Численные методы. Номер 1.. 1. Приближенное вычисление определенных интегралов приближенное вычисление интеграла по формулам трапеций и Симпсона, оценка погрешностей вычисления Формула трапеций имеет вид
 Скачать 4.47 Mb.
|
|
x y Рис. 8.7. Проверка полученного решения На рис. 8.8 приведен фрагмент таблицы с проверкой решения в режиме отображения формул. Рис. 8.8. Проверка решения (режим отображения формул) Решение в пакете MathCAD. Для решения систем линейных и нелинейных уравнений в пакете MathCAD определена функция Find. Эта функция позволяет решать системы линейных и нелинейных уравнений методом итераций. На рис. 8.9 приведено решение задания в пакете MathCAD. Рис. 8.9. Решение методом итерации в пакете MathCAD Кроме того вычисления можно проводить методом Гаусса. В пакете MathCAD для этого предназначена функция lsolve, которую применим для вычисления решения системы рис. 8.10). Рис. 8.10. Решение в пакете MathCAD Реализацию метода придется проводить без использования функций. Задаем вектора с коэффициентами матрицы коэффициентов системы, расположенных ниже главной диагонали, на главной диагонали и под главной диагональю матрицы, составленной из коэффициентов перед неизвестными системы, и столбец свободных членов системы. Записываем формулы для вычисления коэффициентов прямого и обратного ходов метода прогонки. Результатом обратного хода является полученное решение системы (рис. 8.11). Рис. 8.11. Решение методом прогонки в пакете MathCAD Как видим, решения совпадают. Функция odesolve позволяет решать краевые задачи. Ее применение реализуется как для задачи Коши и имеет вид Рис. 8.11. Решение в пакете MathCAD функцией odesolve ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ 8 ЗАДАНИЕ 14. Задано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x y x q x y x p x y . Найти численное решение краевой задачи первого рода на промежутке x [a, b], используя метод конечных разностей Решение выполнить в табличном процессоре Microsoft Excel и пакете математических расчетов MathCAD. В отчете привести конечно-разностные отношения для внутренних точек отрезка интегрирования систему линейных алгебраических уравнений для решения в точках деления отрезка интегрирования формулы метода прогонки решения краевой задачи обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка решение системы линейных алгебраических уравнений методами итерации и прогонки в Microsoft Excel в табличной (в режимах отображения чисел и формул с сеткой и заголовками строки столбцов) и графической формах проверку полученного решения для любой внутренней точки промежутка решение методом прогонки, полученное в пакете Mathcad решение, полученное в пакете Mathcad с использованием функции odesolve. ВАРИАНТ УРАВНЕНИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРОМЕЖУТОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1. x y x y y 2 4 , 0 7 3 ) 9 0 ( 9 0 ) 6 0 ( y y x [0.6, 0.9]. 2. 2 2 2 5 , 0 x y y x y 1 ) 9 1 ( , 5 2 ) 6 1 ( y y x [1.6, 1.9]. 3. x y x y x y 5 2 5 , 1 5 0 2 071 1 ) 8 1 ( , 5 0 ) 0 1 ( y y x [1.0, 1.8]. 4. x y x y y 2 84 , 0 7 1 ) 9 1 ( , 65 0 ) 6 1 ( y y x [1.6, 1.9]. 5. 1 2 x y y x y 3 1 ) 8 1 ( , 9 0 ) 9 0 ( y y x [0.9, 1.8]. 6. 2 3 y x y y 3 1 ) 9 1 ( , 4 0 ) 8 0 ( y y x [0.8, 1.9]. 7. x y x y y 2 2 8 1 ) 9 0 ( , 5 2 ) 6 0 ( y y x [0.6, 0.9]. 8. 