Численные методы. Номер 1.. 1. Приближенное вычисление определенных интегралов приближенное вычисление интеграла по формулам трапеций и Симпсона, оценка погрешностей вычисления Формула трапеций имеет вид
 Скачать 4.47 Mb.
|
|
root”. Функция имеет четыре аргумента функция, описывающая левую часть уравнения аргумент левый конец отрезка, содержащего корень уравнения правый конец отрезка, содержащего корень. Решение приведено на рис. (3.15). Рис. 3.15. Решение в пакете MathCAD ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ 3 30 Отделить корни уравненияи найти приближенное значение корней с точностью 10 -3 методами деления отрезка пополам, итерации и Ньютона в табличном процессоре Microsoft Excel. Получить приближенное значение корней, используя надстройку Microsoft Excel Подбор решений. Проверить полученные решения в пакете MathCAD. В отчете по выполнению задания привести — формулы, по которым производится расчет — таблички Microsoft Excel с решением в режимах отображения чисел и формул с сеткой и заголовками строки столбцов — сопоставления необходимого числа итераций в каждом из методов — табличку Microsoft Excel с подбором корня с помощью надстройки Подбор параметра — фрагмент листа MathCAD с решением. Вариант 1. Уравнение Вариант 2. Уравнение 2 x x . Вариант 3. Уравнение 1 . Вариант 4. Уравнение Вариант 5. Уравнение 1 cos 3 x x . Вариант 6. Уравнение Вариант 7. Уравнение Вариант 8. Уравнение 1 1 2 . Вариант 9. Уравнение 2 x e x . Вариант 10. Уравнение 2 2 , 2 x x . ТЕМА 4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОДЫ ИТЕРАЦИИ, ИТЕРАЦИИ ЗЕЙДЕЛЯ, ПРОГОНКИ Метод простой итерации Метод итерации является общим методом решения многих задач. Им можно решать не только нелинейные уравнения, но и системы линейных алгебраических уравнений. Итерационные методы применяют при решении систем до порядка 10 Методом итерации определяется приближенное решение с заданной точностью. Пусть нужно определить решение системы n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x 1 , x 2 , x 3 ,... x n : a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n n n nn n n 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , (4.1) где a ij - коэффициенты перед неизвестными уравнений, x i - неизвестные величины, b i - свободные члены уравнений. Если все коэффициенты a ii отличны от нуля и справедливы неравенства n j i j ij ii a a 1 , то метод применять можно. Перепишем уравнения системы, явно выразив по одной из неизвестных в уравнении через другие 31 1 1 2 2 1 1 2 3 23 1 21 2 22 2 1 3 13 2 12 1 11 1 1 1 1 n nn n n n nn n n n n n x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x (4.2) Пусть приближенное решение системы равняется x 1 0 , x 2 0 , x 3 0 ,... x n 0 – нулевое приближение. Подставляя эти значения в правую часть уравнений системы (4.2), вычисляем значения первого приближения решения системы ) 0 ( 1 1 ) 0 ( 2 2 ) 0 ( 1 1 ) 1 ( ) 0 ( 2 ) 0 ( 3 23 ) 0 ( 1 21 2 22 ) 1 ( 2 ) 0 ( 1 ) 0 ( 3 13 ) 0 ( 2 12 1 11 ) 1 ( 1 1 1 1 n nn n n n nn n n n n n x a x a x a b a x x a x a x a b a x x a x a x a b a x (4.3) Подставляя полученные первые приближения x 1 1 , x 2 1 , x 3 1 ,... x n 1 в правую часть системы (4.3) получаем второе приближение x 1 2 , x 2 2 , x 3 2 ,... x n 2 . Действуя также далее, можем вычислять следующие приближения на основе вычисленных предыдущих. Вычисления продолжают до тех пор, пока разность между приближенными значениями не станет