Шпаргалки к экзамену по теории вероятностей и статистике. шпоры ответы на вопросы к экзамену по твимс2. 1. Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
1. Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события.  Случайным событием (просто событием) называется любой факт, который в результате может произойти или не произойти. 2. Основные типы событий, алгебра событий. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида: а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта; б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может; в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Алгебра событий. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий. Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).  Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.  Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.  Введем еще несколько категорий событий. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют элементарными событиями. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое. 3.Понятие вероятности события. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Свойства вероятностей. При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, а) попарно несовместны; б) равновозможны; в) образуют полную группу, то говорят, что имеет место схема случаев. Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов). Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:  - (1.1)1. классическое определение вероятности. Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Если требуется определять вероятность события иным образом, то введем вначале понятие относительной частоты W(A) события A как отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:  (1.2)где N – общее число опытов, М – число появлений события А. 2. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней. Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероятности. Для существования статистической вероятности события А требуется: возможность производить неограниченное число испытаний; устойчивость относительных частот появления А в различных сериях достаточно большого числа опытов. Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности. 3. геометрическая вероятность. Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезок L и с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезка L не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L, вычисляется по формуле:  где l – длина отрезка l, а L – длина отрезка L. Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область S и вероятности того, что она попадет на часть этой области s:  где s – площадь части области, а S – площадь всей области. В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:  где v – объем части тела, а V – объем всего тела. 4. Элементы комбинаторики. Схемы выбора без возвращения и с возвращением. Определим основные комбинации. Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Рп = п! Размещения – комбинации из т элементов множества, содержащего п различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений  (1.4)Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний  Схема выбора без возвращения.   4 .     5. Теорема сложения вероятностей.  7. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: р (АВ) = р (А) · р (В/А). (2.6) Доказательство. Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считать тА (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов – те, при которых произошли и А, и В ( тАВ ). Следовательно,  откуда следует утверждение теоремы.Следствие. Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р (ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно, р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В). (2.7) Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В). Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий, в противном случае события называют зависимыми. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид: р (АВ) = р (А) · р (В) , (2.8) то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе. 6. Сумма и произведение совместных событий и их геометрическая интерпретация. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении или события А или события В или их вместе. хотя бы одно из событий А или В. С=А+В Геометрическая интерпретация  u – множество исходов некоторого опыта.Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в одновременном появлении события А и В. С=А*В Разностью событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А и не появлении события В С=А\В  .Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только в том случае, когда не происходит другое.  . А+ =U A* =V –невозможно.  8.Формула полной вероятности. Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп называются гипотезами. Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:  (3.1)где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности. Доказательство. Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что  что и требовалось доказать. 9. Формула Бейеса. Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт может изменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, в предыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной не могла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н3/А) = 0. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:  (3.2)  11. Предельные теоремы в схеме Бернулли. Формула Пуассона и условия её применимости.     10. Формула (схема) Бернулли. Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной и той же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатов остальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний. Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть  , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p – вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли: ,  14. Закон распределения дискретной случайно величины. Многоугольник распределения. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины. Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически. Таблица соответствия значений случайной величины и их вероятностей называется рядом распределения. Законом распределения случайной дискретной величины (X) называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины (x1,x2,...xn) и соответствующими им вероятностями (p1,p2,... ,pn). При этом события (x1,x2,...xn) образуют полную группу (т.е. появление одного из них является достоверным событием), что означает  (1)Про случайную величину X в таком случае говорят, что она подчинена данному закону распределения. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:
Такая таблица называется таблицей распределения (вероятностей) случайной величины X. Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (xi, pi).  x1 x2 x3 x4 x5 Графическое представление этой таблицы называется многоугольником распределения. При этом сумма все ординат многоугольника распределения представляет собой вероятность всех возможных значений случайной величины, а, следовательно, равна единице. |