34 , 1 75 0 2 y x y x y 67 0 ) 12 2 ( , 69 1 ) 78 1 ( y y x [1.78, 2,12]. 9. x y x y y 2 2 2 644 0 ) 9 1 ( , 5 0 ) 1 ( y y x [1, 1.9]. 10. 65 , 0 2 2 y y x y 2 1 ) 8 2 ( , 5 2 ) 5 2 ( y y x [2.5, ТЕМА 9. РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТРЕТЬЕГО РОДА Задание 17. Решить краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения 1 2 x y y x y на промежутке изменения аргумента x [2, 2.3] шагом h=0,05. Краевые условия имеют вид 15 , 2 3 , 2 , 1 ) 2 ( 2 2 y y y . Решение. В данном уравнении x x q x x p 2 1 , , f(x)=1, в граничных условиях 11 =1, 12 =2, 21 =1, 22 =0, 1 =1, 2 =2,15. x 0 =2; x 1 =2.05; x 2 =2.10; x 3 =2.15; x 4 =2.20; x 5 =2.25; x 6 =2.3. Следовательно, система линейных алгебраических уравнений относительно значений решения имеет вид 15 2 1 05 0 0 0025 0 ) ( 25 2 2 05 0 1 ) ( 25 2 2 0025 0 1 2 ) ( 25 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 20 2 2 05 0 1 ) ( 20 2 2 0025 0 1 2 ) ( 20 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 15 2 2 05 0 1 ) ( 15 2 2 0025 0 1 2 ) ( 15 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 10 2 2 05 0 1 ) ( 10 2 2 0025 0 1 2 ) ( 10 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 05 2 2 05 0 1 ) ( 05 2 2 0025 0 1 2 ) ( 05 2 2 05 0 1 1 05 0 2 05 0 2 1 6 5 6 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 0 В последнем уравнении можно явно выразить неизвестное и подставить в правую часть предпоследнего уравнения, те. 15 2 25 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 25 2 2 0025 0 1 2 ) ( 25 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 20 2 2 05 0 1 ) ( 20 2 2 0025 0 1 2 ) ( 20 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 15 2 2 05 0 1 ) ( 15 2 2 0025 0 1 2 ) ( 15 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 10 2 2 05 0 1 ) ( 10 2 2 0025 0 1 2 ) ( 10 2 2 05 0 1 0025 0 ) ( 05 2 2 05 0 1 ) ( 05 2 2 0025 0 1 2 ) ( 05 2 2 05 0 1 1 05 0 2 05 0 2 1 5 4 5 4 3 4 3 2 3 2 1 2 1 0 1 Решить эту систему методом итерации невозможно, т.к. он для таких систем не сходится из-за того, что величины элементов на главной диагонали меньше, чему других элементов в той же строке. Применяем метод Гаусса, который не накладывает ограничений на величину элементов на главной диагонали. Решение системы в MathCAD по методу Гаусса приведено на рис. 10.1, 10.2. Рис. 10.1. Задание столбца свободных членов системы Рис. 10.2. Задание матрицы коэффициентов системы решения подстановкой в исходное уравнение в точке. Рис. 10.3. Решение системы и подстановка в исходное уравнение В табличном процессоре Microsoft Excel решаем эту систему линейных алгебраических уравнений методом прогонки. Решение по методу прогонки проводится в два шага, состоящих из прямого и обратного ходов. В результате выполнения прямого хода система приводится к диагональному виду 1 1 2 1 2 2 2 3 2 2 1 2 1 1 n n n n n n g x g x s x g x s x g x s x , где коэффициенты перед неизвестными системы, расположенными на главной диагонали равняются единице, выше главной диагонали и свободные члены уравнений системы вычисляются по формулам 1 1 1 b c s , 1 i i i i i s a b c s , 1 1 1 b f g , 1 1 i i i i i i i s a b g a f g i=2, 3, n-1. Назначение обратного хода – получение решения системы по формулам 1 1 n n g x , 1 i i i i x s g x i=n-2, 2, 1. Заполним таблицу для выполнения вычислений следующим образом. Впервой строке надпишем столбцы именами переменных, которые будут находиться в этих столбцах i – номер неизвестной f i -значения столбца свободных членов уравнений системы a i , b i , c i – значения коэффициентов в уравнениях системы (a i - коэффициенты перед неизвестными ниже главной диагонали, b i - коэффициенты перед неизвестными на главной диагонали, c i - коэффициенты перед неизвестными выше главной диагонали s i , g i , x i – столбцы.