Численные методы. Номер 1.. 1. Приближенное вычисление определенных интегралов приближенное вычисление интеграла по формулам трапеций и Симпсона, оценка погрешностей вычисления Формула трапеций имеет вид
 Скачать 4.47 Mb.
|
|
10 3 0 2 5 0 2 x y y y 276 8 6 , 1 ) 6 , 1 ( 9 , 1 y y 2 ) 4 0 ( y x [0.4, ТЕМА 11. РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ Уравнение Лапласа 0 , , 2 2 2 2 y y x U x y x U (11.1) описывает распределение давления в пласте при стационарной фильтрации, прогиб изгибаемой пластины и т.д. в области изменения аргументов х, ус. Данное уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Для ряда простых областей оно имеет аналитическое решение. Однако, в основном его решают численно. Задачей Дирихле называют задачу отыскания функции, удовлетворяющей уравнению (11.2) и принимающую на границе области, в которой ищем решение, те. при ха, х, усу значениях х. (11.2) Задача Дирихле всегда имеет решение. В частности, приближенное решение можно получить, используя разностные уравнения, как это делалось при решении граничной задачи. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА Задание 18. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа 0 , , 2 2 2 2 y y x U x y x U в квадратной единичной области с сеткой h=0,25 приграничных условиях U(x,y) x=0 =0, U(x,y) x=1 =y и U(x,y) y=0 =0, U(x,y) y=1 =x. Решение. Разобьем область определения решения шагом изменения аргументов и пронумеруем точки пересечения соответствующих значений аргументов, как показано на рис. 11.1. Внутренние точки области имеют номера 7, 8, 9, 12, 13, 14, 17, 18, 19. Составляем формулы для вычисления функции в узлах. 14 18 24 20 19 13 17 23 19 18 12 16 22 18 17 9 13 19 15 14 8 12 18 14 13 7 11 17 13 12 4 8 14 10 9 3 7 13 9 8 2 6 12 8 7 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 Рис. 11.1. Нумерация точек, в которых будет вычисляться решение В этих формулах часть слагаемых известна из граничных условий U 6 , U 2 , U 3 , U 10 , U 4 , U 11 , U 15 , U 22 , U 16 , U 23 , Заданные граничные условия имеют вид U(x,y) x=0 =0, U(x,y) x=1 =y и U(x,y) y=0 =0, U(x,y) y=1 =y. Значит, U 1 =0, U 2 =0, U 3 =0, U 4 =0, U 5 =0, U 6 =0, U 11 =0, U 16 =0, U 21 =0, U 10 =0,25, U 15 =0,5, U 20 =0,75 , U 25 =1,0, U 22 =0,25, U 23 =0,5, U 24 =0,75. Подставим эти значения в систему 14 18 19 13 17 19 18 12 18 17 9 13 19 14 8 12 18 14 13 7 17 13 12 8 14 9 7 13 9 8 12 8 7 75 0 75 0 4 1 5 0 4 1 25 0 4 1 5 0 4 1 4 1 4 1 25 0 4 1 4 1 4 1 U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U (11.11) Решение системы (11.11) производим методом итерации. Начальные значения для неизвестных положим равными единице и будем проводить вычисления до достижения требуемой точности (рис. 11.2). На рис. 11.3 - 11.5 приведены фрагменты табличек Microsoft Excel с решением системы (11.11). Рис. 11.2. Решение системы для определения значений функции в узлах Рис. 11.3. Фрагмент таблицы с решение системы для определения значений функции в узлах 7-9 Рис. 11.4. Фрагмент таблицы с решение системы для определения значений функции в узлах 12-14 Рис. 11.4. Фрагмент таблицы с решением системы для определения значений функции в узлах 17-19 Полученное решение нужно собрать в виде таблицы (матрицы) согласно разбиению, приведенному на рис. 11.1. Эту таблицу можно (и нужно проиллюстрировать графически, результат этих действий приведен на рис. 11.5. Рис. 11.5. Решение задачи в табличной и графической формах При нахождении решения системы линейных алгебраических уравнений относительно решения задачи в отдельных точках в пакете MathCAD воспользуемся функцией поиска решения given .. find. Решение приведено на рис. 11.6. Приходим к тому же результату, как при решении средствами табличного процессора