 + А3 sinО3. (4.14) Нетрудно заметить то обстоятельство, что коэффициенты Ai для одной и той же биоме ханической системы постоянны. Поэтому, для определения координат ОЦМ тела спортсмена при произвольных анатомически допустимых углах между звеньями тела достаточно один раз вычислить коэффициенты Ai и оперировать ими на всей траектории системы. Это весьма существенно повышает скорость вычислительных операций по сравнению с алгоритмом (4.11) и требует меньшего количества исходной биомеханической информации. Коэффициенты Ai, определяющие координаты ОЦМ N-звенной биомеханической си стемы, на основании уравнений (4.13) находятся из следующего выражения: N ∑ m S L m + i i i j j i A = = + 1 , i N ∑(4.15) i i = m 1 а формулы координат ОЦМ системы примут вид N =∑ Xc A Q cos , i i N =∑(4.16) Yc A Q sin . i i i = 1 i = 1 Численное определения коэффициентов Ai можно выполнить лишь по известным зна чениям mi, Si, Li . Коэффициенты Ai можно определить экспериментально-аналитическим путем. Мето дика экспериментально-аналитического определения коэффициентов Ai была разработана Ю.А.Ипполитовым еще в 1969 г., однако, к сожалению, не нашла широкого распростране ния. Сущность рассматриваемого метода заключается в следующем. На две трехгранные призмы, одна из которых расположена на медицинских весах, а вторая – на полу, укладывается доска в горизонтальном положении. Измеряется давление доски на весы (R1). Затем испытуемый принимает положение лежа на спине руки вверх (на одной прямой с туловищем) таким образом, чтобы проекция полусогнутых пальцев кистей рук совпадала с высотой трехгранной призмы, установленной на полу. В этом положении Q1 = Q2 = Q3 = 0О и координата центра масс спортсмена по оси Ох находится по формуле X1 = A1 + A2 + А3 = [(R2 - R1)S] / P, Где R2 – давление тела и доски; R1 – давление доски; S – расстояние между вершинами призм; Р – вес испытуемого; Q1 – обобщенная координата первого звена (руки); Q2 – обоб- 71 щенная координата второго звена (туловище); О3 – обобщенная координата третьего звена (ноги). Измеряя давление тела и доски (R3) в положении лежа руки вверх, ноги вперед, т.е. при Q1 = Q2 = 00, Q3 = 900определяется координата ОЦМ тела спортсмена по оси абсцисс из вы ражения Х2 = A1 + A2 = [(R3 - R1) S] / P. Для определения ординаты ОЦМ испытуемый принимает положение лежа руки вперед, т.е. когда Q1 = 900, Q2 = Q3 = 00, тогда Y = A2 +А3 = [(R4 - R1) S] / P - L1, где L1 – длина рук; R4 – давление тела и доски. Решая полученные уравнения, находим коэффициенты Ai: A1 = X1 - Y, A2 = X2 - A1, АЗ = X1-X2. При программной реализации расчета коэффициентов Ai на ЭВМ достаточно ввести в память компьютера семь значений экспериментальных данных (для трехзвенной модели): Р, S, L1, R1, R2, R3, R4. Таким образом, зная обобщенные координаты и коэффициенты Ai, по уравнениям (4.16) определяются координаты ОЦМ тела спортсмена на всей траектории выполняемого упражнения. Одновременно с этим вычисляется и радиус вращения ОЦМ (R) в соответствии с уравнением (4.17) 2 2 R Xc Yc = + .(4.17) Ценность экспериментально-аналитического метода определения ОЦМ тела человека заключается в том, что он позволяет учесть индивидуальные антропометрические особенно сти испытуемых. 4.2.3. Момент инерции звеньев тела и биомеханической системы Одним из фундаментальных понятий в теории вращения тел является мо мент инерции, характеризующий инертность тела. Как известно из курса теоре тической механики, инертностью тела называется его свойство сопротивляться 72 изменению скорости. В поступательных движениях инертность тела определя ется его массой: чем больше масса, тем большая сила требуется для выведения его из состояния покоя и тем труднее его затормозить. Во вращательных дви жениях инертность тела определяется его моментом инерции. Следовательно, момент инерции во вращательных движениях является аналогом массы в по ступательных движениях. Момент инерции сегментов тела человека дает представление о распреде лении массы сегмента относительно заданной оси и численно равен сумме про изведений масс всех материальных точек на квадраты их расстояний до оси вращения N =∑(4.18) Jo m r i i 2 , i = 1 где Jo – момент инерции тела относительно заданной оси Oz; mi – масса i-й материальной точки; ri – расстояние от i-й материальной точки до оси враще ния. Геометрическое представление выражения (57) в определенной степени иллюстрируется рисунком 4.8. Если разбить стержень на шесть частей (рис. 4.8), то его момент инерции относительно оси Oz, перпендикулярной плоскости чертежа и проходящей че рез начало декартовой системы координат Oxyz, в соответствии с (4.18) равен Jo = m1 r1 2 + m2 r2 2 + m3 r3 2 + m4 r4 2 + m5 r5 2 + m6 r62 . Y 1 3 4 5 6 2 m m m m m m ОХ r 1 2 r 3 r 4 r r r 5 6 Рис. 4.8. Момент инерции стержня 73 Момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела, называется центральным. Например, центральный момент инерции стержня определяется из выражения 2 mL Jc =(4.19) 12 . Здесь Jc – центральный момент инерции; m – масса стержня; L – длина стержня. Однако сегменты тела человека можно лишь с большим приближением апроксимировать стержнями, и определение центрального момента инерции сегментов тела человека по формулам (4.18), (4.19) ведет к значительным по грешностям. Более точным является метод аппроксимации звеньев тела и сег ментов различными геометрическими фигурами. Представляя части тела чело века в виде тел геометрически правильной формы с равномерно распределен ной массой, вычисляют по соответствующим формулам их масс-инерционные характеристики. К примеру, аппроксимируя звенья тела и сегменты усеченны ми конусами, а в ряде случаев принимая их за параболоиды вращения, опреде ляют момент инерции сегментов тела человека по табличным данным М.Ф. Фа ворина (1977), которые позволяют, зная отношение радиусов конуса и его вы соту, выразить искомые величины посредством введения соответствующих ко эффициентов в расчетные формулы. В настоящее время наиболее точным из существующих методов определе ния геометрии масс тела человека является радиоизотопный: погрешность ис пользуемого метода не превышает 3% (Зациорский В.М., Аруин А.С., Селуянов В.Н., 1981). В результате выполненных исследований авторами были определе ны коэффициенты (Вi) уравнений множественной регрессии вида Y = ВO + B1 X1 + B2 X2, (4.20) позволяющие вычислять центральные моменты инерции сегментов тела по весу (X1) и длине (X2) тела. Коэффициенты Bi, используемые в уравнениях множе ственной регрессии для вычисления центрального момента инерции сегментов тела человека, приведены в табл. 4.4. 74 Т а б л и ц а 4.4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||