В следующих столбцах таблицы Microsoft Excel выполняем вычисления прямого хода. Как обычно формулы набираются во второй строке вычислений и далее копируются для всех уравнений системы. В следующем столбце таблицы выполняем вычисления обратного хода. Причем начинаем вычисления с последнего значения системы, далее пишем формулу для определения предпоследнего значения и копируем ее, захватив мышью за правый нижний угол ячейки, в ячейки предыдущих строк столбца таблицы. На рис. 10.4, 10.5 и 10.6 приведено вычисление решения системы методом прогонки в режимах отображения чисел и формул. Рис. 10.4. Решение методом прогонки в режиме отображения чисел Рис. 10.5. Фрагмент таблицы с заданием коэффициентов системы – режим отображения формул Рис. 10..6. Фрагмент таблицы с решением методом прогонки – режим отображения формул Полученное решение представим графически. Добавляем второе граничное условие и строим график (рис. 10.7). Рис. 10.7. Графическое представление решения ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ 10 ЗАДАНИЕ 15. Задано обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( x f x y x q x y x p x y . Найти численное решение краевой задачи третьего рода 2 22 21 1 12 11 ) ( ) ( , ) ( ) ( b y b y a y a y на промежутке x [a, b], используя метод конечных разностей Решение выполнить в табличном процессоре Microsoft Excel и пакете математических расчетов MathCAD. В отчете привести конечно-разностные отношения для внутренних точек отрезка интегрирования систему линейных алгебраических уравнений для решения в точках деления отрезка интегрирования формулы метода прогонки решения краевой задачи обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка решение системы линейных алгебраических уравнений методами итерации и прогонки в Microsoft Excel в табличной (в режимах отображения чисел и формул с сеткой и заголовками строки столбцов) и графической формах проверку полученного решения для любой внутренней точки промежутка решение методом прогонки, полученное в пакете Mathcad ВАРИАНТ УРАВНЕНИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРОМЕЖУТОК ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1 9 1 1 5 , 1 1 5 1 2 x y x y x y 1 ) 7 , 0 ( y , 92 , 2 ) 9 , 1 ( ) 9 , 1 ( 1 1 y y x [0.7, 1,9] 2 9 3 1 5 1 5 1 2 x y x y x y 216 1 ) 9 , 1 ( ) 9 , 1 ( 4 , 0 y y 8 , 1 ) 8 , 0 ( y x [0.8, 1.9] 3 5 6 5 1 x y x y x y 104 , 1 7 , 1 ) 7 , 1 ( 4 , 0 y y 8 , 1 ) 5 , 0 ( y x [0.5, 1.7] 4 5 2 5 , 1 2 x y x y x y 8 , 1 ) 35 , 0 ( y , 57 0 4 1 ) 4 1 ( 4 0 y y x [0.35, 1.4] 5 x y y x y 5 2 2 1 ) 35 , 0 ( y , 555 1 6 , 1 ) 6 , 1 ( 4 0 y y x [0.35, 1.6] 6 x y y x y 1 4 581 0 75 , 1 ) 75 , 1 ( 4 0 y y 1 ) 8 0 ( y x [0.8, 1.75] 7 x y y x y 5 2 1 08 2 9 1 ) 9 1 ( 4 , 0 y y 1 ) 5 , 0 ( y x [0.5, 1.9] 8 3 5 2 85 0 2 x y y y 1 ) 3 , 0 ( y 929 7 ) 6 , 1 ( ) 6 , 1 ( 9 1 y y x [0.3, 1.6] 9 85 0 y x y y 1 ) 2 , 0 ( y , 54 4 ) 75 1 ( ) 75 1 ( 9 0 y y x [0.2, 1.75] |