меньше по абсолютной величине заданной точности решения, те. ) 1 ( ) ( max k i k i x x , где - заданная точность. Если условие n j i j ij ii a a 1 не выполняется, то метод не сойдется, то есть невозможно достигнуть решения за любое число итераций. Задание 8. Имеется система 8 12 3 18 6 32 5 83 5 18 2 15 5 3 20 4 3 2 4 3 2 1 4 2 1 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x . Найти решение системы методом итерации с точностью 10 -3 . Преобразуем уравнения системы к виду (4.3) для того, чтобы производить вычисления по методу итерации ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 1 ( 4 ) 0 ( 4 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1 ) 1 ( 3 ) 0 ( 4 ) 0 ( 1 ) 1 ( 2 ) 0 ( 4 ) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 1 ( 1 3 8 12 1 6 5 18 32 1 5 2 83 18 1 5 3 15 20 1 x x x x x x x x x x x x x x (4.4) В качестве нулевого приближения положим значения всех переменных равными нулю x 1 0 =0, x 2 0 =0, x 3 0 =0, x 4 0 =0. 32 Решение производим в табличном процессоре Microsoft Excel. Надписываем столбцы первой строки таблицы Microsoft Excel именами переменных, которые будут определяться в этих столбцах (рис. 4.1). Рис. 4.1. Подпись столбцов таблицы для вычисления неизвестных Заносим в ячейки столбцов второй строки значения нулевого приближения (рис. 4.2), принятого равным нулю. Рис. 4.2. Занесение в ячейки таблицы нулевого приближения Записываем в ячейки столбцов третьей строки формулы для вычисления первого приближения решения через нулевые приближения (4.4) и получаем эти значения (рис. 4.3). Рис. 4.3. Вычисление первого приближения на основе нулевого Выделив формулы первой строки, копируем их на некоторое количество строк, получая последовательно второе, третье, … приближения (рис. 2.4). Копирование формул прекращаем когда решения следующей итерации отличаются отрешения предыдущей менее, чем заданная точность, в задании 0,001, т.к. три первые цифры полученного решения повторяются у всех переменных решения (рис. 4.4). Следовательно, решение с заданной точностью получено. На рис. 4.5 приведен фрагмент таблицы с решением в режиме отображения формул. 33 Рис. 4.4. Вычисление итераций копированием формул Рис. 4.5. Решение в режиме отображения формул В пакете MathCAD для решения систем линейных и нелинейных уравнений методом итераций определена функция Find. Ее вид Find(x,y,z,…), где x, y, z – искомые неизвестные. Шаги решения систем линейных алгебраических уравнений выглядят следующим образом Задание начальных приближений (нулевых) для всех неизвестных x:=x0, y:=y0, z:=z0,…; Ввод слова Given, указывающего на то, что далее следует система уравнений Ввод системы уравнений - нужно помнить, что знак равенства ставится жирный, который берется с палитры логический (Boolean); Ввод функции Find(x,y,z,…); Получение решения нажатием клавиши =. На рис. 4.6. приведено решение системы линейных алгебраических уравнений задания 8 в пакете MathCAD. 34 Рис. 4.6. Решение системы линейных уравнений в пакете MathCAD Метод итерации Зейделя 1 В методе итераций при вычислении следующего приближения используются значения предыдущего. В методе Зейделя предложено при получении следующего приближения использовать не только значения предыдущего шага итерации, но и уже полученные значения текущей итерации n j i i k j ij k j i j ij k i b x a x a x 1 ) 1 ( ) ( 1 1 ) ( (4.6) (4.5) На рис. 4.7, 4.8 приведено решение системы задания методом Зейделя. 