Microsoft Excel. Рис. 11.6. Решение системы в пакете MathCAD Полученное решение, в соответствии с разбиением области, приведенном на рис. 11.1, собираем в таблицу с результатами (рис. 11.7). Рис. 11.7. Матрица с решением задачи Строим поверхность, графически представляющую полученное решение. Пакет MathCAD позволяет строить как поверхность функции двух переменных, таки поверхность значений матрицы. В данном случае поверхность строим на основании матрицы, содержащей решение. Для этого вызывается график типа поверхность с палитры Graphics пакета ив маркер в левом нижнем углу области построения вводится имя матрицы, содержащей решение (рис. 11.8). Используя средства форматирования графиков пакета MathCAD, придаем поверхности наиболее наглядное положение. Рис. 11.8. Графическое представление решения Для решения уравнения Пуассона (частным случаем которого является уравнение Лапласа) в простейших случаях применимы две функции multigrid ив которых реализуется метод конечных разностей. Эти функции находят решение в квадратной области разбиения. Функция multigrid применяется при нулевых граничных условиях. При ненулевых условиях по сторонам квадрата, используется функция relax. Обращение к функции имеет вид Relax(a,b,c,d,e,f,u,rjac), где a, b, c, d, e – квадратные матрицы одинакового размера, содержащие коэффициенты разностного уравнения ) , ( , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y x p h y x U d h y x U c y h x U b y x U e y h x U a F – квадратная матрица с значениями правой части уравнения в каждой точке, где ищется решение u- квадратная матрица, содержащая граничные значения на границах квадратной области и начальное приближение для решения внутри области rjac – специальный параметр, управляющий сходимостью – спектральный радиус итераций Якоби. Использование этой функции требует знания метода конечных разностей для задания всех этих аргументов функции. Для решения применим функцию relax. Для рассматриваемого примера матрицы с коэффициентами согласно уравнению (11.13) заполнены одинаковыми постоянными значениями матрицы A, b, c, d равными единицам, матрица e, равными четырем, матрица F – значениями h 2 f(x i ,y j ), те. 0,0625(x i +y j ). В соответствии с граничными условиями задачи U(x,y) x=0 =0, U(x,y) x=1 =y и U(x,y) y=0 =0, U(x,y) y=1 =x. На рис. 11.9 приведено решение. Рис. 11.9. Решение с использованием функции relax ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ 11 ЗАДАНИЕ Найти численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа 0 , , 2 2 2 2 y y x U x y x U в квадратной единичной области с сеткой h=0,25 приграничных условиях U(x,y) x=0 , U(x,y) x=1 и U(x,y) y=0 , U(x,y) y=1 , используя метод конечных разностей. Решение получить с точностью Решение выполнить в табличном процессоре Microsoft Excel и пакете математических расчетов MathCAD. В отчете привести конечно-разностные отношения для внутренних точек отрезка интегрирования систему линейных алгебраических уравнений для решения в точках деления отрезка интегрирования формулы метода простой итерации решения системы решение системы линейных алгебраических уравнений методом итерации в Microsoft Excel в табличной (в режимах отображения чисел и формул с сеткой и заголовками строки столбцов) и графической формах решение методом итерации, полученное в пакете Mathcad; решение, полученное в пакете Mathcad с использованием функции Relax; Вариант U(x,y) x=0 U(x,y) y=1 U(x,y) x=1 U(x,y) y=0 1 30y 30(1-x 2 ) 0 0 2 20y 2 cos 30 x 2 cos 30 y 20x 2 3 30y 0 0 50sinπx 4 20y 20 20y 2 50x(1-x) 5 0 50x(1-x) 50y(1-y 2 ) 50x(1-x) 6 30sinπy 20x 20y 30x(1-x) 7 30(1-y) x 20 20y 30x(1-x) 8 50sinπy x 30 30y 2 50sinπx 9 40y 2 40 40 2 sin 40 x 10 50y 2 50(1-x) 0 60x(1-x 2 ) |