1 2 3 4 5 6 7 A B C D x1 x2 x3 x4 0 0 Рис. 4.7. Фрагмент с решением в режиме отображения формул 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 0,75 4,52777778 -0,16840278 -0,45124421 0,83831742 4,64331035 -0,10460637 -0,48544372 0,84511363 4,65205507 -0,09977271 -0,48803271 0,84562867 4,65271701 -0,0994068 -0,48822869 0,84566766 4,65276712 -0,0993791 -0,48824352 0,84567061 4,65277091 -0,099377 -0,48824464 0,84567083 4,6527712 -0,09937684 -0,48824473 0,84567085 4,65277122 -0,09937683 -0,48824474 0,84567085 4,65277122 -0,09937683 -0,48824474 0,84567085 4,65277122 -0,09937683 -0,48824474 1 Филипп Людвиг Зейдель – немецкий математик, астроном, XIX в. 35 Рис. 4.8. Решение системы методом Зейделя в режиме отображения чисел Метод прогонки Вычисляя рекуррентные соотношения по формулам 1 1 1 b c s , 1 i i i i i s a b c s , 1 1 1 b f g , 1 1 i i i i i i i s a b g a f g i=2, 3, 4. (4.7) Приводим матрицу коэффициентов к виду 4 4 3 4 3 3 2 3 2 2 1 2 1 1 g x g x s x g x s x g x s x (4.8) Используя эти обозначения, можем записать также рекуррентные соотношения для вычисления решения системы (обратный ход метода прогонки) 4 4 g x , 1 i i i i x s g x i=3, 2, 1. (4.9) Задание 9. Имеется система 4 7 2 3 10 16 2 8 3 6 0 3 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x . Найти решение системы методами прогонки и итерации. Решение. Выполняем решение методом прогонки. Заданную систему линейных алгебраических приводим к виду, когда коэффициент в первом уравнении перед первой неизвестной равняется единице. Для этого разделим первое уравнение системы на коэффициент при первой неизвестной переменной и получим систему в виде 4 7 2 3 10 16 2 8 3 6 0 33 , 0 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 Будем проводить вычисления в табличном процессоре Microsoft Excel. Заполним таблицу для выполнения вычислений следующим образом. Впервой строке надпишем столбцы именами переменных, которые будут находиться в этих столбцах I – номер неизвестной, f i -значения столбца свободных членов уравнения a i , b i , c i – значения коэффициентов уравнений s i , g i , x i – столбцы, в которых будут проводиться вычисления. В соответствующие ячейки таблицы заносятся известные значения. В столбцах F, G таблицы Microsoft Excel выполняем вычисления прямого хода по формулам (4.7). Как обычно формулы набираются во второй строке вычислений и далее копируются для всех уравнений системы. В столбце H выполняем вычисления обратного хода по формулам (4.8). Причем начинаем вычисления с последнего значения системы, далее пишем формулу для определения предпоследнего значения и копируем ее, ведя за маленький черный крестик в правом нижнем углу ячейки с формулой снизу вверх. Результат вычислений показан на рис. 4.9. 36 Рис. 4.9. Вычисления методом прогонки (режим отображения чисел) На рис. 4.10 приведены формулы, по которым выполнен расчет. Рис. 4.10. Вычисления методом прогонки (режим отображения формул) Получим решение этой системы методом итераций. Для этого преобразуем уравнения системы, как равенства для вычисления неизвестных 7 4 10 3 2 8 2 16 6 3 33 , 0 4 5 5 3 4 4 2 3 3 1 2 2 Принимаем за нулевое приближение нулевые значения, записываем формулы для вычисления неизвестных переменных через другие неизвестные и копируем формулы до тех пор, пока значения не станут неизменными в рамках заданной точности (рис. 4.11, 4.12). 37 Рис. 4.11. Решение методом простой итерации (режим отображения чисел) Рис. 4.12. Решение методом простой итерации (фрагмент таблицы в режиме отображения формул) Как известно, функция пакета MathCAD given – find позволяет решать системы методом итерации. Решение системы выполняется с использованием этой функции (рис. 4.13). Рис. 4.13. Решение в пакете MathCAD методом итерации 38 Решение системы методом прогонки в пакете MathCAD будет несколько более громоздким, так как в пакете отсутствует функция, реализующая этот метод, есть функция lsolve, которая вычисляет решение по методу Гаусса. Походу вычислений определяются значения коэффициентов для разных уравнений. Имеет смысл (для компактности записи) использовать вектора. Переменная i будет отвечать за номер уравнения системы, теза коэффициенты при неизвестной переменной с этим номером. Однако, размерность компонентов вектора в пакете MathCAD изменяется от нуля, следовательно, номера всех переменных сдвигаем (уменьшаем) на единицу. Затем пишем зависимости для вычисления коэффициентов прямого хода. Далее записываются зависимости для получения неизвестных – обратный ход метода. Все решение приведено на рис. 4.14. Рис. 4.14. Метод прогонки в пакете MathCAD ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ 4 ЗАДАНИЕ. Задана система линейных алгебраических уравнений. Проверить сходимость метода простой итерации для данной системы. Вычислить приближенное решение системы по методу простой итерации и методу Зейделя с точностью 10 -4 . Сопоставить необходимое число итераций, потребовавшееся для достижения заданной точности в Microsoft Excel. Найти решение в пакете MathCAD по методу Гаусса и методом итерации. В отчете по выполнению задания привести — проверку сходимости метода простой итерации — формулы, по которым производится расчет методами простой итерации и Зейделя; 39 — таблички Microsoft Excel с решением в режимах отображения чисел и формул с сеткой и заголовками строки столбцов — результат сопоставления необходимого числа итераций в каждом из методов — описание функций MathCAD lsolve, find для решения СЛАУ; — фрагмент листа MathCAD с решениями. Вариант 1. 7 6 88 13 8 38 18 5 16 28 89 21 4 15 9 1 5 5 3 19 2 9 2 3 4 6 33 2 3 10 62 17 31 3 163 5 2 2 12 37 22 7 57 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 Вариант 2. 91 , 1 9 6 3 , 0 7 1 1 1 3 , 0 5 , 0 61 , 1 44 0 7 , 2 97 0 2 0 5 , 0 06 , 0 22 , 0 5 0 8 , 0 9 , 3 31 , 0 02 , 0 1 , 0 98 , 0 31 0 6 , 0 79 , 2 9 , 0 22 , 0 33 , 0 3 0 6 , 0 83 2 2 , 1 81 , 0 5 , 2 09 0 18 , 0 19 , 0 31 , 0 15 , 0 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 3 2 1 6 5 3 2 2 6 5 4 3 Вариант 3. 23 , 3 88 2 13 , 0 58 , 0 38 , 0 18 , 0 25 , 0 36 , 0 28 0 89 , 1 21 , 0 42 , 0 15 , 0 31 , 0 67 , 1 55 0 32 , 0 09 , 1 07 , 0 19 , 0 48 , 0 33 0 94 , 0 65 , 0 38 , 3 22 , 0 33 , 0 1 , 1 62 0 07 , 0 31 , 0 03 , 0 63 , 1 25 , 0 43 , 0 31 0 21 , 0 37 , 0 22 , 0 21 , 0 87 , 0 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 Вариант 4. 7 , 1 4 , 6 31 , 0 27 , 0 19 , 0 21 , 0 31 , 0 97 , 0 31 0 84 , 2 14 , 0 29 , 0 13 , 0 19 , 0 97 , 1 11 0 08 , 0 97 , 0 03 , 0 12 , 0 08 , 0 85 , 7 08 0 19 , 0 16 , 0 18 , 1 12 , 0 33 , 3 28 0 25 0 18 , 0 13 , 0 92 , 0 15 , 0 16 , 0 13 0 12 0 11 , 0 21 , 0 25 , 0 81 , 0 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 Вариант 5. 26 , 5 83 2 34 0 51 , 0 48 , 0 11 , 0 51 , 0 96 , 1 22 0 29 , 1 21 , 0 22 , 0 14 , 0 31 , 0 89 , 3 55 0 02 , 0 06 , 1 07 , 0 34 , 0 12 , 0 68 , 2 33 0 24 , 0 05 , 0 3 1 27 , 0 34 , 0 76 , 0 22 0 07 , 0 12 , 0 31 , 0 05 , 0 84 , 1 08 0 27 , 0 27 , 0 06 , 0 21 , 0 79 , 0 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 Вариант 6. 91 , 1 9 6 3 , 0 7 1 1 1 3 , 0 5 , 0 61 , 1 44 0 7 , 2 97 0 2 0 5 , 0 06 , 0 22 , 0 5 0 8 , 0 9 , 3 31 , 0 02 , 0 1 , 0 98 , 0 31 0 6 , 0 79 , 2 9 , 0 22 , 0 33 , 0 3 0 6 , 0 83 2 2 , 1 81 , 0 5 , 2 09 0 18 , 0 19 , 0 31 , 0 15 , 0 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 3 2 1 6 5 3 2 2 6 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 40 Вариант 7. 81 , 5 14 , 7 31 , 0 71 0 09 , 0 31 , 0 35 , 0 14 , 1 34 , 0 47 , 2 18 , 0 24 , 0 15 , 0 16 , 0 44 , 1 15 0 08 , 0 94 , 0 03 , 0 12 , 0 06 , 0 18 , 0 03 0 16 , 0 06 , 0 18 , 2 29 , 0 12 , 0 88 , 0 28 0 26 , 0 28 , 0 13 , 0 92 , 0 11 , 0 67 , 0 19 0 12 , 0 12 , 0 11 , 00 25 , 0 71 , 0 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 Вариант 8. 17 29 3 7 2 4 2 6 4 27 8 4 2 5 10 2 8 12 3 8 9 3 3 6 2 38 5 5 1 8 7 2 5 3 19 2 5 2 9 2 3 5 3 5 1 20 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 Вариант 9. 7 1 69 3 7 12 7 12 3 5 6 4 27 8 2 5 6 10 2 9 14 3 8 9 3 3 6 28 9 2 5 1 8 5 2 10 9 69 5 5 2 9 6 5 4 5 1 40 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 6 5 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 4 3 2 Вариант 10. 10 19 8 3 7 6 6 2 6 6 7 29 5 2 3 11 5 26 6 2 8 0 6 2 3 49 5 3 5 8 1 3 5 3 1 38 5 2 2 3 8 2 16 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 6 5 4 ЗАДАНИЕ. Задана система линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов трехдиагонального вида. Найти решение в пакетах MathCAD и Microsoft Excel методом прогонки. Вычислить (если возможно) приближенное решение системы по методу простой итерации. В отчете по выполнению задания привести — формулы, по которым производится расчет — таблички Microsoft Excel с решением в режимах отображения чисел и формул с сеткой и заголовками строки столбцов — функции MathCAD lsolve, find для решения СЛАУ; — фрагмент листа MathCAD с решениями. Вариант 1. 8 5 4 1 3 1 5 2 10 6 1 8 6 2 5 5 3 8 0 5 1 9 3 0 5 3 8 5 0 9 3 1 6 7 6 1 5 9 0 3 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 41 Вариант 2. 1 9 6 8 3 6 2 7 2 3 7 5 0 2 12 1 2 6 5 2 8 12 8 2 4 9 8 2 9 2 3 8 2 3 2 7 2 2 9 7 2 6 8 7 6 6 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 Вариант 3. 7 4 5 6 8 1 5 1 6 0 9 5 2 2 16 9 4 7 19 7 1 3 18 7 3 5 9 9 0 0 1 2 7 9 2 1 10 3 2 4 8 1 2 8 9 7 4 6 9 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 Вариант 4. 15 6 2 9 2 13 2 24 3 0 8 2 20 8 25 3 19 4 28 2 2 14 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 Вариант 5. 2 11 5 3 0 5 18 3 3 2 5 9 2 3 2 14 4 2 8 2 10 2 9 2 16 2 10 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 Вариант 6. 0 9 9 1 6 8 0 1 0 7 2 8 0 8 1 8 1 5 5 2 8 0 5 1 12 3 2 2 8 5 1 4 3 2 6 5 1 1 5 9 4 3 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 42 Вариант 7. 13 8 3 4 2 9 3 3 8 2 0 2 3 2 5 1 2 5 3 6 2 3 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 Вариант 8. 2 4 9 3 5 1 0 6 2 2 5 1 10 5 2 8 6 8 2 1 8 2 9 2 3 8 2 3 2 9 2 2 5 7 2 18 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 Вариант 9. 6 2 5 5 8 2 9 7 0 3 6 5 0 9 16 1 4 7 10 7 1 9 8 7 2 5 9 9 2 9 7 5 2 7 9 9 1 7 12 4 2 4 9 1 2 2 3 7 2 1 9 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 Вариант 10. 2 4 0 7 3 3 5 14 3 19 12 2 22 6 21 3 0 4 18 2 38 20 16 7 6 7 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x |